廣義變系數KdV方程的保角能量守恒方法

郭峰, 莊清渠

(華僑大學 數學科學學院, 福建 泉州 362021)

1 預備知識

KdV方程是一類重要的非線性模型,用于描述許多物理現象,如非諧晶體中的聲波、熱等離子體中的磁流體動力波及離子聲波等.在各種實際物理背景中,當考慮媒介的非均勻性及邊界的非一致性時,變系數模型往往比相應的常系數模型更能說明問題.考慮帶依時阻尼和彌散項的廣義KdV(TDKdV)方程的周期初值問題，即

ut+upux+α(t)u+β(t)uxxx=0,x∈Ω,t∈(0,T],

(1)

u(x,t)=u(x+L,t),x∈Ω,t∈(0,T],

(2)

u(x,0)=u0(x),x∈Ω.

(3)

式(1)～(3)中:p是正整數;Ω=[a,b];T是時間終點；L=b-a;u0(x)是給定的光滑函數;u(x,t)是相關波模型的振幅;α(t),β(t)分別表示依時阻尼系數和彌散系數.

方程(1)有著廣泛的物理應用,如海洋動力學中的海岸波、等離子體物理學、天體物理學及流體動力學等[1-3].對于無耗散的KdV方程,已有的數值研究方法主要有有限差分法[4-5]、有限元法[6]、譜方法[7-8]等.近年來,保結構算法因能長時間保持哈密爾頓系統的幾何結構而備受學者們的關注.Wang等[9]研究了無耗散KdV方程的局部保結構算法.Brugnano等[10]利用哈密爾頓邊界值方法，構造了KdV方程的高階能量守恒格式.對于具耗散的KdV方程,房少梅[11]在假設數值解有界的前提下,僅對廣義KdV方程的一般譜格式和擬譜格式進行解的誤差估計.Guo[12]對阻尼KdV方程提出一個保角多辛算法.目前,尚無關于阻尼KdV方程保能量耗散方面的保角保結構算法.

哈密爾頓系統最具特征的結構,就是常常被稱為系統能量的哈密爾頓函數本身.由于耗散的KdV方程非哈密爾頓系統,傳統的保結構方法若直接應用到此類問題就會失去其優勢.針對帶線性阻尼項的保角哈密爾頓系統,文獻[13-16]提出能保持其保角守恒律的保角方法.本文根據這一方法,利用算子分裂技巧,對方程(1)～(3)構造一個空間上高精度的傅里葉擬譜保角能量守恒格式,該格式在周期邊界條件下能保持系統的離散保角能量守恒律及保角質量守恒律.

2 TDKdV方程的保角哈密爾頓系統及保角守恒律

TDKdV方程(1)可以寫成一個保角哈密爾頓系統[13,15]，即

(4)

式(4)中：H為能量泛函，表達式為

(5)

保角哈密爾頓系統(4)在合適的邊界條件如周期邊界條件(2)下,具有以下2個保角性質.

1) 保角質量守恒律

(6)

2) 保角能量守恒律

(7)

3 TDKdV方程的保角能量守恒傅里葉擬譜方法

對上式求偏導，可得算子IJu(x,t)在節點xj處的s階偏導數為

(8)

式(8)中：u=(u(x1,t),u(x2,t),…,u(xJ,t))T；Ds∈RJ×J是s階譜微分矩陣.

D1的元素為

D2的元素為

上式中：j,l=1,2,…,J.

引理1矩陣D1的元素滿足(D1)j=0,j=1,2,…,J,即D1每行元素之和為零.

證明:將u=(1,1,…,1)T,s=1代入式(8),即證明.

在空間上用傅里葉擬譜方法離散方程(4),得到一個半離散系統,即

(9)

式(9)中：

(10)

(11)

將空間上采用傅里葉擬譜方法得到的格式稱為FPEP,采用中心差分方法得到的格式稱為CDEP.

首先,將系統(9)分裂成一個保守的哈密爾頓系統

(12)

和一個耗散系統

(13)

然后,在時間方向上,應用二階平均向量場方法(AVF)[18]求解系統(12),得

不失一般性地,設p=1,即

定理1式(14)具有離散保角質量守恒律,即

(16)

證明:注意到D1的反對稱性,由引理1,對式(14)關于空間指標j求和,有

從而可得保角質量守恒律(16).

定理2式(15)滿足離散保角能量守恒律,即

(17)

4 數值試驗

對FPEP(15),CDEP(11)及下列傳統AVF方法(TAVF)的解的精度、計算效率及保角守恒律誤差進行比較,并考慮不同類型的阻尼對保角守恒律的影響,即

TDKdV方程(1)在p=1時,有解析解為

算例1設阻尼系數α(t)=0.01，當h=0.01,T=10時,FPEP和CDEP的時間收斂階,如表1所示.τ=0.001,T=10時，FPEP和CDEP的空間誤差，如表2所示.由表1,2可知：在時間方向上，FPEP和CDEP均為二階精度；在空間方向上,FPEP的誤差非常小,而CDEP的誤差較大,收斂率為二階.

表1 FPEP和CDEP的時間收斂階Tab.1 Temporal convergence rates of FPEP and CDEP

表2 FPEP和CDEP的空間誤差Tab.2 Spatial errors of FPEP and CDEP

表3 不同空間步長下2種方法的CPU運行時間Tab.3 CPU times of two methods at different spatial steps s

當τ=0.01，T=10時,不同空間步長下2種方法的CPU運行時間，如表3所示.由表3可知：使用FFT技巧的FPEP的運算時間遠小于CDEP.

在h=0.2,τ=0.001下，分別將3種格式運行到T=60時，其數值解與精確解的比較，如圖1所示.圖1中：x為空間區域.由圖1可知:TAVF的誤差最大;FPEP,CDEP的數值解與精確解吻合得很好.

(a) FPEP (b) CDEP (c) TAVF圖1 3種方法的數值解與精確解的比較Fig.1 Comparisons of exact solution and numerical solutions with three methods

(a) FPEP (b) CDEP (c) TAVF圖2 3種方法的保角能量守恒律誤差Fig.2 Errors on conformal energy conservation law for there methods

(a) FPEP (b) CDEP (c) TAVF圖3 3種方法的保角質量守恒律誤差Fig.3 Errors on conformal mass conservation law for there methods

3種方法在時間區間t∈[0,60]上的保角守恒律誤差，如圖2,3所示.圖2,3采用的參數與圖1相同.由圖2,3可知：FPEP與CDEP均滿足保角能量守恒律和保角質量守恒律,而TAVF卻不能滿足.這表明保角能量守恒方法在保持保角守恒律方面比傳統AVF方法更具優勢.

算例2當h=0.2,τ=0.001時,在不同阻尼系數下,FPEP方法在時間區間t∈[0,60]上的保角守恒律誤差，如圖4,5所示.由圖4,5可知:在不同類型的阻尼下，FPEP均能精確保持保角守恒律.

圖4 FPEP方法的保角能量守恒律誤差Fig.4 Errors on conformal energy conservation law for FPEP method

圖5 FPEP方法的保角質量守恒律誤差Fig.5 Errors on conformal mass conservation law for FPEP method

算例3阻尼系數α(t)=0.02時,FPEP方法下雙孤立子的碰撞及保角守恒律誤差，如圖6所示.圖6中：初始條件取u(x,0)=12(0.15·0.92sech2(0.9(x+12))+0.015·22sech2(2(x+8)))，并假設h=0.2,τ=0.001.由圖6(b)可知：雙孤立子碰撞后,除了振幅減小,相空間結構仍保持良好，表明碰撞是彈性的.

(a) 雙孤立子的演化 (b) FPEP在不同時刻的數值圖像

(c) 保角能量守恒律誤差 (d) 保角質量守恒律誤差圖6 FPEP方法下雙孤立子的碰撞及保角守恒律誤差Fig.6 Collision of two solitons by FPEP and errors on conformal conservation laws

5 結束語

時間采用二階AVF方法,空間采用傅里葉擬譜逼近,利用Strang分裂,構造變系數廣義KdV方程的一個保角能量守恒格式.計算中使用FFT技巧,不但比空間采用二階中心差分的保角能量守恒方法誤差小,而且計算效率也很高.數值實驗結果表明：相比傳統的AVF保能量方法，采用保角能量守恒方法更能體現保角哈密爾頓系統的本質屬性,并具有良好的長時間數值行為.由于KdV方程是非線性方程,構造阻尼KdV方程在時間上更為高階的保角保結構算法將是一個不小的挑戰.