一類非自治隨機時滯系統的狀態反饋鎮定

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(1.南京信息工程大學 數學與統計學院,南京,210044；2.湖南師范大學 數學與統計學院,長沙,410081)

1 引言

近年來, 隨機時滯系統的研究受到了人們的普遍關注[1-6], 并應用到許多實際工程模型中, 如化學反應系統、交通運輸系統以及電力能源系統等.時滯的出現不僅會破壞系統既有的穩定性能, 而且還會為反饋控制器的設計帶來不小的障礙.為了解決隨機時滯系統的穩定性問題, 人們提出了兩種穩定性分析方法, 分別是Lyapunov-Krasovskii泛函法(簡稱L-K泛函法)[7]和Razumikhin方法[8].目前關于隨機時滯系統反饋控制的研究工作, 大多采用L-K泛函法來處理時滯項.由于時滯項參與L-K 泛函的構造, 利用該方法處理時滯往往需要時滯項具有可導性.這在很大程度上限制了研究理論在復雜變時滯系統中的應用.為了處理復雜變時滯, Razumikhin方法引起人們的關注.

作為基于Lyapunov函數的穩定性分析方法,Razumikhin方法在處理變時滯(特別是不可導時滯)的問題上具有獨特的優越性.基于非隨機的Razumikhin定理, Mao[8]提出了隨機系統的Razumikhin理論, 并給出了一些重要的穩定性判據.基于該理論, 王天成和李剛[9]結合反步控制技術[10], 解決了隨機時滯系統的狀態反饋控制問題; 借助加冪積分器技巧, Wang 等[11]提出了高階系統的控制器設計策略, 討論了隨機時滯系統的全局漸近穩定性.此外, Min等[12]基Razumikhin方法討論了參數化隨機時滯系統的狀態反饋鎮定并提出了自適應控制算法.但是, 這些文獻所考慮的系統模型僅限于自治系統, 并未考慮非自治的情形.對于非自治隨機時滯系統而言, 由于非線性項中顯含時間變量t, 系統狀態的演變會更加復雜, 自治系統的控制方法已不能實現這類系統的控制目標.因此, 如何實現非自治隨機時滯系統的反饋鎮定, 仍是一個未解決且有意義的課題.

本文考慮一類非自治隨機時滯非線性系統：

(1.1)

其中x=(x1(t),…,xn(t))T∈n是系統的狀態,是控制輸入,τ(·):[0,∞)→[0,τ]是時滯項,是定義在完備概率空間(Ω,F,P)上的m維Wiener 過程,Ω是樣本空間,F是σ代數域,P是概率測度,函數fi:+×i×i→，和gi:+×i×i→m關于t是連續的,關于是局部Lipschitz的, 并且fi(t,0,0)=0,gi(t,0,0)=0,i=1,…,n.

本文目的是通過設計反饋控制器u=u(t,x(t))來實現系統(1.1)的依概率全局漸近穩定[2],即對任意ε>0,有

由于時間變量t的出現,系統呈現非自治的特征,此時控制器的設計難度增加.此外,不同于傳統L-K泛函法處理的時滯項,我們這里并未要求時滯項必須可導,這在很大程度上放寬了對時滯項的要求.

基于上述兩點,本文將結合Razumikhin方法與反步控制技術來解決非自治隨機時滯系統的狀態反饋鎮定問題, 技術難點總結如下:

1.本文所研究的系統模型的非線性項fi和gi包含時間變量b(t),這對系統的狀態響應會產生嚴重影響,導致控制器本身具有時變性;

2.本文所考慮的時滯項無可導性要求,此時L-K泛函法失效,故我們采用Razumikhin方法來處理復雜變時滯系統的反饋鎮定問題.

2 預備知識

下列記號貫穿本文.Tr{X}為方陣X的跡;|X|為歐式空間中向量的2范數；Ci為對應定義域上的i階連續可微函數全體之集；C1,2([-τ,∞)×n;+)為[-τ,∞)×n上的全體非負函數V(t,x)的集合, 其關于t是C1的且關于x是C2的.

考慮隨機時滯非線性系統:

dx(t)=f(t,x(t),x(t-τ(t)))dt+g(t,x(t),x(t-τ(t)))dω,

(2.1)

引理1[6]設x,y為實數,m,n為正實數，則對于任意c>0, 如下不等式成立：

3 主要結果

對系統(1.1)附加如下假設條件:

假設1對每一個i=1,2,…,n,存在一個關于時間t的非負C1函數b(t),使下式成立:

注1與已有文獻的假設條件[9,11-16]對比,本文所研究的系統模型考慮了時變因素的影響,即非線性項顯含時間變量b(t),假設條件的保守性較小,且容易在實際模型中驗證, 具體可見第4節.

(3.1)

其中α1(·),…,αn-1(·)是關于t的非負光滑函數.若假設1成立,則存在一非負光滑函數αn(t)及狀態反饋控制器

(3.2)

使得系統(1.1)在[-τ,∞)上幾乎處處存在唯一的全局解, 且平衡點x=0是依概率全局漸近穩定的.

1.控制器u的設計及函數αn(t)的選取.

由系統(1.1)和坐標變換(3.1), 我們能夠得到如下形式的輔助系統:

(3.3)

其中i=2,…,n,xn+1=u.由于坐標變換(3.1)的可逆性,系統(3.3)與系統(1.1)是等價的.下面將對系統(3.3)進行控制器設計.

首先選取一個C2且正定的函數

由假設1和引理1 可知

其中c1(t)是一個關于t的C1函數, 且滿足

選取虛擬控制器

其中λ>0是一待設計的常數,α1(t)是關于時間t的C1的函數.我們有

假設在第k-1步(2≤k≤n)時存在一C2且正定函數

(3.4)

接下來考慮第k步時的函數

(3.5)

由引理1和假設1可得

其中ck1>0是常數,ck2(t),…,ck5(t)是非負C1函數.

將上式代入不等式(3.5)可以得到

令

(3.6)

則有

(3.7)

對于系統(1.1), 考慮如下函數

若設計反饋控制器

其中cn1>0是常數,cn2(t),…,cn5(t)是非負C1函數，則我們有

(3.8)

2.證明系統(1.1)在[-τ,∞)上幾乎處處存在唯一的全局解.

由于系統(1.1)與系統(3.3)是等價的,所以只需證明系統(3.3)在[-τ,∞)上幾乎處處存在唯一的全局解即可.

結合函數Vn的定義, 由(3.8)可知

(3.9)

(3.10)

3.證明系統(1.1)的平衡點x=0是依概率全局漸近穩定的.

(3.11)

這里μ=4(λ-q).令λ>1,則一定存在q>1,使得μ=4(λ-q)>0.

4 仿真實例

下面將給出兩個實例來驗證本文的結論.

例1考慮如下形式的系統模型

(4.1)

其中

f1=|sint|x1(t-τ(t)),g1=|cost|x1(t),

f2=g2=x1(t-τ(t)),τ(t)=1.5|sint|.

由于時滯τ(t)不可導, 所以傳統文獻的控制方法[13-16]不能解決這類系統鎮定的問題.容易驗證

易知函數f1,f2,g1,g2滿足假設1, 故由定理1知存在一時變狀態反饋控制器u使得系統(4.1)的平衡點是依概率全局漸近穩定的.

根據(3.1), 我們引入變量及虛擬控制器如下:

進而可以得到系統(4.1)的狀態反饋控制器

u=u(t,x(t))=-ξ2α2(t).

(4.2)

設置初值x1(0)=1,x2(0)=-1,我們利用MATLAB 仿真軟件在圖1和圖2中分別繪制了閉環系統(4.1)-(4.2)的狀態響應曲線以及控制響應曲線,結果說明所設計的狀態反饋控制策略是有效的.

例2考慮一級聯化學反應堆系統[18]:

(4.3)

其中x1,x2是兩反應堆內的原料量,u是控制輸入,R1=0.5,R2=0.5是回流量,Θ1=2,Θ2=2是原料顆粒在反應堆的停留時間,K1(t),K2(t)是反應系數,F=0.5是原料供給率,vol1=0.5,vol2=0.5是反應堆體積,τ(t)=0.25|cost|是時變時滯,δ1=0.5x1(t-τ(t))sint,δ2=-2.8333x2是外部擾動.

類似文獻[12]的思路, 我們考慮反應系數K1(t),K2(t)受到隨機噪聲的影響,即K1(t)=K10+θ1(t)Δ(t),K2(t)=K20+θ2(t)Δ(t),其中K10=K20=0.5,θ1(t),θ2(t)是時變函數,Δ(t)是均值為零、方差為σ2=0.01的Gaussian 白噪聲.

由上一節的討論, 我們可將系統(4.3)轉化為下面系統模型:

(4.4)

顯然, 系統(4.4)滿足假設1, 故由定理1知存在一狀態反饋控制器u使系統(4.4)是依概率全局漸近穩定的.

令θ1(t)=sint,θ2(t)=cost,根據(3.1)引入坐標變換及虛擬控制器如下:

于是我們得到系統(4.4)的狀態反饋控制器

u=u(t,x(t))=-ξ2α2(t).

(4.5)

設置初值x1(0)=1,x2(0)=-1,我們利用MATLAB 仿真軟件在圖3和圖4中分別繪制了閉環系統(4.4)-(4.5)的狀態響應曲線以及控制響應曲線,結果說明所設計的狀態反饋控制策略對于系統(4.4)(或者系統(4.3))是有效的.

5 結論

基于Razumikhin方法, 本文研究了一類隨機時滯非自治系統的狀態反饋鎮定問題.通過反步技術, 我們設計了一種時變形式的狀態反饋控制器來實現系統的全局漸近鎮定.考慮復雜變時滯和時變非線性的影響, 本文在保守性小的鎮定條件下給出了反饋控制器的設計策略.