從二次函數角度理解函數恒成立和存在性問題

摘要：高中數學中，函數一直是教學中的重點，也是難點，尤其是函數中的恒成立問題和存在性問題.很多看似復雜的函數問題，都可以通過分析，轉化成恒成立問題或者存在性問題. 本問題以我們熟悉的二次函數為例，來分析恒成立問題和存在性問題，理解恒成立問題和存在性問題的本質，進而研究更為復雜和隱含的函數問題.

關鍵詞：高中函數 恒成立問題 存在性問題

高中數學中，函數一直是教學中的重點，也是難點，尤其是函數中的恒成立問題和存在性問題. 我們從高二下學期開始接函數中的導數內容，利用導數工具來研究函數的性質，特別是一些復雜的函數，如超越函數. 在實際教學中，如果題目中只讓求函數的單調性，最值，即使是比較復雜的函數，借助導數工具，我們是可以完成的. 可是，函數問題通常需要將問題等價變形，轉化成求利用導數求函數的最值問題，例如函數中的恒成立問題和存在性問題，這才是難點和痛點. 如何突破呢？函數貫穿于中學數學的始終，對于函數中的恒成立問題和存在性問題，能否從高一就開始滲透它的思想方法，慢慢突破呢？其實，這個問題，高一就有涉及. 下面，以熟悉的二次函數為例，從二次函數角度出發，理解函數中的恒成立問題和存在性問題.

一、函數中的恒成立問題

例1 一元二次不等式的解集為，求實數的取值范圍.

本題出自新教材課本必修一58頁的練習題6.

分析 首先我們把問題歸類，這是數學中的哪一類問題？從不同的角度出發，導致解法不一樣. 本題有兩個思路：一是一元二次不等式問題，二是函數中的恒成立問題.

思路一 一元二次不等式問題

分析 借助于二次函數圖象，數形結合，解一元二次不等式. 題目中要求一元二次不等式的解集為，因此，對應二次函數圖象需滿足開口朝下，與x軸無交點.

分析 從函數的函數值角度理解不等式問題，的解集為，即對任意，函數的函數值小于0恒成立. 要求所有的函數值都小于0，顯然無法實現把所有的函數值都算出來，讓其都小于0的操作. 怎么辦呢？仔細分析，我們只需讓函數的最大值小于0即可. 因此，將問題轉化為求函數的最大值，且最大值小于0.

從函數的函數值角度理解例1，它是函數中的恒成立問題，以例1為例，函數中的恒成立問題可以轉化為求函數的最值問題. 我們也可將題目中的的范圍縮小，例如，任意，一元二次不等式恒成立. 此題如果按照思路一的解法，從一元二次不等式角度理解，問題不容易解決. 如果按照思路二的解法，從函數的恒成立問題理解，則問題比較容易解. 題變理不變，那么問題就轉化為求函數在區間上，函數的最大值問題.

從我們熟悉的二次函數入手，理解函數中的恒成立問題，將其轉化為求相應函數的最值問題. 因此只要會求函數的最值，恒成立問題就可以解決. 函數的恒成立問題，涉及數學中的“無窮”問題，通過上述轉化，我們將無窮問題轉化為具體可操作的有限過程，這就是數學的力量.

二、函數中的存在性問題

例2 若存在，使得關于的不等式成立，求實數的取值范圍.

從函數角度理解例2，它是函數中的存在性問題，以例2為例，函數中的存在性問題也可以轉化為求函數的最值問題.

從我們熟悉的二次函數入手，理解函數中的存在性問題，將其轉化為求相應函數的最值問題. 因此只要會求函數的最值，存在性問題就可以解決.

上述問題中的例1和例2是函數中的恒成立問題和存在性問題，以我們熟悉的二次函數為載體，通過分析，將其轉化為二次函數的最值問題，便于理解與接受. 希望通過這樣的分析，為后續遇到的復雜函數的恒成立問題和存在問題奠定基礎.

東北師范大學附屬中學朝陽學校， 肖志偉 北京