美聯航事件中的機票超售問題研究

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（湖南工業大學 理學院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

2017年發生的美聯航事件引起各方關注，事件起因是美國由來已久的機票超售制度。超售制度起源于20世紀初的歐洲國家，是航空公司為了避免出現空位損失，在飛機起飛前售出大于飛機實際座位數的一種銷售模式。在實際運營過程中，總有訂座之后因為各種原因不能來登機和起飛前退票的旅客，這種現象稱為No-show[1]。文獻[2]提出即使是完全售空的航班，在航班起飛前都會有5%～15%的旅客No-show，而為了減少No-show 旅客帶來的空座損失，航空公司會采取超售的方式使得利益達到最大化。所以早期學者們主要根據No-show 人數分布來研究最優 超 售 水 平。1958年，M.J.Beckmann等[1]將Noshow 旅客帶來的總損失用泊松分布和伽馬分布進行擬合，發現伽馬分布與航空實際情況比較符合，并依此提出一個靜態超售模型，文獻[3]運用Bellman-Jacobi 方程對模型進行分析，并求解了分段超售限制的最優解，該模型得到了各大航空公司的認可，并進行試用。但這一模型也有不利的一面，當登機人數超過了飛機實際座位數時，就會造成有些買了票的旅客無法登機，這種旅客被稱為DB（denied boarding）旅客，而因此產生的一系列費用稱為DB 補償[4]，文獻[4]重點研究DB 旅客對超售收益的影響，并提出在保證盈利情況下航班能承受的最大DB 率。在美聯航事件中就是因為被DB 旅客拒絕放棄登機，其他乘客也沒人愿意放棄登機，才導致了事件的發生。相對發達國家來說我國的超售制度引入較晚，相關的制度也不夠完善。但是隨著人們生活水平的提高，航運已經成為人們經常選擇的交通方式，特別是在節假日時，通常會出現一票難求的現象。所以，為了保證航班最大限度地使用運力，讓更多旅客享受便捷的航空服務，機票超售不可避免。因為大眾對機票超售的認同感很低，還有一部分甚至不知道機票超售概念，所以由“機票超售”引起的投訴和訴訟也不少。我國在這方面的研究還很少，其中文獻[5-6]建立了基于二項分布的超售模型，但都只討論No-show 人數對總收益的影響，未考慮DB 人數對總收益的影響；文獻[7]同時考慮了這兩個因素，借助Matlab 軟件采用枚舉法對問題進行求解，求出不同條件下的最佳銷售量與其對應的超售總成本，并通過分析得出No-show 人數和DB 人數對最佳銷售量和超售總成本的影響。

本文從航班總收益和最佳超售水平的角度出發，綜合考慮了No-show 人數和DB 人數對最佳銷售量和超售總成本的影響，最后得出了與文獻[7]一致的部分結論，同時利用Matlab 軟件繪制了函數圖像，更直觀地呈現了在不同條件下航班總收益與訂票水平的關系，并從航班收益最高點附近的圖像走勢中得出No-show 人數和DB 人數對航班總收益的影響，然后在結論的基礎上給出有效建議，并通過實例加以驗證，增加了模型的可靠性。

2 基于二項分布的航空機票超售模型的建立

2.1 模型的假設與符號說明

為了強化旅客No-show 人數分布對于航空機票超售量的影響作用，便于模型的構建，作出如下3個假設：

假設1由于旅客到達機場是相互獨立的，所以假設旅客達到是離散的。

假設2不考慮多級票價的情況，即航班的座位具有無差異性。

假設3No-show 人數k服從二項分布。

為了便于模型的構建以及問題的理解與說明，作以下符號設定：

f，為航班的飛行總成本，不隨旅客人數的變化而變化，是一個固定值，作為常數處理；N，為航班飛機所載額定旅客數，即實有座位量；n，為飛行中飛機所載旅客數；g，為旅客所購機票的票價；m，為航班起飛前訂座人數；k，為航班起飛時，Noshow 旅客人數；b，為航班起飛時，處理一名被DB的旅客給航空公司所在成的平均損失費用；s，為本次飛行完成后，航空公司所得的利潤；p，為一個訂座的旅客到達的概率；q，為一個訂座的旅客“Noshow”的概率；p(k)，為k人“No-show”的概率。

2.2 預期收益模型的建立

根據以上假設以及符號說明可知：在某次航班飛行周期中，需要登機的旅客人數為m-k，航空公司的預期收益為

因為對于某一特定的航班來說，No-show 人數k是一個隨機變量，所以航空公司的預期收益用預期收益的數學期望來表示，會更加適當和準確，它表示所有可能No-show 人數k值對應的情況下的預期收益乘以相對應的概率的和，記為，因此航班的預期收益為

本模型的難點是如何確定Pk的值，需要考慮眾多因素，對大量的數據進行分析，對航班的實時動態進行長時間的監控，才能確定Pk的值。為了便于問題的研究，假設旅客到達機場的概率是p，旅客被No-show的概率為q，又因為每個旅客到達機場是相互獨立的事件，所以k服從二項分布，且

研究超售的任務是找一個最佳平衡點，使得航班的期望收益盡可能的大，而旅客被DB的人數盡可能的少，即最佳訂票水平。所以在超售模型中，怎樣正確評估航空公司對每個航班不同的DB，計算出航空公司所能承受的最大DB 旅客人數，是保證航班最大期望收益的關鍵。

設X為一次航班飛行周期中旅客被DB的人數，則可以算出至少z個旅客被DB的概率：

2.3 模型求解

在k服從二項分布的狀態下，建立了航班的預期收益模型。因為且是k的期望值，用來表示，則可以簡化模型（2），變為

式中：f、g、b為不被航空公司短期因素影響的參數；N為不可變參數；k為外部不可控參數，不受航空公司控制；m為航空公司短期靈活可控參數。

則在某一特定情況下g、b、f、k、N是固定值，此時只隨訂票水平m的變化而變化。所以只要用Matlab 數學軟件編制程序，輸入任意g、b、f、k、N和訂票水平m，就可以求出對應的。當取得最大值時，此時對應的m就是最優的超售水平。

又因為在一次飛行中，在載客率超過60%時，航空公司才能盈利，所以假設f=0.6Ng，且=qm，繼續化簡式（5）得：

則此時最大期望收益變成了最大期望收益率的問題，且最大期望收益與處理一名DB 旅客的賠償額和票價的比值b/g建立了函數關系。

3 模型分析

對式（7）用Matlab 軟件編制計算機程序進行數值分析。以南方航空公司的波音B737-700為例，N=120，分以下兩種情況討論。

3.1 b 保持不變

取b/g=0.3，可得最大訂票水平m的值隨旅客的到達率p的變化曲線，如圖1所示。

圖1 不同p值下期望收益率/f 隨訂票水平m的變化情況Fig.1 Expected return /f changes with booking level m under different values of p

此時根據式（4）計算可得出，當獲得最大期望收益時所對應的至少z個旅客被DB的概率，在本次模型中根據2017年本航班在每個飛行周期中被DB人數的眾數來確定z的值，取z=3，則有：

當p=0.95，m=128時，P(X≥3)=0.378 4；

當p=0.90，m=136時，P(X≥3)=0.503 9；

當p=0.85，m=145時，P(X≥3)=0.579 5。

從圖1中的曲線走勢可以看出：

2）最佳訂票水平m與旅客到達機場的概率p值成負相關，所以當旅客到達機場的概率p較低時，為了彌補因為No-show 帶來的空位損失，就要提高超售水平，以保證航班的收益率；

3）最大期望收益率基本穩定，雖然隨著旅客到達機場的概率p值的減小，最大期望收益率也在減小，但是收益率減少量與最優訂票水平的上升量完全不成正比，這就說明了期望收益率受p值的影響較小，基本上是穩定的，也從側面說明了采取超售的方式進行售票，可以在一定程度上保證航空公司的收益率，證明該方式是可行的；

4）至少有3 人被DB的概率與旅客到達機場的概率值成負相關，而旅客被DB的概率越大，航空公司進行DB 補償的總金額就越大，航空公司的期望收益率就越小，所以，為了保證收益率，需要將P(X≥z)限制在某個范圍內。

3.2 p 保持不變

取p=0.9，可得最大訂票水平m隨b/g變化的曲線，如圖2所示。

圖2 不同b/g值下期望收益率/f 隨訂票水平m的變化情況Fig.2 Expected return /f changes with booking level m under different values of b/g

此時可根據式（4）計算得出，當獲得最大期望收益時所對應的至少3個旅客被DB的概率分別如下：

當b/g=0.2，m=137時，P(X≥3)=0.604 0；

當b/g=0.3，m=136時，P(X≥3)=0.503 9；

當b/g=0.4，m=135時，P(X≥3)=0.400 9；

當b/g=0.5，m=135時，P(X≥3)=0.378 4。

從圖2的曲線走勢可以看出：

1）隨著b/g值的增大，最大期望收益率減小，與之相對應的最大期望收益的訂票水平m有所減少但是幅度比較小，這就說明最大期望收益率對于b/g的變化不敏感，結果與實際情況是相符合的，當處理一名DB的旅客的費用b很高時，航空公司一般會采取保守的超售政策，降低訂票水平來規避DB的發生，減少因此而帶來的損失；

2）至少3 人被DB的概率隨著b/g值的增大而顯著下降，直至不再發生變化變。這說明被DB的人數對b/g的變化非常敏感，所以確定合適的DB 補償值b可以減少DB的概率，從而提高航空公司的預期收益率。

4 實例分析

選取廣州-昆明航線，飛機型號為B737-300的航班進行實例分析，已知客容量N=120，機票價格g=1 000，DB 補償額b=300。根據2017年1月—2017年12月中國民用航空局發表的旅客訂票信息數據統計航班起飛時旅客登機狀態分布，如表1所示（數據來源為http//www.caac.gov.cn）。

表1 航班起飛時旅客登機狀態分布Table1 Passenger boarding status distribution at flight departure

根據航班起飛時旅客登機狀態分布表中的數據，利用Matlab可得旅客在航班起飛前到達機場的概率p的均值為

分別將N=120、g=1 000、b=300以及p=E(P)= 0.897 5 代入式（7）中，并利用Matlab 進行計算，得出航班在本次飛行中的最大期望收益率所對應的訂票水平，如圖3所示。

圖3 實例結果圖Fig.3 Case results chart

由圖3可以看出，期望收益率隨著訂票水平的增加先增加后減少，在訂票水平m=136時，期望收益率取得最大值。即航空公司在該航線上的最優訂票水平為m=136。

雖然得出的結果136 略大于實際運營中的旅客的訂票需求量134，但是這個結果仍然具有很大的現實意義以及較高的參考價值。第一，在不考慮多級票價的情況下，這個模型在一定程度上很大地降低了實際運營過程中存在的空座率和被DB 率，使更多的人能夠成功出行的同時也提高了航空公司的收益；第二，根據實例中的條件，計算所得最大訂票水平m所對應的收益率接近航班最大收益率；第三，這個結果為航空公司制定訂票水平提供了量化依據。

綜上所述，本模型與在實際運營過程中的擬合度較高，可以作為航空公司制定訂票水平時的參考。

5 結語

本研究從No-show 旅客人數的分布入手，基于二項分布的航空機票超售模型，通過對模型的求解和分析，得到了航班的最優訂票水平與旅客到達機場的概率以及處理DB 旅客的費用關系[8-10]。從仿真數值分析的結果可以看出，最大期望收益率的值基本穩定，這也說明了采用超售方式進行售票可以保證航空公司的穩定收益。從理論上來說模型具有一定的價值性。但是由于計算的復雜性，本研究暫時沒有考慮多等級票價和旅客在訂票周期中的訂票狀態對最優訂票水平的影響，另外由于網上訂票的普及性，人們訂票越來越便捷的同時，退票也越來越迅速，所以如何對訂票周期進行細分并建立動態多等級票價的最優訂票水平是有待進一步研究的問題。