飛行器多學科耦合伴隨體系的現狀與發展趨勢

黃江濤，劉剛，高正紅，周鑄，陳作斌，江雄

1.中國空氣動力研究與發展中心，綿陽 621000 2.西北工業大學 航空學院， 西安 710072

伴隨高性能計算機技術的發展，數值優化設計將在未來飛行器研發中扮演著越來越重要的角色，數值優化的基礎科學研究和關鍵技術各項環節不斷進展、突破，對民用飛機、作戰飛機乃至航天類飛行器的研制過程起到積極的變革性的作用，各個學科的耦合程度將越來越高，學科級之間的協同優化、仿真技術作為重要角色登上了裝備研發的歷史舞臺。國內外著名研發機構如美國國家航空航天局(NASA)、德國宇航局(DLR)、荷蘭國家航空航天實驗室(NLR)、日本宇宙航空研究開發機構(JAXA)等均在多學科協同數值優化、仿真分析方面投入了大量的人力物力，并在應用方面進行了大量嘗試與驗證。

多學科優化設計研究中采用的優化算法可以分為梯度[1-5]和非梯度類[6-12]兩個方向，兩類方法各有所長。基于伴隨方法的梯度類是近年來較為熱門的研究方向，基于伴隨方程的梯度優化以其獨有的優勢，在氣動設計等領域發揮了重要作用，也是國內外空氣動力學研究機構一個重要的研究方向[13-17]，而基于交叉學科變分思想的多學科伴隨優化方法也開始在工程領域發揮重要作用[18-24]。例如考慮氣動彈性變形的柔性機翼設計，若采用基于差分的梯度優化以及進化算法開展多學科多目標優化，其計算量非常龐大，甚至難以忍受，設計效率極為低下。此時基于多學科耦合伴隨靈敏度分析的優化方法在綜合設計上具有更加突出的優勢。不僅如此，在氣動、結構、電磁、聲學、紅外、能量管理等與飛行器設計息息相關的學科，多學科耦合伴隨方法也具有較大的發展潛力。由于多學科耦合伴隨方法具有優化代價小，梯度計算量與各個學科設計變量個數基本無關等優點，且通過耦合伴隨方程的求解能夠快速計算出各個學科關心的各個目標函數對各學科設計變量的導數，倍受研究人員與工程師的關注與喜愛，該方法必將在未來多學科優化領域發揮重要作用。

本文對多學耦合伴隨優化方法研究進展、應用現狀進行詳細總結、歸納，對飛行器氣動外形綜合設計涉及的典型學科變分/耦合變分/關鍵環節的變分推導、耦合伴隨方程的求解以及應用存在的難點進行深入分析，并進一步提出了耦合伴隨方程幾項值得關注的技術方向及發展趨勢。希望能夠為多學科耦合伴隨方法的研究人員提供有價值的參考，促進國內航空航天飛行器多學科協同數值優化設計技術的發展。

1 離散伴隨方程求解梯度基本原理

對于任意學科，這里的學科可以是流體、結構、噪聲、電磁、熱力學分析等，其對應的設計目標函數的最小化優化問題[25]為

(1)

在學科殘差R(W,X,D)=0約束條件下，引入拉格朗日算子可以構造以下目標函數：

L=I+ΛTR

(2)

對式(2)進行求導可得

(3)

(4)

式(4)就是各個學科對應的伴隨方程，通過求解Λ之后，則可進行各個學科對設計變量的梯度信息快速求解，即

(5)

(6)

可以看出，伴隨方程實質是對學科分析及其對應的物理場進行變分，通過鏈式求導進行靈敏度求解，其根本目的是避免學科分析大規模迭代、直接求解問題帶來的靈敏度分析計算量，消除靈敏度分析計算量與設計變量個數的關系，其計算量最終僅與目標函數個數相關。

實際上，上述伴隨算子既可以是單學科伴隨算子，也可以是多學科伴隨算子，對應的殘差同樣也可以是多學科約束，采用相同方式進行伴隨方程推導，可以得到多學科耦合伴隨方程。

2 學科離散伴隨方法研究現狀

從目前的研究成果來看，在飛行器氣動外形綜合設計領域，基于流場伴隨方程的優化是最活躍的一個分支，而對于結構、電磁、噪聲等學科伴隨研究較少，這里面的一個重要原因是某些特殊學科獨立伴隨優化在飛行器設計領域工程應用中價值不大，例如結構伴隨方程單獨優化無法兼顧氣動結構一體化設計要求。

2.1 流場伴隨優化在內外流動優化問題中的應用

伴隨優化在外部流動優化問題中的應用較多，主要應用于機翼、增升裝置、整流罩等氣動外形優化。由于該項技術求解梯度信息的工作量幾乎與設計變量個數無關，因此，倍受CFD研究人員以及氣動優化設計研究人員的重視。其中，離散伴隨方程與Navier-Stokes方程清晰的導數關系，具有實現起來比較方便、梯度信息更為準確等優點。流場伴隨方法的核心工作是組裝流場殘差對守恒變量的雅克比矩陣：

(7)

依賴于伴隨方程的求解方式，該矩陣的處理主要有兩種形式，直接全矩陣組裝存儲、結合伴隨變量乘積形式存儲；雅克比矩陣處理完畢后，對于不同目標函數的優化問題，僅需改動右端項目標函數對狀態變量的變分表達式：

(8)

該項一般作為源項形式加入通量表達式或方程組右端。

邊界條件處理方式也分為源項形式[1]以及邊界雅克比矩陣形式[25]。對于內外流問題，矩陣形式的流場伴隨方程只需要改變邊界條件變分雅克比矩陣表達式, 即

(9)

式中:E、MBC分別對應單位矩陣以及邊界條件矩陣。可以看出，離散伴隨無黏項的不同邊界條件變分，只需替換對應邊界條件矩陣MBC，對于實現不同邊界類型以及內外流伴隨之間的轉換、匹配以及模塊化編程十分有利。由于離散伴隨無黏項的主導作用，該項邊界條件處理很大程度直接影響梯度的計算精度。

離散伴隨方法在梯度優化研究領域最受關注，也是國內外空氣動力學研究機構重點發展的研究方向。世界上大多數知名空氣動力學研究機構均基于自身研發的大型并行CFD計算代碼發展了離散伴隨優化平臺，例如NASA Langley研究中心采用手工推導方式建立了非結構化求解器FUN3D的離散伴隨優化平臺[14]；德國宇航局基于結構化求解器Flower、非結構化求解器TAU發展了離散伴隨優化平臺[15]，法國宇航院基于CFD代碼elsA開發了離散伴隨優化[16],英國謝菲爾德大學[17]開展了基于結構化網格的并行離散伴隨優化。實際推廣應用方面也開展了系列研究，NASA的 Liou和Kim[26]使用伴隨方法在考慮動力條件下開展了飛翼布局一體化優化工作，取得了明顯的減阻效果；Vincent和Siva[27]基于離散伴隨方法開展了B747機翼氣動設計；密歇根大學的Lyu等[28]基于離散伴隨方法，針對CRM寬體飛機標模機翼氣動優化開展了大量研究，取得了較好的優化結果；如圖1～圖3所示。

國外在內流伴隨優化方向也取得了長足的進展，尤其在進氣道、壓氣機葉片優化方面成績斐然。NASA的 Lee和Liu[29]基于伴隨方法開展了BLI(Boundary-Layer-Ingestion)進氣道優化，減小了50%流場畸變特性，提高了3%的總壓恢復系數；首爾國立大學的Yi和Kim[30]基于伴隨方法開展了S彎進氣道渦流發生器優化，在保持總壓恢復性能的同時，降低了流場畸變；斯坦福大學Heather和Francisco[31]基于伴隨方法對高超聲速進氣道進行了優化設計，表現出較高的優化設計效率；Heath和Gray[32]基于伴隨方法與自由變形技術開展了噴管優化；麥吉爾大學Benjamin和Siva[33]基于離散伴隨方法進行了多級壓氣機優化，在保證總壓比的條件下提高了等熵效率；圖4～圖8給出了內流伴隨優化的典型應用。

圖1 飛翼布局帶動力一體化設計[29]Fig.1 Integrated design of flying wing configuration with power[29]

圖2 波音747機翼優化設計前后對比[30]Fig.2 Comparison of initial and optimized configurations of Boeing 747 wing [30]

國內在離散伴隨方程求解器自主研發方面也取得了一定的進展，尤其在外流優化設計方面，已應用于實際工程型號。西北工業大學左英桃等基于結構化網格求解器開展了M6機翼離散伴隨優化[34]；熊俊濤等[35]基于顯式時間推進實現了離散伴隨方程的求解；屈崑等利用Tapenade自動微分工具進行通量變分，按照矩陣模式組裝到全局稀疏矩陣，實現了穩態CFD的伴隨方程求解[36]；南京航空航天大學高宜勝等基于非結構求解器進行了翼型離散伴隨無黏優化[37]；中國空氣動力研究與發展中心李彬等基于非結構求解器實現了離散伴隨優化平臺的開發[38]；本文作者基于并行化結構網格求解器實現了全機離散伴隨優化[39]；圖9～圖12給出了國內外流伴隨優化在典型飛行器氣動設計方面的應用。

內流優化方面，基于伴隨方程的氣動外形靈敏度分析優化主要集中在進氣道、尾噴管、壓氣機葉片設計等領域，也是近年來十分活躍、應用潛力較大的研究方向。本文作者[25,40]基于邊界變分形式實現了超聲速無附面層隔道進氣道總壓恢復系數對設計變量的靈敏度分析與驗證，并分析了動力效應對設計變量靈敏度的影響，進一步開展了BLI進氣道DC60穩態畸變伴隨優化；北京理工大學宋紅超等[41]基于離散伴隨方法進行了單邊膨脹噴管的優化，提高了噴管推力系數；西安交通大學張朝磊等基于離散伴隨理論和自動微分技術構建離散伴隨優化平臺，應用于透平葉柵的氣動優化[42]，優化后透平葉柵進出口熵增率減少8.82%；航空工業集團航空動力機械研究所唐方明等[43]進行了排間界面靜壓約束伴隨方法的多級壓氣機葉片優化，解決了伴隨優化應用在多級壓氣機中出現的優化工況點漂移問題，提高了5級壓氣機效率；吉林大學劉浩等[44]基于伴隨方法進行了葉片三維氣動外形優化設計，清華大學馬燦等[45]采用諧波平衡法高效求解非定常流場和非定常伴隨場，開展了單級壓氣機非定常伴隨優化；西北工業大學劉峰等[46]基于黏性伴隨方法開展了低展弦比渦輪壓氣機葉片多點優化設計；圖13～圖20給出了國內內流伴隨優化、內外流一體化伴隨優化的典型應用。

圖3 CRM標準模型單點、多點優化設計對比[31]Fig.3 Comparison of single-point and multi-point optimization design of CRM standard model [31]

圖4 BLI進氣道優化[32]Fig.4 BLI inlet optimization [32]

圖5 基于伴隨方法進氣道渦流發生器優化[33]Fig.5 Inlet vortex generator optimization based on adjoint method [33]

圖6 基于伴隨方法的高超聲速進氣道設計[34]Fig.6 Hypersonic inlet design based on adjoint method [34]

圖7 基于伴隨方法的超聲速噴管設計[35]Fig.7 Supersonic nozzle design based on adjoint method[35]

圖8 基于伴隨方法的多級壓氣機設計[37]Fig.8 Multistage compressor design based on adjoint method [37]

圖9 基于非結構網格翼身組合體離散伴隨氣動優化[26]Fig.9 Discrete adjoint aerodynamic optimization of wing-body assembly based on unstructured grid [26]

圖10 全機第一伴隨變量云圖[25]Fig.10 First adjoint variable contour of aircraft[25]

圖11 FFD參數化[39]Fig.11 FFD parameterization [39]

圖12 機翼機身平尾立尾離散伴隨氣動優化Fig.12 Discrete adjoint aerodynamic optimization of wing-body-tail configuration

圖13 進氣道參數化[25]Fig.13 Inlet parameterization [25]

圖14 進氣道總壓恢復靈敏度驗證[25]Fig.14 Validation of total pressure recovery sensitivity of inlet [25]

圖15 BLI進氣道DC60伴隨優化Fig.15 Adjoint optimization for BLI inlet DC60

圖16 機體-推進系統一體化參數化 [40]Fig.16 Integrated parameterization of airframe-propulsion system [40]

圖17 機體-推進系統一體化伴隨方程求解與靈敏度驗證[40]Fig.17 Verification of sensitivity of adjoint equation for airframe-propulsion system [40]

圖18 尾噴管伴隨優化云圖[41]Fig.18 Tail nozzle contour based on adjoint optimization [41]

圖19 壓氣機伴隨優化前后馬赫數云圖[43]Fig.19 Mach number contour of compressor before and after concomitant optimization[43]

圖20 低展弦比渦輪壓氣機葉片多點優化設計[46]Fig.20 Multi-point optimization design of low aspect ratio turbine compressor blades [46]

2.2 電磁散射伴隨方程

雷達散射截面(Radar Cross Section, RCS)反映了物體在給定方向上對入射雷達波散射的強弱，是衡量飛機隱身性能的重要指標。考慮隱身的飛行器設計常以減小RCS作為隱身設計的主要目標,現有飛行器氣動外形隱身設計研究中多采用幾何光學法(GO)、物理光學法(PO)、幾何繞射理論(GTD)、物理繞射理論(PDT)等高頻近似算法評估散射體的RCS,高頻算法根據高頻場的局部性原理，僅根據入射場獨立地近似確定表面感應電流[47]，計算速度快，所需內存小。但高頻算法的理論模型粗糙，近似過程中會忽略一些關鍵部件間的重要電磁耦合關系，在處理電大尺寸和細節上電小尺寸并存的復雜結構時精度較低[48-49]。

飛行器隱身性能與其外形密切相關，設計中需解決隱身與氣動之間的矛盾?；谔荻鹊膬灮惴ㄐ瘦^高，其關鍵在于如何高效、精確地取得梯度信息。矩量法從電磁積分方程(Stratton-Chu方程)出發，將感應電流展開成基函數的有限級數，形成線性方程組，通過求解表面感應電流分布獲得散射場。矩量法可以精確求解三維復雜外形目標的電磁散射，隨著高性能計算技術的發展，矩量法逐漸成為飛行器隱身設計中重要的電磁分析手段。伴隨方法可以通過求解伴隨方程，由兩次線性方程組求解得到目標關于所有設計變量的梯度，顯著減小計算量，為矩量法在飛行器隱身設計的應用創造了條件。Natalia[50-51]將伴隨方法引入矩量法，推導了矩量法伴隨方程的形式，并對天線陣列的輸入阻抗進行了優化，取得了顯著的效果。

然而，從公開發表文獻上看，國內外在飛行器氣動隱身一體化優化設計方面應用較少，國內周琳和本文作者[52]將該方法應用于飛行器隱身特性靈敏度分析，為氣動隱身綜合優化設計奠定了技術基礎。

矩量法[53]的本質為求解線性方程組ZI=V，在伽略金法條件下，采用RWG(Rao-Wilton-Glisson)基函數檢測電場積分方程，即

(10)

整理成矩陣形式為

ZI=V

式中：阻抗元素和激勵項的表達式為

采用第1部分推導方法可得矩量法方程的伴隨方程：

(11)

則基于伴隨方法的目標梯度的求解方法為

(12)

圖21和圖22分別給出了基于矩量法(MoM)的電流分布數值模擬以及基于矩量法伴隨方程的靈敏度求解校核，精度滿足工程需求，相對于有限差分計算，電磁伴隨求解將靈敏度計算效率提高了100倍以上，且隨著入射電磁波頻率的增加，這種加速效果更加明顯。

圖21 1024核心并行電磁散射數值模擬Fig.21 Numerical simulation of 1024 core parallel electromagnetic scattering

圖22 某外形0°～180°照射角靈敏度驗證Fig.22 Verification of sensitivity at different incident angles 0°-180°

然而，從目前計算機條件來看，盡管基于矩量法電磁伴隨求解靈敏度相對于有限差分效率有了大幅度提升，仍然面臨兩個問題。與正問題一樣，基于矩量法的電磁伴隨方程求解面臨存儲瓶頸；不僅如此，即便是伴隨方程求解完畢，利用式(12)進行梯度信息求解時，電流分布保持不變不需要再迭代，仍然需要針對幾何擾動進行阻抗矩陣裝配。本文作者曾做過測試，對于C波段電磁散射問題(飛行器展長16 m量級)，256核并行條件下，阻抗矩陣組裝仍耗時30 s，也就是說，基于式(12)進行梯度求解單個耗時30 s，對于200個設計變量設計問題，除去伴隨方程求解時間，靈敏度求解也要耗掉1.66 h，這也是計算效率值得關注的問題。該兩方面因素對計算機配置要求較高，一定程度限制了矩量法電磁伴隨優化在電大尺寸問題中的應用。

針對該問題本文基于多層快速多極子算法(MLFMA)開展了伴隨方程構造以及梯度計算研究，大幅度降低了內存需求，提高了梯度求解效率，取得了較好的加速效果，并通過典型導彈外形進行驗證，如圖23及表1所示，為進一步開展基于高可信度雷達隱身優化提供高效的靈敏度分析平臺。

圖23 MLFMA的梯度校核Fig.23 Gradient validation of MLFMA

表1 矩量法與MLFMA效率對比Table 1 Comparison of efficiency of MoM and MLFMA

2.3 噪聲伴隨方程

噪聲問題是飛行器氣動設計解決的主要問題之一，對于民用飛機的適航認證、作戰飛機的戰場隱蔽性起到關鍵作用，鑒于計算量龐大，當前工程中的噪聲分析優化大多數基于近場/輻射傳播模型混合計算方法[54-56]進行。

目前噪聲伴隨方程的研究工作主要針對低速流動問題以及超聲速聲爆問題開展，面向對象主要是直升機旋翼噪聲、低速構型流動噪聲、超聲速客機聲爆抑制等問題。主控方程主要是FWH(Ffowcs Williams-Hawkings)方程以及聲爆預測增廣Burgers方程,對于數值模擬來講，無論是FWH伴隨方程還是聲爆預測增廣Burgers方程，幾乎都無法脫離流場分析、伴隨而獨立有效地使用，一般與流場進行耦合使用。

2.4 伴隨方程在其他領域的應用

在航空航天領域，伴隨方法不僅在涉及上述幾個學科方面得到了充分應用，同樣在熱傳導、化學反應等方面也得到了一定應用。再入飛行器表面熱流通過反演方法確定飛行器再入的熱環境，伴隨方程可以為該類熱傳導逆問題提供高效的靈敏度計算，錢煒祺和何開鋒[57]基于三維熱傳導方程及其伴隨方程，進行了三維非穩態熱傳導逆問題反演研究，取得了與試驗數據較為一致的結果，如圖24所示，圖中:t為時間，T為溫度，P1和P2代表兩個測溫點。Kouhi和Houzeaux[58]基于離散伴隨方法開展了與化學反應流動相關的參數靈敏度分析，獲得了與差分較為一致的結果。

圖24 反演結果與試驗數據對比[57]Fig.24 Comparison of inversion results with experimental data [57]

3 多學科耦合伴隨體系發展現狀

國內在流場伴隨方程求解器自主研發方面取得了系列的進展。然而，大多研究工作局限于單學科伴隨方法，在多學科耦合伴隨方法自主研發方面較為欠缺，研究基礎比較薄弱。

在涉及復雜耦合系統綜合優化方面，傳統的優化手段、靈敏度分析手段，由于學科強耦合因素，往往表現得力不從心，多學科耦合伴隨理論的出現，使得高效計算多學科耦合靈敏度成為可能。在飛行器氣動外形多學科優化領域，最活躍的是氣動、結構、電磁、噪聲等學科，由于目標函數個數、學科交叉耦合變分推導難度以及交叉變分雅克比矩陣存儲的限制，從目前發表的文獻來看，大部分研究工作針對兩個學科耦合伴隨優化展開。耦合伴隨方法中交叉學科導數項的具體推導方法，各類雅克比矩陣組裝的大型稀疏矩陣求解，變分簡化處理方式以及學科之間物理場信息、伴隨變量交換、存儲方式直接影響了多學科變分的簡捷性、多學科耦合系統計算效率以及梯度信息的計算精度，因此，下面將對典型多學耦合伴隨方法的關鍵環節進行論述和總結。

3.1 氣動結構耦合伴隨方程

考慮氣動彈性變形的柔性機翼若采用傳統差分的梯度優化以及進化算法開展靈敏度分析以及多學科多目標優化，其計算量非常龐大，當前計算條件難以忍受，設計效率極為低下。未來飛機發展的一個重要方向是重量較輕的復合材料結構柔性機翼設計(如B787、B747-8等寬體客機)，此時氣動、結構耦合效應將更加明顯，基于氣動/結構多學科耦合伴隨方法的耦合靈敏度分析在綜合設計上將具有更加突出的優勢，為多學科優化提供有力技術支持。

氣動/結構優化中有4種原因引起耦合靈敏度效應。第一，氣動外形設計變量變化引起氣動力的變化；第二，氣動外形設計變量變化引起氣動力載荷、結構屬性的變化，導致彈性變形變化，從而引起結構應力變化；第三，有限元結構設計變量變化引起結構屬性的變化，導致彈性變形變化，從而引起氣動力變化；第四，有限元結構設計變量變化引起結構屬性的變化，導致彈性變形變化，從而引起結構應力變化。以上4點是氣動結構耦合復雜程度的最直觀體現，也是氣動/結構綜合優化成為最為復雜、困難問題的原因之一。將式(4)中的殘差、狀態變量直接展開為氣動、結構對應的殘差、狀態變量，可以得到氣動結構耦合伴隨方程為

(13)

(14)

(15)

盡管如此，仍然帶來交叉導數項反復計算的問題，即解決了空間存儲問題，又帶來時間需求問題。對各項進行進一步展開：

(16)

針對該問題，國外開展了系列研究，密歇根大學Martins等基于結構網格CFD求解器以及有限元方法發展了氣動/結構延遲耦合伴隨LCA(Lagged Coupled Adjoint)方法，實現了板殼單元條件下氣動結構一體化設計[18-19]；德國宇航局Abu-Zurayk等基于非結構化求解器TAU[59-60]，斯坦福大學Kasidit和Antony基于耦合伴隨方法進行了機翼平面形狀與剖面的氣動結構多學科優化[20]，法國宇航院Marcelet等基于CFD代碼elsA發展了LCA優化方法[61]，倫敦瑪麗女王大學Mülle和Verstraete[62]基于多學科耦合伴隨方法開展了葉片氣動結構綜合優化，保證應力約束條件下提高了葉片氣動效率，懷俄明大學Mishra和Mani[63]基于氣動結構伴隨方程開展了直升機四槳葉旋翼非定常氣動優化等；典型應用如圖25～圖27所示。

中國空氣動力研究與發展中心立足自主研發，建立了氣動結構耦合伴隨優化平臺[64-65]，基于延遲耦合處理方式實現了CRM機翼氣動結構多學科優化，圖28給出了氣動結構耦合伴隨(Coupled Aero-Structrual Adjoint，CASA)優化平臺的裝配關系流程圖，圖29和圖30給出了氣動力、結構應力von Mises對應的耦合伴隨方程收斂歷程；圖31 給出了不同設計約束的優化結果。

圖25 氣動結構耦合伴隨優化[19]Fig.25 Aero-structural coupled adjoint optimization[19]

圖27 基于氣動結構伴隨方程的旋翼非定常氣動優化[63]Fig.27 Rotor unsteady aerodynamic optimization based on aero-structural coupled adjoint equation[63]

圖28 CASA優化平臺組裝關系Fig.28 Relationship of CASA optimization platform assembly

圖29 氣動力耦合伴隨方程收斂歷程[64]Fig.29 Convergence history of aerodynamic coupled adjoint equation [64]

圖30 結構應力耦合伴隨方程收斂歷程[65]Fig.30 Convergence history of structural stress coupled adjoint equation [65]

圖31 不同方法設計結果[65]Fig.31 Design results of different methods [65]

3.2 氣動電磁伴隨方程

氣動隱身一體化始終是作戰飛機研制的關鍵環節，兩個學科在一定程度上是矛盾體?，F有的氣動隱身一體化設計多采用粒子群算法、遺傳算法、神經網絡算法等搜索算法。進化搜索算法開發難度較低，具有收斂到全局最優的能力，但優化效率較低，調用CFD、RCS求解程序的次數隨設計變量的增加而增加，同時電磁散射較高的計算要求對進化類算法提出了較大挑戰。采用式(4)展開形式推導氣動電磁“耦合”伴隨方程，即

(17)

式中：Ra、RE分別代表流場殘差與電磁數值計算殘差；wi、Ai分別代表流場變量與電流分布，顯然上式交叉導數雅克比矩陣為0，即

(18)

“耦合”伴隨方程退化為

(19)

從式(19)可以看出，氣動電磁多學科伴隨方程完全解耦，不存在耦合，這對研發體系來講難度大大降低，兩個伴隨方程完全獨立求解?；诟呖尚哦攘鲌鲭姶虐殡S優化方面的研究從發表文獻上看幾乎是空白的主要原因是學科跨度較大，變分困難，計算量龐大。在流場伴隨與電磁伴隨優化基礎上，本文作者構建了氣動隱身高可信度優化平臺，為氣動隱身綜合優化設計奠定了技術基礎[52]。

3.3 流場噪聲耦合伴隨方程

流動控制方程與聲學預測方程組合求解是當前評估飛行器噪聲的一個重要途徑。該方面的研究主要集中在直升機旋翼噪聲、發動機噴流噪聲、低速構型流動噪聲、超聲速客機聲爆抑制等方向上。

對于亞聲速流動噪聲問題，例如增升構型、旋翼噪聲，大多數研究工作基于FW-H方程以及LEE方程進行，對FW-H聲輻射方程前向模式轉置可以很方便得到FW-H伴隨方程[66]：

進一步與流場伴隨方程進行耦合求解，最終獲得設計變量對遠場噪聲的梯度。國外針對該方向開展了一系列研究工作，例如懷俄明大學Fabiano等[66]基于流場與噪聲耦合伴隨方法進行了直升機旋翼噪聲降噪研究，顯著降低了觀測點噪聲水平，如圖32和圖33所示?；贚EE方程的伴隨方程構造略微復雜，邱昇[67]基于流場數值模擬以及多模態線化歐拉方程進行了多模態伴隨優化方法研究，圖34和圖35給出了初始外形以及最優外形近場傳播模態。

噪聲優化的另一個重要方向就是超聲速民機的聲爆抑制，該方向目前是一個研究熱點。超聲速民機面臨的最大挑戰之一就是民航對其超聲速飛行時聲爆水平的嚴格限制，目前用于預測遠場聲爆信號的方法主要包含波形參數法與Burgers方程，兩者在聲爆預測中具有良好的表現。波形參數法[68-69]存在無法預測激波上升階段、預測解存在間斷導致聲爆信號不可微等問題，無法進行快速傅里葉變換(FFT)，且在梯度優化體系中應用受限。

基于伴隨方程的聲爆優化進而也分為兩個方向：近場聲壓變分伴隨與流場/聲爆伴隨方程，即可以對地面聲爆信號進行變分，也可以對近場進行變分。近場變分[70]實現方式更為簡單，但無法直接設計地面聲爆信號。單獨聲爆伴隨方程推導比較簡單，詳細過程可以參考文獻[71]。

圖32 直升機噪聲觀測點[66]Fig.32 Helicopter noise observation point [66]

圖33 優化前后聲壓級對比[66]Fig.33 Comparison of sound pressure levels of initial and optimized configurations[66]

圖34 初始外形近場傳播模態[67]Fig.34 Near-field propagation mode of initial shape [67]

圖35 最優外形近場傳播模態[67]Fig.35 Near-field propagation mode of optimized shape [67]

聲爆伴隨求解過程是聲傳播的一個反向過程，利用最終的伴隨變量可以很方便的獲取遠場目標信號對近場信號的梯度：

詳細推導及變量定義可參考文獻[71]。

流場聲爆耦合伴隨方程的推導思路與上述方法一致，在聲爆目標函數中引入流場以及聲爆拉格朗日算子λf、λb：

(20)

進行變分展開后，變分表達式為

(21)

(22)

可以看出，與氣動結構耦合伴隨方程不同，流場/聲爆耦合伴隨方程在求解當前代優化問題上，只需要耦合一次即可。國外在該方面開展了一系列具有代表性的研究工作，例如，Jameson等基于近場變分形式進行了氣動力/聲爆優化[70]，如圖36 所示，Rallabhandi采用 FUN3D求解器自適應網格進行了超聲速飛機流場聲爆耦合伴隨方法的聲爆反設計與壓力敏感性分析[71]，如圖37 和圖38所示。

國內在聲爆預測、優化設計方面也開展了一定的研究，取得了一定的進展，大多研究工作基于進化算法以及波形參數方法等進行[72-74]，在基于伴隨方法的可導型聲爆優化上的研究非常少。本文作者開展了基于廣義Burgers方程的聲爆預測、流場/聲爆耦合伴隨優化研究[75-76]，在伴隨方程推導中，引入網格劃分規則、不同坐標系之間插值準則大幅簡化了耦合變分的難度，并對中型公務機開展了優化，驗證了耦合伴隨方法的有效性與高效率，圖39和圖40給出了超聲速飛機流場/聲爆耦合伴隨變量云圖以及優化設計對比。

圖36 近場伴隨優化[70]Fig.36 Near-field adjoint optimization[70]

圖37 NASA超聲速民機布局[71]Fig.37 NASA supersonic civil aircraft configuration[71]

圖38 壓力敏感度云圖[71]Fig.38 Pressure sensitivity contour[71]

圖39 第一伴隨變量云圖(Y=0)[76]Fig.39 First adjoint variable contour (Y=0 )[76]

圖40 耦合伴隨優化設計歷程[76]Fig.40 Coupled adjoint optimization design history[76]

4 多學科耦合伴隨方程的發展趨勢與應用前景

結合伴隨方程求解靈敏度工作量與設計變量無關、與目標函數相關的特征，以及多學科伴隨方法高效求解耦合靈敏度的優勢，可以預測，耦合伴隨方法將在更高維多學科優化、不確定度分析、學科對系統影響定量評估方面發揮重要作用。

4.1 多學科耦合伴隨方程發展趨勢

從現有文獻上來看，多學科耦合伴隨方法的研究工作主要集中在兩個學科范圍內，兩個以上學科耦合伴隨方法研究較少。實際上，工程型號中兩個學科以上的耦合現象并不少見，盡管在實際應用中兩個學科以上的耦合分析較少，也通常采用解耦的形式，但對于復雜系統耦合靈敏度分析這一基礎科學問題來說，該方向具有重要的研究價值，能夠為高維度多學科耦合靈敏度分析、設計提供重要技術支撐。

以超聲速飛機低聲爆設計為例，流場、聲爆傳播進行耦合伴隨能夠為氣動力、聲爆一體化設計提供技術支持，若考慮結構優化引起的彈性變形，又將產生一系列耦合現象，這是一個重要的基礎科學問題。NASA Glenn 研究中心的Silva等分析了彈性變形對聲爆信號的影響[77]，如圖41和圖42 所示，可以看出彈性外形和剛性外形對應的地面聲爆信號有著較為明顯的區別。因此，在詳細設計階段，必須考慮結構彈性變形的影響，才能充分挖掘設計潛力。若考慮結構優化引起的彈性變形，又將導致結構應力、載荷分布、氣動力、聲爆特性等發生變化等一系列耦合現象，這是當前一體化設計面臨的難點，也是關鍵技術。

圖41 超聲速客機氣動彈性變形[77]Fig.41 Aeroelastic deformation of supersonic passenger aircraft[77]

圖42 彈性外形與剛性外形聲爆信號對比[77]Fig.42 Comparisons of sonic boom signals of elastic and rigid shapes [77]

如果能夠快速獲取各個子系統靈敏度以及氣動/結構/聲爆耦合靈敏度，將為超聲速民機氣動外形多學科綜合設計提供有力的技術支撐。不僅如此，對于復雜系統的耦合靈敏度計算本身，也是一個具有挑戰性和重要研究意義的基礎科學問題，多學科耦合伴隨理論為之提供了一個有效的解決途徑。

然而，考慮氣動、結構、聲爆耦合伴隨方程的研究工作較少，本文針對該問題，結合不同學科的伴隨算子進行了對應的耦合伴隨方程推導：

(23)

式中：Rb=p0-T，對式(20)進行求導展開，

(24)

(25)

實際上，利用學科殘差對狀態變量進行變分的雅克比矩陣，也能夠很方便組裝出該三學科耦合伴隨方程：

(26)

將式(26)展開可以得到與式(25)一致的結果。進一步進行高效耦合靈敏度計算，即

通過以上分析可以看出，不僅在流、固、聲耦合靈敏度分析領域，在其他領域該思想也能夠進行有效推廣，例如，對于大展弦比隱身作戰飛機來講，氣動、結構、電磁等多學科耦合伴隨方法能夠為綜合設計提供高效的耦合靈敏度計算途徑；對于尾噴管部件設計，氣動/電磁/紅外耦合伴隨同樣能夠為綜合設計提供高效的耦合靈敏度計算途徑，為充分挖掘飛行器多學科綜合設計潛力提供技術支撐。因此，高維度多學科耦合伴隨體系是值得關注的研究方向。

多個學科耦合伴隨方程的構建關鍵是進行學科交叉導數雅克比的推導與組裝，其推導工作量、存儲量與學科數目以及學科類型緊密相關，沒有顯式變分關系的學科之間交叉雅克比將自動為零。多個學科耦合伴隨方法同樣也帶來龐大的存儲問題，這點可以參照延遲處理方式來緩解該方面壓力；對于不同的目標函數產生不同的右端項，將對應不同的耦合伴隨方程，計算量隨學科個數增加而線性增長，實際工程中大多數問題是目標函數個數遠遠小于設計變量，因此對耦合伴隨來講，學科耦合數目帶來的計算量基本可以承受。可以預見，隨著多學科分析(MDA)方法與高性能計算機設備的發展，高維度多學科耦合伴隨方法將在飛行器氣動外形多學科優化(MDO)設計領域發揮重要作用。

4.2 多學科耦合伴隨在不確定性分析中的應用

如前面所述，耦合伴隨方法在多學科優化中起到了舉足輕重的作用，不僅如此，在不確定分析中同樣也正在發揮重要作用。例如基于不確定性的氣動結構耦合設計中，基于氣動結構耦合伴隨方程的敏感性分析將會大大減少計算花費[78]，尤其面對高維不確定性問題。Beran等[79]闡述了氣彈系統不確定分析的方法以及目前他們的進展和難點，如維度災難問題，并強調了基于耦合伴隨敏感性分析構建梯度加強隨機代理模型將會有效緩解不確定分析維度災難問題[80]。Allen[81-82]、Stanford[83]、Mani[84]、Nikbay[85]等早期開展了基于一階可靠性分析的氣動結構耦合可靠性優化設計，他們使用基于氣動結構耦合伴隨方法快速求解關于耦合系統的可靠性指標的敏感性，如極限環振蕩和抖振速度的可靠性分析等。設計結果證明了他們的方法相對于確定性設計兼顧了效率和工程實用性。圖43給出了Stanford和Beran[86]給出的金屬薄板抖振速度的物理和正規空間分布，其中最大概率點采用一階可靠性分析給出。他們對比了抖振速度在物理和正規空間的分布，其最大概率點采用一階可靠性分析給出。然而一階可靠性分析用于近似復雜失敗概率空間時，分析精度往往難以滿足。因此，Verhoosel等[87]使用二階可靠性近似以提高抖振問題可靠性分析精度，Manan[88]、Scarth[89]、Hosder[90]和Missoum[91]等使用多項式混沌展開的方法來直接積分獲得可靠性指標，以提供更為準確的結果[92]。圖44給出了蒙特卡羅方法與多項式展開方法近似臨界速度的對比。結合伴隨敏感性分析，文獻[93]基于多項式混沌展開提出了穩健性和可靠性指標梯度計算準則。目前基于多項式展開不確定分析方法結合氣動結構耦合伴隨敏感性分析正得到更多的關注，尤其對于復雜氣動結構耦合問題。雖然大量的氣動結構耦合系統不確定優化應用正在開展研究，但其難點仍然集中在高維設計變量與高維不確定變量帶來的巨大計算花費問題，即維度災難問題[94]。通過前述研究可以發現，目前有希望的解決途徑是基于氣動結構耦合伴隨敏感性分析以提高高維不確定分析的效率和精度，和基于氣動結構耦合伴隨敏感性的不確定優化過程。

圖43 考慮前后緣扭轉剛度不確定性的薄板抖振速度物理和正規空間分布(*指示最大概率點)[86]Fig.43 Physical and normal spatial distribution of buffeting velocity of thin plate considering uncertainty of torsional stiffness of front and rear edges (* indicates the maximum probability point) [86]

圖44 考慮不確定參數的某一范圍內的臨界不穩定速度及概率密度函數(PDF)分布[94]Fig.44 Critical instability velocity and probability density function (PDF) distribution in a range of uncertain parameters [94]

5 結論和展望

面向飛行器氣動外形綜合設計，文中首先系統回顧了各個學科的伴隨方法發展及其在優化設計領域的應用現狀。系統梳理了多學科耦合伴隨方法發展現狀及其關鍵技術，總結了多學科伴隨優化方法在氣動/結構、氣動/隱身、流場/噪聲等方面的耦合優化應用。

結合多學科耦合伴隨方程構建以及在工程應用中面臨的實際問題，并基于現有研究工作提出了解決途徑?；隈詈习殡S方程高效求解耦合靈敏度的優勢，展望了多學科耦合伴隨方法將在高維多學科伴隨、不確定度分析、學科對系統影響定量評估等幾個方向的發展趨勢。

多學科耦合伴隨能夠快速獲取各個子系統的靈敏度以及復雜問題耦合系統的靈敏度，將為未來先進飛行器氣動外形多學科一體化綜合設計提供有力的技術支撐。不僅如此，對于復雜系統的耦合靈敏度計算本身，無論是對基礎科學問題還是工程應用，尤其對于新一代先進飛行器研制來講，該方向具有重要研究意義。

致 謝

在本文的研究工作中，周琳、劉沛、趙歡、張繹典等給予了數據和技術支持， 大連理工大學陳飆松教授、張盛副教授等在結構有限元建模、有限元分析方面給予了建議，在此表示感謝！