“多元表征”促成分數意義理解

朱昭偉

【摘要】分數是小學數學課程的重要內容之一，因其自身意義的多層級，其相關教學內容一直是小學數學教學難點。那么，突破之路在何方？如何才能促成分數意義的有效理解？本文基于這些問題，通過理論解讀，對課標、教師用書、教材的分析，以及學生學習起點的研究，以《分數的簡單計算》課前思考與實踐為例，找到了促成概念意義理解的有效路徑——多元表征。

【關鍵詞】多元表征 分數意義 分數的簡單計算

分數的意義理解及運算是小學課程的重要內容，理解分數的意義是小學生數概念發展的重要里程碑。但同時，“分數是一些小學生在數學學習中表現出真正困難的實際起點，并由此在小學數學學習中出現兩極分化”。這固然與“一個分數具有多種相關又不同的意義”不無關系（Kieren強調了分數五種不同的意義的理解：部分與整體的關系、商、測量、運算及比），也應與教學缺乏有效的路徑存在較大相關。“課標第一學段對分數內容的要求主要是‘部分與整體關系的意義”。人教版數學三年級上冊《分數的簡單計算》一課作為《分數的初步認識》的同單元后續課例，同樣也承載著促進分數“部分與整體”意義理解的要求。那么，如何才能在《分數的簡單計算》課時中促成對分數“部分與整體”意義的理解呢？筆者通過課標與教師用書解讀、教材解讀分析、學習起點實測等三方面的課前研究，明確了可通過多元表征促成對分數意義的理解。下面，筆者將從“多元表征相關論述”“課標、教師用書及教材解讀指向多元表征”“學習起點研究需要多元表征”等三方面來闡述。

一、多元表征相關論述

“多元表征理論”是當下數學學習心理學的研究成果。“數學多元表征是指同一數學學習對象的多種表征形式”，數學表征分類有很多種，常見的表征形式有圖形表征、情境表征、文字表征、符號表征等。該定義至少有以下含義：其一，就數學學習內容而言，數學學習的內容必然包含學習對象的多元表征形式;其二，就數學的學習過程而言，數學多元表征學習是一種學習策略或方法，即基于多元表征來學習數學，并運用多元表征的方法來學習數學。具體到概念教學，“幫助學生建立概念的多元表征，并能根據需求和情境在表征的不同成分之間作出靈活的轉換”自然就成為數學概念教學的一個重要目標。從教學策略上講，通過建立概念的多元表征形式，加強不同表征之間的轉換，也會促進學生對概念的理解。

二、課標、教師用書及教材解讀：明確多元表征

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對“分數”在第一學段的相關內容的要求為：“數的認識”中第五條“能結合具體情境初步認識小數和分數”，第六條“能結合具體情境比較兩個小數的大小，能比較兩個同分母分數的大小”，以及“數的運算”第五條“會進行同分母分數（分母小于10）的加減運算及一位小數的加減運算”。這里的“結合具體情境”就是明確應在結合情境表征的情況下學習分數。教師用書對該課所在單元的教學建議中明確提出“注意通過多元表征之間的轉換，逐步加深對分數的認識”“借助多種直觀模型和操作，理解分數的含義”。同時，教師用書中具體到該課的教學建議中明確提出“借助幾何直觀、通過分數的含義，讓學生理解算理，體會算法”。上述課標與教師用書的解讀都指向“多元表征”，通過多元表征豐厚學生對分數意義的理解。

人教版數學三年級上冊的認識分數及比較分數大小的相關內容，無論是例題還是練習題，都編排了大量的圖形、情境、文字與符號等不同表征及多種表征相互轉換的內容。細讀《分數的簡單計算》相關內容（圖略）更是如此，無論是例1分數的加法、例2分數的減法，還是例3“1-分數”，每個例題都有情境表征、圖形表征、文字表征（包括通過分數的含義理解算理）及符號表征（相應的算式）的內容，表征相互轉換的教學意圖也十分明顯。

三、學習起點研究：需要多元表征

對該課的學習起點研究，我們根據多元表征理論研究制定了比較合理的既有不同表征情況又有“分數加法”“分數減法”“1-分數”三種類型的前測題（前測題詳見表1），試圖了解學生在不同的表征情況下分數的簡單計算起點情況。而后通過對某小學一個班50個學生進行了正式測查、個別訪談。

經過對數據進行統計（見表2、表3）及進一步分析，至少有了以下分析結果：

1.受整數加減法的負遷移影響，部分學生對分數的多元表征能力較差

三類題型錯誤率橫向比較，無論第一部分還是第二部分，都呈現“1減幾分之幾>分數加法>分數減法（不包括1減幾分之幾）”的分布，且“1減幾分之幾”題型的錯誤率遠高于其他兩類題型。通過查閱前測試卷，分數加法及減法計算錯誤基本集中為分子、分母分別相加減，說明這部分學生受整數加減法的負遷移影響比較明顯，且沒有建立分數多元表征的表象。

2.學生對分數概念缺乏有效的多元表征，表征間的轉換存在困難 第二部分題1是有情境支撐的分數加法，無論是計算錯誤還是畫圖錯誤，錯誤率都較低。第二部分題2是無情境支撐的分數減法，錯誤率明顯上升，且圖像錯誤率遠高于算式錯誤率。第二部分題3是有情境支撐“1減幾分之幾”的類型，錯誤率還是很高，只有19人列出了正確算式，其中只有4人寫出“1-3/4”，其他的都是“4/4-3/4”。說明學生對分數還沒有建構起有效的多元表征，表征之間的轉換也存在較大困難。另外在“1減幾分之幾”的題型中，學生無法將1與“6/6及4/4”進行有效聯結，導致錯誤率極高。

根據對上述前測結果的分析，進一步明確該課教學需要用多元表征豐厚分數意義的理解。

綜上，無論是從理論解讀，課標、教師用書、教材的解讀分析，還是對學生學習起點的研究，這些都明確了以“多元表征”促成對分數概念意義的理解。

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