基于CVaR的次新股投資組合優化模型與實證分析

魏冰月

摘要：參數方法需要假定次新股服從具體的分布，導致次新股的風險存在誤差，為了克服參數方法的缺點，提出核密度估計方法計算次新股的風險。建立基于CVaR核估計量的次新股投資組合優化模型，以準確計算次新股的風險。文章運用牛頓迭代算法設計其求解算法。通過實證分析表明，與參數方法相比核密度估計方法能夠描述風險分布的尾部特征，給出更準確的估計結果，并發現次新股投資組合的CVaR核估計值隨著概率水平的增加而不斷減少。

關鍵詞：核密度估計;CVaR;次新股;優化模型

由于股票發行機構對新股發行的檢查更為嚴格，次新股的質量往往比較好，所以次新股很受投資者的歡迎。但由于次新股的上市時間一般不會超過1年，相對于金融市場中其它類型的股票，已有的歷史數據往往比較少，本文試圖基于次新股已有的歷史數據，通過分析短期內風險的統計特征，計算短期內次新股的風險。

通常，基于參數方法去估計CVaR值。但由于參數方法往往需要假定風險的概率模型，且需要大量的歷史數據才能保證估計的穩定性和可靠性，為了克服參數方法的缺點，一些學者提出了非參數核密度估計方法度量CVaR值，Gourieroux等首次介紹了CVaR的核密度估計，結果表明，核密度估計方法無需對金融數據進行分布假設。Scaliet首次將非參數核密度估計方法應用在CVaR及投資組合的風險度量中，以圖示的形式討論了只存在兩只證券的情況下，證券組合頭寸的變化情況。但Scaliet并沒有找到精確的CVaR值及其組合頭寸。在文獻的基礎上，本文進一步研究如何基于CVaR做風險投資組合優化研究。本文預選取了2019年1月1日至2019年5月1日的次新股日收盤價數據做實證分析，并與參數方法下次新股風險進行比較，驗證核密度估計方法的準確性及建立優化模型的有效性。

一、基于指數核函數的次新股CVaR相關核估計

（一）單只次新股的CVaR核估計

假設{l}是某次新股在T期的股票收盤價，ct=log（lt/lt-1）是第t期的對數收益，{c}是相依嚴平穩的時間序列。記Xt=-ct是第t期的對數損失，Xt的邊際分布函數為F（·），邊際密度函數為f（·），生存函數為S（·）。記Xt的邊際分布函數的核估計為云贊（·），邊際密度函數的核估計為棗贊（·），生存函數的核估計為雜贊（·）。在給定概率水平p時，記Xt的VaR為Vp，其數學表達式：Vp=inf{Vp：F（Xt）≥1-p}。記Xt的CVaR為Up，其數學表達式為：Up=E[Xt|Xt>Vp]。

由于次新股的上市時間較短，可獲取相關次新股數據相對較少，基于非參數核密度估計方法對Xt的CVaR進行估計。當窗寬確定時，核函數的選取對核密度估計的影響不大，記Xt的邊際密度函數f（x）的核估計為棗贊（x），其表達式為：棗贊（x）=K

其中：K（·）為核函數。記Xt的VaR核估計量為災贊p，CVaR的核估計量為哉贊p，核密度估計分兩步計算。

第一步先估計Xt的VaR核估計災贊p，窗寬h由拇指法則確定，其表達式為：h=1.06T-0.2其中：σ2為單只次新股對數損失數據的方差;X單只次新股對數損失數據矩陣的轉置，當雜贊（x）=p時可得Xt的VaR核估計值災贊p。第二步由Xt的CVaR的定義可知核估計表達式為：哉贊p=K（t）dt

（二）次新股投資組合的CVaR核估計

假設次新股之間的交易忽略中間成本，市場具有抵御下跌風險的能力，n只次新股之間相互獨立。令第只股票的收益率為bi，b=（b1，b2，…，bn）′為n只次新股的樣本矩陣，投資者的財富標準化為1，記w=（w1，w2，…，w）′為投資者所持有的組合頭寸，組合頭寸滿足wi=1，則次新股投資組合的收益率為Bw=w′b。記n只次新股在T期內的收益率為{b}其中bt=（b1t，b2t，…，bnt）′，則次新股投資組合的均值矩陣b=bt，次新股投資組合的協方差陣∑表達式為：∑=（bt-b）（bt-b）′。次新股投資組合在T期內的收益為：{Bwt}，其中：Bwt=w′b。

當概率水平為p時，記次新股組合的風險價值為V（w，p），記次新股組合的條件風險價值為U（w，p），其數學表達式為：U（w，p）=E[-w′b|-w′b≥V（w，p）]。次新股組合的窗寬h由拇指法則確定，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?h=1.06×T-0.2×

定義1：[（τ1，τ2）;τ3]=τ1K

，

定義2：隕贊（ξ）=[bt，w′bt）;u]du，

次新股投資組合CVaR的核估計值分兩步計算。第一步計算次新股組合VaR的核估計，記次新股組合的VaR核估計為災贊（w，p），通過[1，w′bt）;u]du=p可得災贊（w，p）。第二步計算次新股投資組合的CVaR核估計哉贊（w，p），由文獻[11]可知是條件期望E[b|w′b<-V（w，p）]的核估計，因此哉贊（w，p）的核估計可以通過哉贊（w，p）=隕贊（災贊（w，p））計算。

二、次新股投資組合CVaR核估計的風險優化

（一）建立次新股投資組合的最小風險組合優化模型

根據建立的非參數核估計方法計算次新股組合的CVaR的哉贊（w，p），建立基于CVaR核估計的次新股投資組合優化模型A1：

min哉贊（w，p）=-w′隕贊（災贊（w，p））/p

s.t.? w′D=1，

0≤wi≤1，i=1，2，…，n

其中，D=（1，1，…，1）′1×n，對模型A1求解可得次新股投資組合的最小CVaR核估計值及對應的組合頭寸，對模型A1分析可得下面的引理。

（二）次新股組合的風險優化模型求解

顯然問題A1是凸優化問題，因此本文通過設計牛頓迭代算法對次新股組合優化問題求解。

通過構造Lagrange函數L（w，λ）=哉贊（w，p）+λ（w′E-1）求解哉贊（w，p）。哉贊（w，p）存在最優解的必要條件是：首先滿足函數L（w，λ）的一階導數F′為0，其次二階導數矩陣H可逆，其中一階導數F′的計算公式如下：

F

=

F

=

H是函數L（w，λ）的Hession，其計算公式如下

Fww=

=

Fwλ=

=D;Fλw=

=D′;Fλλ=

=0

牛頓迭代算法的求解步驟如下：

1.記W=（w，λ），給定初值W=（w0，λ0）和一個正數ε，取迭代變量為k。

2.將給定初值w0，將次新股組合的協方差陣代入可得hk與災贊（wk，p）。由災贊（wk，p）和hk可得哉贊（wk，p），同時計算F′和H;如果||F||<ε，停止迭代，輸出Wk;否則計算H-1，如果H-1不存在則迭代失敗，如果H-1存在則轉入步驟c）。

3.計算Wk+1=Wk-H-1F′，如果||Wk+1-Wk||<ε則停止迭代，否則k=k+1， 返回步驟b）。

三、實證分析

（一）單只次新股的CVaR核估計實證分析

參數方法通常假設次新股的日收盤價數據服從正態分布，由文獻可知，正態分布下CVaR估計為Up=-μ+σ?（zp）/p，其中：μ為次新股的均值，σ為次新股的標準差，?（·）為標準正態分布下的密度函數，zp為標準正態分布下p的分位數。基于不同方法及概率水平下的CVaR值見表1。

由表1可得，在相同的概率損失下，基于參數方法計算的次新股CVaR值均大于核估計方法下的CVaR值。隨著概率水平的增加次新股各自的CVaR值變化逐漸減少。基于參數方法下，隨著概率水平的增加，四只次新股的CVaR值在不斷變小。比較核估計方法與參數方法可以發現，參數方法低估了短期內次新股的風險，從兩只次新股的日收盤價直方圖可以看出，假定兩只次新股的日收盤價數據服從正態分布是不準確的，因而會導致計算誤差。核密度估計是從數據本身出發對次新股的風險進行估計，避免了假定具體分布而導致的誤差，從核密度擬合曲線可以看出，核估計方法計算的風險價值更接近真實值，從而提高了計算的準確性。

（二）次新股組合的最小CVaR及其組合頭寸實證分析

本文選取了四川天邑（300504）、新疆交建（002941）、光弘科技（300735）、天奧電子（002935）的2019年1月1日至2019年5月1日的日收收盤價數據，通過Python編程計算不同概率水平下的組合頭寸及CVaR值見表2。

由表2可得，不同概率水平下的四只股票的組合頭寸和對應的最小CVaR值;組合CVaR值隨著概率水平的增加不斷變大。在概率水平為1%時，短期內四只次新股投資組合的風險核估計值為1.9065，小于單只次新股的風險。短期內四只次新股投資組合的最小CVaR值為1.7332，取得最小風險時的組合頭寸為w=（0.1945，0.3686，0.3793，0.0576）′。對比表1可以發現在概率水平小于或等于5%時，次新股投資組合最小CVaR核估計值小于單只股票CVaR核估計值，滿足投資的分散化原理。從而驗證了本文建立優化模型的有效性。

四、結論

為了準確的計算次新股的風險，克服參數方法需要假定次新股服從具體分布而導致次新股風險計算有誤差的缺點。本文基于核密度估計方法建立次新股投資組合優化模型，并設計牛頓迭代算法對其求解。實證分析表明：核密度估計方法能夠描述風險分布的尾部特征，給出更準確的估計結果。

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（作者單位：浙江理工大學理學院）