深度研讀教材策略一：還原數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)原理

李祖　周佳泉　宋書(shū)璐

編前語(yǔ)：教材是教學(xué)內(nèi)容的文本載體，讀懂教材是實(shí)施有效教學(xué)的前提。昆明市盤(pán)龍區(qū)周佳泉小學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室歷時(shí)三年，對(duì)《深度研讀小學(xué)數(shù)學(xué)教材》課題開(kāi)展深入研究，提煉出“還原數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)原理”“再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程”“豐富數(shù)學(xué)知識(shí)的表現(xiàn)形式”“探尋數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用價(jià)值”等四個(gè)深度研讀小學(xué)數(shù)學(xué)教材的策略。現(xiàn)擷取該工作室在研究過(guò)程中的部分優(yōu)秀案例呈現(xiàn)給大家，希望在借鑒交流中引發(fā)大家對(duì)深度研讀教材更加深入的思考。

【導(dǎo)讀】

“植樹(shù)問(wèn)題”是人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第七單元數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)內(nèi)容。數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)目標(biāo)之一，就是要讓學(xué)生感悟重要的思想方法。本課所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是在“一一對(duì)應(yīng)”的基礎(chǔ)上，根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行變化。數(shù)學(xué)模型雖然簡(jiǎn)單，表現(xiàn)形式卻千變?nèi)f化。如何幫助學(xué)生在變化中找到不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)原理，是這節(jié)課需要思考的核心問(wèn)題。

來(lái)自昆明市盤(pán)龍區(qū)金康園小學(xué)的李祖飛老師，巧妙創(chuàng)設(shè)活動(dòng)情境，把“植樹(shù)問(wèn)題”的三種情況全部蘊(yùn)含在一個(gè)問(wèn)題情境中，既提高了課堂教學(xué)的效率，也讓學(xué)生對(duì)植樹(shù)問(wèn)題的本質(zhì)理解更加深入。

【案例】

教學(xué)實(shí)錄：

一、創(chuàng)設(shè)植樹(shù)情境，初步理解題意

（PPT出示問(wèn)題）：學(xué)校門(mén)口有一條60米長(zhǎng)的小路，要在小路一邊每隔5米栽一棵樹(shù)，一共要栽多少棵？

師：會(huì)解決嗎？怎樣解答？

生：60÷5=12（棵）。

……

師：如果按照距離把植樹(shù)任務(wù)平均分給三個(gè)班，每班栽幾棵？

……

二、模擬植樹(shù)操作，呈現(xiàn)不同情況

（用磁性黑板貼代表小路，并畫(huà)上線段圖，用磁釘?shù)却硇?shù)進(jìn)行模擬植樹(shù)）

師：下面我們動(dòng)手“植一植”吧。（請(qǐng)三名學(xué)生模擬三個(gè)班的“植樹(shù)”情況）

……

（老師按3個(gè)班的植樹(shù)距離，分別剪開(kāi)，展示每班的勞動(dòng)成果）

三、暴露認(rèn)知沖突，初步建立模型

師：仔細(xì)觀察上圖，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：每個(gè)班植的棵數(shù)都不一樣！

生2：一班植了5棵，二班植了4棵，三班植了3棵，依次少了1棵。

生3：雖然距離相等，但植的棵數(shù)不同。

師追問(wèn)：明明我們計(jì)算的是平均每班植4棵，為什么會(huì)不一樣呢？

生：二班左端沒(méi)有栽，比一班就少了1棵，三班兩端都沒(méi)有栽，所以又比二班少1棵。

師：那么在實(shí)際的植樹(shù)過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)幾種不同的情況呢？

生：兩端都栽;一端栽，一端不栽;兩端都不栽。

師小結(jié)：原來(lái)是由于植樹(shù)情況不同，導(dǎo)致每班植樹(shù)棵數(shù)不同。

師：這條小路確實(shí)共種了12棵樹(shù)，每個(gè)班植樹(shù)的數(shù)量卻不同，那到底我們平均分的是什么？

生：是樹(shù)與樹(shù)之間的距離。

師肯定：對(duì)，我們并不是直接算出樹(shù)的棵數(shù)，而是把小路按距離進(jìn)行了平均分。

師講解：樹(shù)與樹(shù)的距離，我們一般稱(chēng)為“間隔”，也是兩個(gè)點(diǎn)間的一段，我們也可以簡(jiǎn)單地叫它“空”或“段”。

師：20÷5=4，到底求的是什么？

生：求的是每一“段”的長(zhǎng)度。

根據(jù)學(xué)生的討論交流將單位名稱(chēng)“棵”改為“段”。

四、引導(dǎo)對(duì)比強(qiáng)化，抽象植樹(shù)模型

師：哪一種植樹(shù)情況最費(fèi)樹(shù)苗？為什么？哪一種植樹(shù)最省樹(shù)苗？為什么？

……

師再問(wèn)：根據(jù)不同的植樹(shù)情況，“點(diǎn)”和“段”存在怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？

生：兩端都栽，棵數(shù)比段數(shù)多1;兩端都不栽的話，棵數(shù)就比段數(shù)少1;一端栽，一端不栽，棵數(shù)和段數(shù)相等。

教師根據(jù)學(xué)生回答補(bǔ)充完成板書(shū)。

師：咱們?cè)倩氐介_(kāi)頭例題，我們?cè)趺淳湍苤苯诱_計(jì)算出一共植12棵樹(shù)呢？

生1：我們算出的是有12“段”。

生2：例題是一端栽一端不栽的情況，段數(shù)和棵數(shù)正好相等。

師小結(jié)：思路很清晰。我們用小路的長(zhǎng)度除以樹(shù)與樹(shù)的距離也就是間隔，實(shí)際求出的是有幾個(gè)這樣的間隔或者說(shuō)有幾“段”，棵數(shù)和段數(shù)根據(jù)不同的植樹(shù)情況有特定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以可以按段數(shù)求出棵數(shù)。

五、嘗試應(yīng)用模型，解決實(shí)際問(wèn)題

……

1.同學(xué)們要在一條500米的小路兩旁植樹(shù)，每隔10米植一棵，兩端不植，一共需要多少棵樹(shù)苗？

2.一根木料鋸成2米長(zhǎng)的小段，一共花了12分鐘，已知每鋸下一段需要3分鐘，這根木料長(zhǎng)多少米？

……

師小結(jié)：其實(shí)“植樹(shù)”問(wèn)題只是這一類(lèi)問(wèn)題的代表，類(lèi)似的還有爬樓梯問(wèn)題、排隊(duì)問(wèn)題、公交車(chē)站臺(tái)問(wèn)題等，都屬于上面三種情況，只要大家掌握其中的規(guī)律，就能根據(jù)“點(diǎn)”“段”的關(guān)系正確解答。

……

板書(shū)設(shè)計(jì)：

【評(píng)析】

“植樹(shù)問(wèn)題”看似簡(jiǎn)單，但要讓學(xué)生深入理解問(wèn)題的本質(zhì)卻實(shí)屬不易。本案例中，李祖飛老師通過(guò)巧妙創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，把“植樹(shù)問(wèn)題”的三種類(lèi)型同時(shí)教學(xué)，讓學(xué)生在豐富的體驗(yàn)活動(dòng)中逐步達(dá)到對(duì)“植樹(shù)問(wèn)題”本質(zhì)的理解。具體體現(xiàn)在：

1.巧妙創(chuàng)設(shè)情境，回歸問(wèn)題本質(zhì)。教材中的“植樹(shù)問(wèn)題”分兩個(gè)例題進(jìn)行編排，例1是教學(xué)“兩端都栽”的情況，例2教學(xué)“兩端都不栽”和“一端栽，一端不栽”兩種情況。如果把三種情況結(jié)合起來(lái)教學(xué)，最大的優(yōu)點(diǎn)是便于對(duì)比，突出矛盾，可以更好地溝通聯(lián)系，更有利于學(xué)生植樹(shù)模型的建立。在“平均分”的基礎(chǔ)上，看似三個(gè)班的植樹(shù)任務(wù)相同，但通過(guò)實(shí)際操作卻發(fā)現(xiàn)結(jié)果完全出乎預(yù)料！在對(duì)比中才發(fā)現(xiàn)：原來(lái)植樹(shù)問(wèn)題研究的不是數(shù)量，而是兩種量之間的關(guān)系！

2.在“變”中找“不變”，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。三種植樹(shù)方法看似變化多端，但在“變”中卻有“不變”的地方。它們都是基于把一段距離平均分成若干段以后，在段數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行變化的。老師再用通俗的語(yǔ)言引導(dǎo)學(xué)生理解：兩端都栽的時(shí)候樹(shù)用得最多，如果把樹(shù)看成點(diǎn)的話，也就是“點(diǎn)”比“段”多1;兩端都不栽的時(shí)候，最節(jié)約樹(shù)，“點(diǎn)”比“段”少1;一端栽、一端不栽的時(shí)候，情況居中，所以“點(diǎn)”與“段”相等。于是，在學(xué)生頭腦中就勾畫(huà)出了一個(gè)思維輪廓（如左圖）：

3.回歸生活實(shí)際，加深理解程度。回歸生活、學(xué)以致用，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)之一。“植樹(shù)問(wèn)題”在實(shí)際生活中有很多表現(xiàn)形式，如，敲鐘問(wèn)題、公交站臺(tái)問(wèn)題、鋸木料問(wèn)題……它們與“植樹(shù)問(wèn)題”如同水與冰，外形各異，本質(zhì)卻相同。在這些問(wèn)題中，哪些數(shù)量相當(dāng)于“段”？哪些數(shù)量相當(dāng)于“點(diǎn)”？弄清楚了各種數(shù)量所扮演的角色，再按照學(xué)生自己歸納的數(shù)學(xué)模型加以思考，很多看似復(fù)雜的問(wèn)題就變得非常簡(jiǎn)單了。“讓學(xué)生在新的情境中對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行辨認(rèn)、再現(xiàn)和應(yīng)用”的新課標(biāo)理念，就是這樣具體地扎根于我們的課堂實(shí)際教學(xué)中。

數(shù)學(xué)其實(shí)既簡(jiǎn)約又豐富。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)就是要高度抽象、簡(jiǎn)潔，而數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)與應(yīng)用形式則應(yīng)盡可能地豐富。這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)就能真正做到源于生活而又高于生活，學(xué)生在豐富的體驗(yàn)活動(dòng)中，峰回路轉(zhuǎn)之后復(fù)歸于平淡。