遵循生長規(guī)律 找尋解題策略

合肥市程龍軍名師工作室 經(jīng)開區(qū)名師工作室/

合肥一六八玫瑰園學(xué)校教育集團/ 李巖

卜以樓老師的生長數(shù)學(xué)觀認為：教學(xué)的首要任務(wù),就是要明晰“教什么”的問題。“教什么”是指“教學(xué)生學(xué)什么”和“教學(xué)生怎么學(xué)”。如果說教師教什么,學(xué)生就得聽什么,那么教師的主導(dǎo)地位與學(xué)生的主體地位的關(guān)系就不明確,很容易變成以教師為主宰。教師把“學(xué)生學(xué)什么”作為教的內(nèi)容,那關(guān)系就比較明確了,教師要教學(xué)生的是“學(xué)什么”,就是引導(dǎo)學(xué)生去質(zhì)疑、去發(fā)現(xiàn)、去探究、去歸納、去判斷、去概括……去把本來教師要教的東西變?yōu)閷W(xué)生自己去探索他所應(yīng)該學(xué)的東西。本文以上述“生長數(shù)學(xué)”的觀點談?wù)勔坏乐锌荚囶}的教學(xué)。

一、試題呈現(xiàn)

已知： 在矩形ABCD 中，BD 是對角線，AE⊥BD于點E，CF⊥BD 于點F，如圖1。

（1） 求證：AE=CF；

（2） 如圖2，當(dāng)∠ADB=30°時，連接AF、CE，在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2 中四個三角形,使寫出的每個三角形的面積都等于矩形ABCD面積的。

圖1

圖2

二、學(xué)生解決問題情況反饋

本題是2019 年黑龍江省哈爾濱市的一道中考試題。第（1）題是證明兩條線段相等，可利用全等三角形進行證明。通過對學(xué)生解題情況的觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生選擇哪一對三角形以及證明這一對三角形全等的條件的選擇都具有多樣性，而且都能較為順利地解決。第（2）題需要根據(jù)圖形和題意直接寫出符合條件的四個三角形。筆者在巡視指導(dǎo)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生分析題目不夠透徹，對于面積的計算找不到抓手，沒有回歸題目的本質(zhì)從三角形的高入手思考問題，進而在直接寫出結(jié)論的過程中出現(xiàn)攔路虎，基礎(chǔ)稍弱的同學(xué)基本放棄了思考。即使有學(xué)生得到了結(jié)果，但基本都是通過添加輔助線而得出的。

那么，對于類似的問題，教師應(yīng)該如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解決呢？ 這其實就是教師要明確“教什么”的問題，事實上就是指“教學(xué)生學(xué)什么”和“教學(xué)生怎么學(xué)”，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生去質(zhì)疑、去發(fā)現(xiàn)、去探究、去歸納、去判斷、去概括等，把本來需要教師教的東西變成學(xué)生自己經(jīng)過探究應(yīng)該獲取的東西。

三、以生長數(shù)學(xué)觀指導(dǎo)學(xué)生解決問題

生長數(shù)學(xué)的教學(xué)觀是將自然生長的理念引入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的教學(xué)，是讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動助力個體生命生長的教學(xué)，是前后一致的、邏輯連貫的、一以貫之的數(shù)學(xué)教學(xué)。在這個過程中,需要關(guān)注知識的生長、生命的生長、智慧的生長、境界的生長。回到具體問題的解決上來，教師應(yīng)該教會學(xué)生干什么、怎么干、干干看和回頭看。

1.干什么

可以引導(dǎo)學(xué)生按照以下步驟對問題進行分析。

（1） 題目要我們干什么？

第（1）問要求證明什么？第（2）問如何直接得出四個三角形？

立意：確定問題最終目的，讓學(xué)生在梳理條件過程中有明確的方向。在第（2）問中要明確要求不能添加輔助線。

（2） 題目中的所給條件有哪些？

立意：梳理題目中的已知條件，哪些條件可以為我所用。對于本題，已給條件有：①四邊形ABCD 是矩形；②BD 是對角線；③AE⊥BD 于點E；④CF⊥BD 于點F。第（2）問中又給出的條件是：⑤∠ADB=30°；⑥不添加任何輔助線；⑦寫出的四個三角形中的每個三角形的面積都等于矩形面積的。

（3） 題目中的隱含條件又有哪些呢？

立意：題目中隱含條件的挖掘往往是解決問題的關(guān)鍵。本題的隱含條件有（由矩形的性質(zhì)可得）：①對邊相等AB=CD，AD=BC ；②對邊平行AB∥CD，AD∥BC；③內(nèi)錯角相等∠ABE=∠CDF，∠CBE=∠ADE，等。

2.怎么干

第（1）問要求證明AE=CF，這是證明兩條線段相等。目前我們證明線段相等的方法有很多，學(xué)生也非常容易想到最直接的方法就是尋找并證明兩個三角形全等，而這一點并不難。問題的關(guān)鍵在于教師要教會學(xué)生學(xué)會深入思考，領(lǐng)悟第（1）問的作用，關(guān)注第（1）問和第（2）問之間的聯(lián)系，第（1）問能否為第（2）問的解決提供必要的幫助。對于怎么干，路徑和方向很重要。

3.干干看

當(dāng)我們有了解決問題的清晰思路，抑或只是有了一點苗頭，接著就應(yīng)該進行大膽嘗試，或許在嘗試過程中，我們的思路有可能豁然開朗。

問題（1）的證明：在矩形ABCD 中，∵AB∥CD 且AB=CD，∴∠ABE=∠CDF。又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°。∵∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°，AB=CD，∴△ABE≌△CDF。∴AE=CF。

對于問題（2），可以考慮兩個思路。

（2） ∵S△ABE=DF·AE，且BE=DF，∴ S△ABE=S△ADF=S矩形ABCD。同理S△BCE=SS矩形ABCD。所以，四個三角形分別是△ABE，△ADF，△CBE，△CDF。

4.回頭看

本題考察了矩形的性質(zhì)、全等三角形、含30°角的直角三角形性質(zhì)、勾股定理、等積三角形等知識，對學(xué)生的綜合能力有較高的要求，“等底等高的兩個三角形面積相等”是解決本題的關(guān)鍵。第（1）問的證明兩條線段相等并不是一個孤立的問題，而是為了證明第（2）問中的兩個△ABE 和△CBE 的高相等，這樣四個三角形面積相等也就自然而然地得到了。至于面積如何等于原矩形面積的，則可以由含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系來確定。

從此題的解答過程中可以看出，題目本身難度不大，但得分率不高，原因在于學(xué)生在找已知條件時，不能充分挖掘題目本身的隱含條件，而本題對于隱含信息的梳理尤為重要。這就需要借助幾何直觀將問題變得簡明與形象，以便于學(xué)生探索解決問題的策略與方法，實現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的升華。

四、結(jié)束語

北京大學(xué)丘維聲教授說過：“學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)數(shù)學(xué)思維方式。”因此，教數(shù)學(xué)也就是教數(shù)學(xué)思維方式。思維方式既具有策略的宏觀靈動，又具有方法的微觀定向。對于圖形問題，需要經(jīng)歷抽象、分析、計算、思維生長等過程，探索圖形中各元素之間的關(guān)系，然后通過邏輯推理進行證明，這個過程可以讓學(xué)生清晰地體會到合情推理和演繹推理的靈魂。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，不能單純依賴教師的“教”，而是需要學(xué)生參與其中，遵循知識生長規(guī)律，尋找解決問題策略，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，積累解決問題的能力和經(jīng)驗。