單純形優化法在汽車滑行試驗中的應用*

龔春忠 彭慶豐 張政

（1.浙江合眾新能源汽車有限公司；2.浙江清華長三角研究院新能源汽車研發中心）

汽車滑行試驗可以精確測定汽車行駛阻力，從而為汽車動力性、經濟性的分析與優化提供重要依據。在此之前，汽車滑行試驗數據的處理過程繁瑣，經歷了手算、使用Excel 表格計算等階段。隨著計算機技術的發展，數據處理越來越趨向于編程計算。近年來，也陸續出現了一些對該領域的研究方法。文獻[1-2]采用處理后的v-F 曲線擬合求解阻力系數；文獻[3]對待定阻力系數進行分解，并構建最小差絕對值的逐漸逼近算法求解待定系數；文獻[4]使用MATLAB 自帶函數非線性方程組求解器解算阻力系數；文獻[5]使用基于遺傳算法求解超越函數，從而獲得阻力系數。文章研究使用單純形優化法求解汽車滑行數據，直接擬合t-v 曲線獲得汽車的道路阻力系數，相對于擬合v-F 曲線，得到的結果更精確；相對于遺傳算法及MATLAB 非線性方程組解算器等，求解過程更簡便快捷。

1 汽車滑行試驗及其數據處理

汽車滑行試驗是基于剛體動力學的測試技術。為此，要采用剛體動力學理論研究現有的測試原理、測試方法和測試數據處理。

1.1 汽車滑行試驗原理

汽車滑行過程受力分析，如圖1 所示。

圖1 汽車滑行試驗受力分析

汽車滑行試驗的目的就是測量汽車的行駛阻力（F阻/N）。行駛阻力方向作用于汽車行駛方向的反方向，根據牛頓第二定律分解：

式中：m——汽車等效質量，kg；

v——車速，km/h。

根據阻力產生的原理，汽車行駛阻力可以分解為空氣阻力、輪胎滾動阻力和汽車動力系統傳動寄生阻力。根據汽車理論推導，空氣阻力與速度的平方成正比，車內寄生損失與速度成正比，汽車滾動阻力近似為常數：

式中：A——常數項阻力系數，N；

B——一次項系數，N/（km/h）；

C——二次項系數，N/（km/h）2。

該問題轉換成求系數A，B，C。

1.2 汽車滑行試驗過程簡述[6-7]

滑行試驗標準規定了道路平整度、干燥度、大氣溫度、風速、大氣壓力等環境條件，以及汽車胎壓、配重、磨合等汽車自身條件。在試驗條件滿足的情況下試驗步驟如下：

1）將汽車加速到比選定試驗車速（v）高出10 km/h的車速；

2）將變速器置于空擋位置；

3）測量車速從v2=v+Δv 減速至v1=v-Δv 所需時間（t1），其中：Δv≤5 km/h；

4）在相反方向進行同樣試驗，測量所需時間（t2）；

5）取t1和t2的平均值（Ti）；

1.3 標準中建議試驗數據的處理方法

試驗數據預處理是對風速、大氣壓力、大氣溫度等做相關修正的工作。其他研究者以及文章的數據處理方法默認已經包含該修正工作。由式（1）與式（2）可得：

由式（1）可知，取滑行過程中的2 個時間段，將該階段近似為勻減速運動，求出該段的平均受力（Fi）。滑行試驗中可以得到式（3）中的n 組2 個參數對vi和Fi，將參數代入式（2）。

式中：F阻i——第i 段Δv 對應的平均阻力，N。

n 為數據組數，可以得到n 個關于A，B，C 的一次方程，這些方程構成關于A，B，C 的線性方程組。使用二次回歸求解A，B，C。

該方法實際是使用最小二乘法擬合v-F阻曲線。

2 數據分析與目標函數構建

現有標準建議使用的擬合v-F阻曲線實際上在計算F阻時，已經做了一步近似處理，將分割的一小段時間段看成是勻減速過程。因此，需要研究一種方法略過這種對原始數據的近似處理。

2.1 汽車滑行過程的微分方程及其理論解

前面探討了汽車滑行試驗的測試方法以及各類改進的數據處理方法。要簡便準確地求解A，B，C 系數，文章提出直接擬合t-v 曲線，而不必過渡性地擬合v-F曲線。

為此，要構造方程v=f（t，A，B，C），由式（1）可知，該方程是一階非線性微分方程。得：

式中：v0——汽車開始滑行初始車速，km/h。

2.2 構造目標函數

試驗中獲得t-v 曲線，測試值是一系列的點，該曲線表述成時間序列（ti，vi），i=1，2，3…n。選擇同樣的時刻ti，代入式（5）中，求得Vi。依據最小二乘法原理，構建目標函數：

式中：Vi——時刻ti代入式（5）獲得的理論車速，km/h；

vi——時刻ti實測獲得的車速，km/h；

z——構造目標殘差，（km/h）2。

則參數A，B，C 的獲取轉變為求目標函數獲得的值。

2.3 方程中各變量的解析

根據測試，A，B，C 初值的選擇越接近試驗結果越好，但對優化結果影響不大。為此，初值只要在量級上與結果接近即可。選擇初值：A0=100，B0=1，C0=0.1。等效質量m 包括汽車的整備質量、駕駛員體質量、載質量，以及傳動系統的轉動慣量等效質量。

對于某些競品車項目，很難獲取這些細致的參數，則使用近似公式：

式中：δ——等效質量系數，一般取值范圍是1.02～1.05[8]；

m0——汽車整備質量，kg。

3 單純形法優化原理

單純形調優法[9]解決問題為：minf（x），x∈Rn。f（x）是Rn上的連續函數。算法步驟主要有初始步、準備步、反射步、延伸步、收縮步、棱長減半步和程序出口步。對于解決求解道路阻力問題而言，f（x）為式（6），x=[A，B，C]T。

步驟1：（初始步）給定初始點x0，構造初始單純形。S0=[V0，V1，…，Vn]，精度 ε＞0。

步驟5：（收縮步）計算Vh'=arg min{f（Vh），f（Vr）}，為收縮步，γ 為收縮系數，一般為若 （fVc）≤（fV）s，Vh：=Vc，轉步驟7。

文章第2 節中的數學模型使用經典微積分的極值求解方法比較困難，嘗試使用遺傳算法、粒子群算法等，不僅使算法繁瑣，而且計算量太大。首先，式（6）所述極值問題只有3 個變量，均為連續變量；其次，式（6）所述極值問題是可以用初等函數表達的方程。遺傳算法與粒子群算法等主要應用于極值點存在劇烈震蕩局部最優解或者組合優化的問題，單純形優化法理論上是有可能導致陷入局部最優解的，在解決汽車道路阻力問題時，當初值與步長選擇合理時，可以避免出現陷入局部最優解的情況。直接采用最小二乘法獲取道路阻力系數，雖然簡單，但經過局部勻減速的近似處理，與理論值存在偏差，不適宜做高精度分析。

4 試驗與對比

利用V-box 設備在試驗場完成滑行試驗。一款箱式物流車的滑行試驗秒采數據利用空氣動力學修正后的t-v 曲線，如圖2 所示。

圖2 某箱式貨車滑行試驗t-v 曲線

4.1 2種方式計算的汽車道路阻力系數

第1.3 節中描述的標準建議擬合v-F阻方法與第2.3 節中描述的單純形法擬合t-v 方法，采用相同的試驗數據進行2 種方法處理結果的對比分析。

經過稱重測試，汽車整備質量1 480 kg，駕駛員質量70 kg，載質量200 kg，汽車傳動系統的轉動慣量等效質量是50 kg，故當量質量為1 800 kg。使用單純形法對t-v 數據進行擬合求解，獲得結果：A=229.63 N；B=1.388 9 N/（km/h）；C=0.069 928 N/（km/h）2；平均誤差為0.672 7 km/h。

使用傳統方法也稱為速度間隔選取法，獲取各時間點對應的車速，如表1 所示，將各車速段近似成勻減速，當量質量為1 800 kg，則獲得各車速下汽車阻力，如表2 所示。

表1 車速間隔的選取時間點

表2 速度間隔法計算的平均阻力

將v-F 曲線采用最小二乘擬合，該函數恰好是二次函數，不需要使用數值解，可以直接求取理論解。獲得如下結論：A=234.29 N；B=0.924 19 N/（km/h）；C=0.076 134 N/（km/h）2；平均誤差為0.712 1 km/h。

4.2 2種處理方法結果對比

試驗最終目的是獲得汽車行駛阻力系數（A，B，C），衡量其精度的參數是計算t-v 曲線與試驗t-v 曲線的平均距離。結果對比，如圖3、圖4 及表3 所示。

圖3 汽車行駛阻力v-F 曲線對比

圖4 汽車滑行t-v 曲線對比

表3 單純形法與速度間隔法結果對比

5 結論

經過對比，證明單純形法在解決汽車滑行試驗數據的問題上更簡便精確。從重現汽車滑行過程曲線的精確度上，精度提高了5.86%。但從直接的數據對比上看，兩者相差較大。尤其是參數B，相差33.46%，這說明該試驗方法對這3 個參數有較大的耦合性。解耦的方式是對各個參數分別測量。風阻利用風洞試驗室測得，滾阻利用車輪及動力系統臺架測得。有些文章想通過該試驗，將汽車質量、傳動系統效率等參數都辨識出來。理論上方程數足夠，就可以解出這些值，但結果一定是不精確的。下一步的研究工作將是如何解耦道路阻力系數（A，B，C），以獲得更為精確的汽車道路阻力系數，為汽車動力性、經濟性開發提供更精確可靠的參數依據。