時間模上p-Laplacian方程兩點邊值問題的三個正解的存在性

張 英

（山西大同大學數學與統計學院，山西大同 037009）

p-laplace 算子形式是其中p＞1。

研究時間模T上的一維p-Laplacian 兩-點邊值問題[]1

設p＞1，q＞1，且滿足。另 外，設(H)f∈Crd([0,1] ×[ 0,∞),[ 0,∞)),a∈Crd([0,1] ×[ 0,∞)),B0,B1∈Crd(R,R)不增,

B1(-u)=-B1(u),B0(-u)=-B0(u),

使0 ≤uBi(u)≤mu2,(i=0,1),

解方程得

由邊值條件1得

由邊值條件2得

記

E=Crd([0,1]T)為一個Banach 空間，其范數定義為，定義一個錐P?E,且P={u∈E：u(t)≥0,是凹函數,}

定義線性算子α：P→R+,算子A：P→P

AP?P,則A全連續積分算子，邊值問題(1)有解u=u(t)當且僅當u是算子A在P中的不動點。

定理1設P是實巴拿赫空間E的一個錐,集合Pr={x∈P：‖x‖＜r},P(Ψ,a,b)={x∈P：a≤Ψ(x),‖x‖≤b}[2]。

假設Φ：是P上的一個全連續算子且是非負連續的凸函數,滿足Ψ(u)≤‖u‖,對于所有的。如果存在常數0 ＜p＜q＜l≤r滿足下列條件：

(1){u∈P(Ψ,q,l)：Ψ(u)＞q} ≠?且Ψ(Φu)＞q對所有的u∈P(Ψ,q,l)；

（2）當‖u‖ ≤p時，有‖Φu‖ ≤p；

（3）當u∈P(Ψ,q,r)時，Ψ(Φu)＞q且‖Φu‖＞l，則Φ至少有三個不動點u1,u2和u3∈,滿足‖u1‖＜p,Ψ(u2)＞q,p＜‖u3‖,當Ψ(u2)＞q。

定理2設條件 (H) 成立,且存在δ∈又設存在常數ρ1,ρ2,ρ3＞0,且滿足ρ3＞＞ρ2＞ρ1＞0,使

(1)f(t,u)＜φp(ρ3)φp當t∈([δ,1],0 ≤u≤ρ3;

(2)f(t,u)＞φp(ρ2)φp當t∈[δ,1],ρ2≤u≤

(3)f(t,u)＜φp(ρ1)φp當t∈[δ,1],0 ≤u≤ρ1;

則邊值問題（1) 至少有三個正解解u1,u2,u3,滿足0 ＜u1(ξ)＜ρ1＜u2(ξ),u3(l)＜ρ2＜u2(l)[3]。

證明定義全連續非負凹函數

Ψ：P→[ 0,∞),滿足?u∈P

有Ψ(u)=

則有Ψ(u)≤‖u‖,則‖u‖≤ρ3,由條件(c1)得

因此，定義A：ρ3→ρ3,因為

從而定理1得條件1成立。

設‖u‖ ≤ρ1,由條件由條件(c3)，

得到

從而定理1得條件2成立。

從而定理1得條件3成立。

因此由定理1得所有條件都滿足，則邊值問題（1) 至少有三個正解解u1,u2,u3,滿 足0 ＜u1(ξ)＜ρ1＜u2(ξ),u3(l)＜ρ2＜u2(l)。