粘彈性傳動帶橫向非線性振動的穩定性與分岔現象

史堯臣， 李占國， 陳國平， 趙希祿

(1. 長春理工大學 機電工程學院， 吉林 長春 130022；2. 長春大學 機械與車輛工程學院， 吉林 長春 130022；3. 琦玉工業大學 工學部， 日本 深谷 369-0293)

傳動帶存在軸向運動且承受軸向力作用而張緊，在傳動過程中會產生一定的橫向振動，并導致傳動平穩性降低,傳動精度下降.因此，研究橫向振動的動力學特性，對其振動進行控制具有很大的現實應用價值.如汽車發動機正時帶是汽車中的重要組成部件，其工作性能的優劣直接影響發動機運行的平穩性,而且由于機械向高速化、精密化發展，對傳動性能要求更加嚴格[1-3].

帶傳動橫向非線性振動的研究范疇應歸于軸向運動連續體的非線性振動.對軸向運動連續體，國外學者進行了很多研究[4-6].軸向運動弦線和軸向運動梁是軸向運動體的兩個經典模型，而傳動帶是抗彎剛度很小的連續體，常常簡化為弦線模型和梁模型來處理.當不考慮抗彎剛度時，采用軸向運動弦線模型.如Mood等[7]將傳動帶簡化為弦線，采用攝動分析軸向運動帶的振動頻率、幅頻特性和共振響應；Zhang等[8]建立了粘彈性傳動帶的受迫振動弦線模型，運用多尺度法，分析動力粘性和軸向速度對系統的影響；張偉等[9]采用兩端簡支的運動弦線，分析了粘彈性傳動帶內共振、周期運動和混沌運動.對于傳動帶模型穩定性研究，劉偉等[10]研究了粘彈性傳動帶的帶速波動頻率對系統穩定性的影響，給出了穩定域和不穩定域.Pakdemirli等[11]給出了軸向運動弦線的穩定域，研究得出不同階Galerkin離散近似解下穩定和不穩定點.

目前,國內外關于傳動帶的研究主要集中在建立振動模型方面，對傳動帶的動力學特性的研究較少.本文基于軸向運動弦線模型，建立粘彈性傳動帶的非線性橫向振動方程；然后,利用Galerkin方法離散偏微分振動方程[12-15]，研究軸向速度和帶速波動幅值對系統動力學特性的影響，并分析由軸向平均速度和速度波動幅值共同決定的穩定運動區和超臨界區的條件.

1 傳動帶橫向振動動力學方程

將粘彈性傳動帶的傳動模型簡化為軸向運動的弦線[16-17].設傳動帶的單位長度質量為ρ，傳動帶的橫截面積為A，v為傳動帶軸向運動速度，P為張緊力，c為阻尼系數，L為兩簡支端帶的跨度，以帶橫向振動時的平衡位置為x軸，時間坐標為t，以帶與帶輪節圓切點為坐標原點，建立直角坐標系xoy，如圖1(a)所示.

(1)

(a) 帶傳動簡化模型 (b) 傳動帶微元段受力圖圖1 帶傳動的橫向振動模型Fig.1 Belt drive transverse vibration model

由于傳動帶通常以橫向振動為主，故只考慮橫向振動位移產生的軸向變形，其應變的具體表達式為

(2)

當橫向振動引起的軸向應變比較小，軸向應變引起的張力可用平均值替代精確值，此時張緊力為

(3)

式(3)中:P0表示帶的初始張緊力；E為帶的彈性模量.

對于小變形情況，有

(4)

將式(2)～(4)代入式(1)中，略去dx的二階小量，經化簡可得

(5)

式(5)即為粘彈性傳動帶的橫向非線性動力學方程.這里引入無量綱變量，即

(6)

假設傳動帶速度有周期波動，則有

v=v0+γsin(Ωt).

(7)

式(7)中：v0為平均帶速；γ為速度波動幅值；Ω為速度波動的頻率.由于γ?1，取近似表達則有

(8)

將式(6)～(8)代入式(5)中，可得到具有速度波動的粘彈性傳動帶的橫向非線性振動方程.即

該模型的邊界條件為

(10)

2 橫向振動Galerkin離散

為了研究傳動帶的動力學特性，采用Galerkin離散[18-19]，將振動的偏微分方程在時間和空間坐標系解耦，則方程(9)的解近似為

(11)

式(11)中:qi(t)為時間函數;sin(iπx)為模態函數.這里取一階Galerkin離散，即

w(x，t)=qsin(πx).

(12)

將式(12)代入式(9)中，兩邊同乘以函數sin(πx)，并在區間[0，1]上積分,可得

(13)

式(13)表示一階截斷簡化后的粘彈性傳動帶具有速度周期波動的非線性振動方程.

3 帶傳動平衡穩定性

由于

(14)

則方程(13)可改寫為

(15)

為分析系統平衡點位置及其穩定性，在相平面內分析，平衡點處速度和加速度均為零，即

(16)

選取的參數:ρ=0.12 kg·m-1，c=0.1 N·s·m-2，Ω=0.5 s-1，P0=100 N，E=0.15 GPa，A=2.78×10-5m2.現有的文獻中，都是在不考慮速度波動的條件下認為臨界速度為vc=1.但實際上，速度波動幅值也決定著系統的臨界速度.由方程(16)可知：Δ=α+βcos(Ωt)的正負決定著系統平衡解的數目，即平均速度和速度波動共同決定著系統的分岔行為和穩定性.

對于一個振動系統的穩定性，往往會對系統的平衡點感興趣，因為這些位置的振動狀況反映著系統的分岔和穩定性；而非線性系統的穩定性可以通過判斷其特征方程的根的正負來確定.

下面利用里雅普諾夫法則進行判斷.令q=q1，將方程(15)降階為

(17)

不同平均速度v0和速度波動幅值γ下系統的穩定性,如圖2所示.圖2中：w為無量綱位移.由圖2(a)可知：系統圍繞著一個穩定的平衡位置處做衰減的微幅振動，相圖上表現出一個穩定的吸引子.

(a) 相圖(v0=0.7，γ=0.15) (b) 振動響應曲線(v0=0.7，γ=0.15)

(c) 相圖(v0=1.05，γ=0.15) (d) 振動響應曲線(v0=1.05，γ=0.15)圖2 不同平均速度和速度波動幅值下系統的穩定性Fig.2 System stability at different average speeds and amplitudes of speed fluctuations

圖3 穩定性的邊界條件Fig.3 Boundary conditions of stability

平均速度和速度波動幅值共同決定的穩定性邊界條件,如圖3所示.由圖3可知：當帶速波動幅值不變時，改變平均速度的大小，傳動帶運動將由穩定區向超臨界區轉變.從圖(3)還可知：臨界平均速度隨著速度波動幅值的增大而降低，對穩定與不穩定區的決定是最為重要的，將極大影響傳動帶的振動穩定性.

帶傳動工作時要求傳動平穩，尤其對于精確傳動至關重要，也更有助于降低噪音和延長使用壽命.分岔將導致系統振動不穩定.從圖2可知：在穩定區域(圖2(a))在初始條件激勵下，系統隨著時間增大做衰減振動，最后穩定在平衡位置處做幅度微弱的振動；帶傳動在超臨界狀態運動時，由于分岔而出現多周期和混沌運動，振動的幅度將會加大，如二倍周期運動(v0=0.65，γ=0.5)，最大振幅為0.012；四倍周期運動(v0=0.62，γ=0.5)，最大振幅為0.022；而系統處于混沌運動時，振幅會急劇增大，約為0.13～0.14.帶速的增加加劇帶傳動的波動而失衡，最終有失效的可能，甚至達不到傳動的目的.因此，在帶傳動工作時，應要求盡量消除帶速波動，且工作在穩定區或弱超臨界區(v0<1的超臨界區域)，以實現良好的傳動.

4 傳動帶運動系統的分岔現象數值模擬

令平均帶速v0為可變參數，取帶速波動幅值γ=0.5，其他值取上述基本參數值.平均帶速從0.50到2.00時的無量綱振動位移和速度的分岔圖，如圖4(a)所示.由圖4(b)可知：當v0較小時，系統做單周期振動，只有一個不動點；當v0超過某個臨界值時，平衡失穩而出現周期分岔；當v0=0.62時，出現四倍周期運動.由圖4(c)可知：系統有4個不動點，當v0=0.65時，出現二倍周期運動.由圖4(d)可知：系統有2個不動點，根據穩定性判斷條件，當γ=0.5時， 通過計算出臨界值(平均速度分岔值)為vc=0.618，與分岔圖中所示幾乎一致，也驗證了上述的合理性.由圖4(c)可知：當v0繼續增大，粘彈性傳動帶出現倍周期分岔而進入混沌運動，映射圖表現為密集且有層次結構的點，表示混沌運動.

同樣，令帶速波動幅值γ為可變的參數， 取平均帶速v0=0.80， 其他值取上述基本參數值,平均帶速從0到0.80時無量綱振動位移和速度的分岔圖，如圖4(e)所示.從圖4(e)可知：通過計算出臨界值(帶速波動幅值分岔值)為γc=0.225，理論計算與數值模擬結果吻合；隨著參數γ的增大，系統會出現分岔現象，即由周期運動到多周期運動再到混沌運動.

(a) 平均速度分岔圖 (b) 單周期運動(v0=0.62)

(c) 四倍周期運動(v0=0.62) (d) 二倍周期運動(v0=0.65)

(e) 混沌運動(v0=1.05) (f) 速度波動幅值分岔圖圖4 分岔與映射圖Fig.4 Bifurcation and mapping

由圖4(a),(e)可知:隨著參數的增加，系統的振動出現周期分岔而平衡位置失去穩定性，此時系統的運動變為多周期，且振幅也突然增大；隨著參數繼續增大，系統出現倍周期分岔而進入混沌運動.由圖4(a),(e)還可知：振動響應的幅度也突然跳躍增大，此時，振幅遠遠大于周期和多周期運動時的振幅；在混沌區域，隨著參數的繼續增加，混沌運動與周期運動會交替出現，振動的幅度會發生突變，即振動的不穩定性會加劇.

5 結論

建立粘彈性傳動帶的積分-微分型非線性動力學方程，通過Galerkin方法離散偏微分控制方程為帶有參數激勵的常微分振動方程.通過軸向平均速度和速度波動幅值對系統穩定性和不穩定性的劃分，兩者共同決定著系統的穩定區和超臨界區，給出判斷的邊界條件.

利用里雅普諾夫法則對系統的平衡位置的穩定性分析，表明平凡平衡位置是穩定的，非平凡平衡位置處出現分岔不穩定.利用分岔圖和龐加萊映射圖分析軸向平均速度和速度波動幅值對系統振動穩定性的影響，結果表明，隨著參數的增大，系統由單周期變為倍周期運動，最后進入混沌運動狀態.

通過觀察分岔圖中的分岔值點，與理論公式計算出的分岔值進行對比，二者幾乎一致.這證明了劃分穩定性條件的正確性，可為傳動帶的傳動穩定性與動力學特性方面的研究提供理論依據.