平行四邊形的翻折問題

張俊峰

翻折問題在初中幾何的考查中是比較常見的一類題型。近幾年全國各地的數(shù)學(xué)中考試題中，翻折類問題屢見不鮮。這類問題立意新穎，構(gòu)思巧妙，很好地考查了同學(xué)們的識圖能力以及靈活運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。由于條件和問題的不同，這類題的解法思路也不盡相同。現(xiàn)以2019年一些地區(qū)中考中的這類題型為例，談?wù)勅绾斡梦覀儗W(xué)過的知識和方法來解答這類問題。

例1 （2019·江蘇揚州）將一個矩形紙片折疊成如圖1所示的圖形，若∠ABC=26°，則∠ACD=________。

【分析】延長DC到E，如圖2，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得∠BCE=∠ABC=26°，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得∠BCA=∠BCE=26°，進而根據(jù)平角的定義得∠ACD=180°-26°-26°=128°。

答案：128°。

拓展練習(xí) 將一張矩形紙片折疊成如圖3所示的圖形，若AB=6cm，則AC=_____cm。

【分析】延長矩形的邊，如圖4，由平行線的性質(zhì)得∠1=∠ACB，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得∠1=∠ABC，所以∠ABC=∠ACB，再根據(jù)“等角對等邊”得AC=AB=6cm。

答案：6。

【點評】以上兩題主要考查了矩形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、等腰三角形的判定、平角的定義。圖形折疊后，相當(dāng)于出現(xiàn)了角平分線，有角平分線又有平行線，就會產(chǎn)生等腰三角形，找到那個等腰三角形就會使問題得到解決。

例2 （2019·山東濱州）如圖5，矩形ABCD中，點E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，點C落在AD邊上的點F處，過點F作FG∥CD交BE于點G，連接CG。

（1）求證：四邊形CEFG是菱形;

（2）若AB=6，AD=10，求四邊形CEFG的面積。

【分析】（1）根據(jù)題意和翻折的性質(zhì)，可以得到∠BEC=∠BEF，F(xiàn)E=CE，再根據(jù)FG∥CE，得∠FGE=∠CEB，所以∠FGE=∠FEG，F(xiàn)G=FE，F(xiàn)G=EC，先證四邊形CEFG是平行四邊形，再由CE=FE證明它是菱形;（2）根據(jù)題意和勾股定理，可以求得AF的長，設(shè)EF=x，則DE=6-x，在Rt△DEF中，利用勾股定理求得EF的值，從而可以得到四邊形CEFG的面積。

【點評】以上兩題考查了矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，根據(jù)折疊前后的兩個圖形全等，找出它們對應(yīng)的線段，設(shè)出合適的未知量，通過轉(zhuǎn)換，在同一個直角三角形里，利用勾股定理構(gòu)建方程，然后解方程即可。

通過上述幾個問題我們可以看出，解決圖形翻折問題，首先要知道是怎樣折疊的，折疊的本質(zhì)是什么，明白折疊的性質(zhì)，如折起部分與重合部分全等，折疊前后對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等，連接對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直且平分。這些條件通常比較隱蔽，有待解題時挖掘并梳理。解決平行四邊形的翻折問題時，如果有平行線，那么翻折后就有可能出現(xiàn)等腰三角形。如果有直角三角形出現(xiàn)，可以設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題意將所給條件轉(zhuǎn)移集中在同一個直角三角形里，通過勾股定理列方程求解。方程的思想與方法是解決折疊問題的常用方法。

（作者單位：安徽省臨泉縣第三中學(xué)）