一石激起千層浪

趙桃芳

摘 要：本教學案例是蘇科版七年級下冊第7章第5節《探索四邊形內角和與外角和》的第二課時。在案例教學中使學生經歷探索、猜想、歸納等過程，回歸四邊形的幾何特征，而不是硬背公式，發展了學生的合情推理能力。

關鍵詞：多邊形內角和定理; 教材; 轉化; 激發; 數學思維

中圖分類號：G633.6 ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? 文章編號：1006-3315（2020）5-038-001

一、案例呈現

探索“四邊形內角和”的教學，介紹如下：（以小組為單位展開探究活動）

提出問題：三角形的內角和為180°，那么四邊形的內角和是四少度呢？

學生在學習探索四邊形的內角和的時候，已學習了三角形內角和定理、三角形相關知識，在前面特殊四邊形性質的探索過程中，也體會了轉化思想在解題中的應用，所以具備了進一步學習的基礎。隨著幾何知識學習的逐步深入，學生具備了一定的解決幾何問題的方法，本節課需要用到圖形轉化，四邊形內角和定理的探索，需要學生結合圖形發現規律。所以在教學中教師引導學生推導四邊形內角和公式的方法是將四邊形分割為四個三角形，將四邊形的內角和轉化為我們所熟知的三角形內角和來解決。

探索活動：（先獨立思考再小組合作交流完成）

學生交流：（組間交流，教師課件展示幾種學生方法）

學生1：取四邊形上任意一個頂點，連接除相鄰的兩點，則四邊形的內角和可轉化為三角形內角和之間的關系，即四邊形ABCD的內角和等于2個三角形內角和之和：2×180°，從而四邊形內角和為（4-2）×180°=2×180°，再列舉其它四邊形可以歸納總結出n邊形內角和為（n-2）×180°。

學生2：在四邊形內任意找一點O，連接各個點，則四邊形的內角和可轉化為三角形內角和之間的關系，即四邊形ABCD的內角和等于4個三角形內角和減去一個周角的度數：4×180°-360°=4×180°-2×180°=（4-2）×180°，再列舉其它多邊形可以歸納總結出n邊形內角和為（n-2）×180°。

學生3：在四邊形的一條邊上任意取一點P，連接這點與各頂點的線段，把四邊形ABCD分成了3個三角形，所以此四邊形的內角和等于三個三角形的內角和減去一個平角的度數，即：3×180°-180°=2×180°，歸納之后得到n邊形的內角和為（n-2）×180°。

學生4：在四邊形外取一點P（點P不在n邊形任一邊的延長線上），連接此點與各頂點，得到三個三角形（不含△CPD），所以此四邊形的內角和等于五個三角形的內角和減去△CPD的內角和，即3×180°-180°=2×180°，歸納之后得到n邊形的內角和為（n-2）×180°。

教師點評：在剛才的探索活動中，大家有不同的方法求四邊形的內角和，這些看似不同的方法有沒有相似之處？綜述學生的發現，不難發現，推導四邊形的內角和公式，都是利用轉化思想而得，即把四邊形分成若干個三角形，從而將四邊形問題轉化為三角形問題來解決，這種思想對于學好數學是極為重要的，而且對學生理解及掌握知識有一定的幫助，有利于教師的教學和學生的學習。

學生交流：我們是把四邊形的問題轉化成三角形，再由三角形內角和為180°，求出四邊形內角和為360°，從而使問題得到解決。

教師小結：精彩，同學們把四邊形內角和的問題“化歸為三角形的內角和”，把四邊形內角和也納入到解決新情景的認知基礎中，從而對“化歸為已經解決問題”有所領悟。

二、案例反思

俗話說“一石激起千層浪”，對于這個簡明而又富于啟發性的案例，我有以下分析：

1.在教學中要挖掘教材的“石”，回歸數學知識點的本質

本案例教師在引導學生討論這“一題四解”的背后，抓住教材的“石”——“化歸為三角形的內角和”，有助于學生把握四邊形的基礎知識，提高分析問題、解決問題的能力，培養思維的創造性和深刻性。

數學教學素材具有較強的知識性、典型性和可變性，通過對例題的挖掘和拓廣，不僅可以得到一批“源于課本，而又高于課本”的好題，又能疏通知識之間的聯系，而且對培養學生的思維品質，拓寬思路，提高整體教學水平具有十分重要的作用。因此在數學教學中，有目的有意識地引導學生將習題進行變換或拓廣，將有助于開闊學生的解題思路。

2.通過針對性變式問題教學，激起學生數學思維的“千層浪”

通過針對性變式問題教學，給學生創設了猜測、推理的空間，讓學生在數學學習中把相關的數學知識聯系起來，真正讓學生把數學學“活”起來。對教材的拓廣和引申，通過這些拓廣、變換，不僅讓學生加深了對這道教材的理解，掌握了這—類問題的規律與內在聯系，同時對減輕學生負擔，從“題海”中解脫出來，讓教師真正實現由“教教材”向“創造性地使用教材”的觀念和行為的轉變。

3.在教學中教師的啟發引導有助于學生數學思維的形成

一節數學課能否達到滿意的效果，教師的設問引導、啟發激勵學生進行思維是極為重要的一環。特別是學習行為習慣較差的初中學生，他們好動、注意力容易分散，如果讓他們干巴巴地坐著聽講，即使教師上課講得再精彩生動，他們也會開小差。在本案例中的學生討論顯化了數學內容和數學方法所隱含的本質思想——化歸，如果沒有這一提煉，學生的認識停留在“一題四解”的操作層面和化歸思想的“滲透”階段。因而教師應激起學生的數學思想方法的浪花是必要的。這應該是教師提煉數學實質內在要求。教師在組織、引導教學下，大部分學生就理解了“化歸為三角形的內角和”，領悟“數學思想方法”不能單靠“內隱學習”，教師提供機會、設計平臺很重要。

總之，教師通過一次次、一層層地，有興趣、有意義、有思考價值地投“石”，激起學生數學思維的浪花。不僅在新的知識與學生基礎之間架起了橋梁，而且活化了數學課堂，有效培養了學生的數學思維，提升課堂效率。