吸氣式高超聲速飛行器爬升段關鍵任務點的魯棒優化

湯佳駿，劉燕斌，曹 瑞，陸宇平，朱鴻緒，衣春輪

(1. 南京航空航天大學自動化學院， 南京 210016； 2. 南京航空航天大學航天學院， 南京 210016；3. 北京航空航天大學虛擬現實技術與系統國家重點實驗室， 北京 100191)

0 引 言

吸氣式高超聲速飛行器因其較高的潛在應用價值，已成為各國爭相研究和發展的技術熱點。吸氣式高超聲速飛行器良好的氣動/推進一體化設計滿足了設計人員對飛行器氣動/推進性能的綜合需求。然而，吸氣式高超聲速飛行器特殊的幾何構型帶來的氣動/推進耦合加上嚴苛的超燃沖壓發動機工作條件，導致其呈現出非線性、強耦合及高度不確定性的復雜動力學特性，給飛行器的軌跡及控制設計提出了挑戰[1-2]。

吸氣式高超聲速飛行器的飛行任務歷經多個階段，飛行器由機載水平發射后，經歷引射和火箭模態加速爬升，到達一定的高度和速度時，切換到超燃沖壓模態加速爬升到期望的任務窗口[3]。吸氣式高超聲速飛行器的飛行任務包線大，氣動/推進特性與飛行狀態存在耦合關系，飛行器在不同空域的氣動特性相差很大，飛行狀態的選取對模型特性影響顯著[4]。爬升段始末的飛行狀態，是飛行任務切換的關鍵節點，節點處的飛行性能對整體飛行任務會帶來影響[5]。因此，綜合考慮整體飛行任務，需要在軌跡設計之前對爬升段始末的關鍵任務點進行優化選取，得到的關鍵任務點可以為軌跡及控制設計提供基礎。

近年來針對吸氣式高超聲速飛行器爬升段的研究一直在持續進行[6-11]。文獻[6] 針對吸氣式高超聲速飛行器，以爬升消耗燃料質量最小為目標，利用序列二次規劃算法求解最優航跡；文獻[8] 研究了吸氣式高超聲速飛行器多約束下的爬升段軌跡優化問題；文獻[11] 應用高斯偽譜法獲得了控制約束條件下的高超聲速飛行器最優爬升軌跡，并針對軌跡采用線性二次調節器理論設計了軌跡跟蹤控制器。以上研究多關注爬升飛行過程，注重軌跡及控制方法的探索，而對于爬升段的關鍵任務點主要依靠經驗直接給出，理論分析較少，對其進行研究具有較為重要的意義。一般情況下，飛行器爬升段末端往往與巡航飛行任務銜接，爬升段末端任務點可以依據巡航性能約束來進行選取。文獻[12] 對吸氣式高超聲速飛行器巡航飛行的飛行速度進行了分析優化，但缺乏結合爬升等飛行階段的綜合考慮，模型特性也較為簡單，未涉及氣動/推進特性的耦合。文獻[13] 針對上升段給出了高超聲速飛行器最大航程的巡航任務點。文獻[3] 以燃料最省對高超聲速飛行器的爬升-巡航全局軌跡進行優化，給出了爬升末端的最佳巡航速度和巡航高度。然而，二者的研究未考慮模型參數不確定性，存在一定的局限性。綜上，針對吸氣式高超聲速飛行器爬升段的研究主要關注軌跡設計與優化，對軌跡設計之前選取爬升始末關鍵任務點的研究較少，而現有的對關鍵任務點的研究往往以航程大小和燃料消耗等任務性能為指標，對飛行器的氣動/推進耦合特性分析不足，同時沒有考慮參數不確定性的影響。

針對上述問題，本文對吸氣式高超聲速飛行器爬升段關鍵任務點的優選方法進行研究。首先，由能量狀態法得到飛行器的爬升走廊，結合超燃沖壓發動機的工作約束確定了爬升起始任務點；其次，通過分析模型巡航飛行特性提出兼顧氣動/推進效率的性能指標，得到優化的爬升末端任務點；最后，考慮飛行器質心位置不確定性，對爬升末端任務點進行魯棒優化得到飛行任務窗口。魯棒優化后的飛行任務窗口可以滿足巡航飛行性能，同時對不確定性具有魯棒性，有利于此類飛行器后續的軌跡及控制設計。

1 吸氣式高超聲速飛行器模型建立

1.1 吸氣式高超聲速飛行器幾何構型

本文研究的對象為參考文獻[14] 中的模型，該模型是基于X-43A構型建立的二維機理模型。幾何構型如圖1所示。

圖1 吸氣式高超聲速飛行器幾何構型Fig.1 Geometry of air-breathing hypersonic vehicle

參考模型為典型的乘波體構型，超燃沖壓發動機置于機體下部，發動機的燃料為液氫。

超燃沖壓發動機的工作環境處于高超聲速狀態，存在大量的激波、附面層以及化學反應等相關問題，發動機建模難度較大，而高超聲速飛行對推力控制的實時性有一定的要求，體現在發動機模型上不能過于復雜。因此文中的推力模型參考文獻[15] 對發動機內流體作一維等熵流假設，用一維可壓縮流理論估算推力數據。

1.2 動力學模型

吸氣式高超聲速飛行器是一個復雜的動力學系統，對建模過程提出合理假設，建立飛行器縱向運動方程

(1)

式中：m和Iyy分別是飛行器質量和繞軸轉動慣量，系統狀態量為XT=[V,α,h,q,θ]，分別表示飛行速度，迎角，高度，俯仰角速率以及俯仰角。L，D，M，T分別表示作用在飛行器上的升力、阻力、俯仰力矩及推力。氣動力和力矩的數據采用斜激波和Prandtl-Meyer flow理論的計算方法獲得[16]。氣動力和推力的各項導數用最小二乘法獲得高精度的近似表達式，如式(2)所示。其中，δe和φ作為動力學方程中的控制量，分別表示升降舵偏轉角和燃油當量比。升降舵偏轉角的變化范圍為δe∈[-20°,20°]，燃油當量比的變化范圍為φ∈(0,1]。

(2)

吸氣式高超聲速飛行器的氣動系數和推力系數中均包含了高度項和馬赫數項，反映了模型特性與飛行狀態之間的緊密關聯。同時，模型氣動系數CL、CD與推力系數CT的表達式中，迎角、馬赫數及燃油當量比等相關項的存在，進一步考慮了模型氣動和推進之間的耦合關系。圖2是基于擬合表達式的氣動力、推力數據與估算參考數據的對比。圖2可以驗證高精度的氣動力及推力擬合表達式能良好地反映原始模型的特性。

圖2 氣動力和推力的擬合數據與估算的參考數據對比圖Fig.2 Comparison of aerodynamic and thrust fitting data with estimated reference data

擬合表達式的形式方便計算，適用于快速分析，式中影響項作為參考也映證了吸氣式高超聲速飛行器氣動/推進與飛行狀態耦合，氣動/推進之間也耦合的復雜本體特性。

1.3 飛行約束條件

吸氣式高超聲速飛行器在飛行過程中需要滿足一系列的約束條件。

1)動壓約束

高超聲速飛行器的氣動鉸鏈力矩限制與發動機啟動的要求，對飛行器所受動壓有上下限值的約束，即

(3)

2)熱流率約束

吸氣式高超聲速飛行器在飛行過程中，由于熱防護的要求，飛行狀態的選取需要以熱流密度作為約束條件

(4)

式中：C=7.9686×10-5，Z=0.5，K=3.15。

3)控制約束

超燃沖壓發動機的工作狀態條件嚴苛，過高的燃油當量比會使發動機燃燒室內的溫度增量過大，溫度增量超過臨界時超燃沖壓發動機容易達到熱壅塞而不能正常工作，故而平衡狀態下的燃油當量比應滿足

φequal<φchoke

(5)

式中：φchoke是超燃沖壓發動機達到熱壅塞時的燃油當量比。

(6)

2 吸氣式高超聲速飛行器關鍵任務點優選流程

本文主要研究吸氣式高超聲速飛行器爬升段關鍵任務點的優選問題，包括爬升起始任務點和爬升末端的飛行任務窗口的確定，研究工作主要分為三個部分：

1) 通過能量狀態法確定飛行器的爬升走廊，分析發動機工作約束選取爬升起始任務點；

2) 分析模型巡航飛行的氣動特性與動力特性，綜合性能指標優化爬升末端任務點；

3) 在優化的參考任務點基礎上考慮模型參數不確定性，結合巡航飛行約束進行魯棒優化，得到爬升末端的飛行任務窗口。

魯棒優化的結果得到了滿足巡航飛行性能要求，同時對模型不確定性具有魯棒性的飛行任務窗口。具體流程如圖3所示，后文將按順序闡述優選流程在本文模型上的實現。

圖3 吸氣式高超聲速飛行器關鍵任務點優選流程圖Fig.3 Flow chart for optimized selecting key mission point of the air-breathing hypersonic vehicle

3 選取爬升起始任務點

在高速飛行狀態下，超燃沖壓發動機的比沖遠大于火箭，其工作效率更優，因而在飛行器整個上升段中應盡可能早的開啟超燃沖壓發動機，以節省燃料[17]。為選取爬升起始任務點，首先根據能量狀態法確定吸氣式高超聲速飛行器的爬升走廊，約束任務點的可行域。

基于能量狀態法[18]的分析主要考慮飛行器的縱向運動，將飛行器看作質點，其無側滑運動方程可結合式(1)得到

定義單位質量飛行器的能量為

(8)

將式(7a)、(7c)、(7d)同式(8)聯立，可得吸氣式高超聲速飛行器的能量狀態模型

(9)

爬升段的能量變化率是大于零的，在能量變化率等于零的高度飛行器只能維持水平飛行。在給定馬赫數下，計算dE/dt=0所對應的高度，可以得到飛行器允許爬升的飛行范圍。文獻中吸氣式高超聲速飛行器巡航飛行的標稱質量為14.36×103kg，作為爬升段末端任務點處的質量。為保證巡航段飛行任務，文獻[19] 中給出了飛行器質量與燃料質量的關系，在此假設爬升段末端任務點處的燃料質量為總量的70%，得到爬升起始狀態的質量為16.68×103kg。由能量狀態法結合飛行器動壓約束和熱流約束得到吸氣式高超聲速飛行器的爬升走廊，如圖4中灰色區域所示。飛行器能量變化率等于零時的飛行高度，對應了飛行器爬升飛行的高度上邊界，在邊界以下飛行器的能量變化率大于零可以進行爬升飛行。

圖4 吸氣式高超聲速飛行器爬升走廊Fig.4 Climbing corridor of air-breathing hypersonic vehicle

其次，在爬升走廊內分析超燃沖壓發動機的工作約束選取爬升起始任務點。爬升飛行起始狀態的飛行馬赫數小，發動機進氣道來流速度低導致發動機噴口處的氣流馬赫數低，容易引起發動機熱壅塞而無法正常啟動[20]。對于本文的超燃沖壓發動機模型，燃油當量比的數值可以作為分析發動機熱壅塞狀態的指標，Doman給出了擬合表達式計算超燃沖壓發動機達到熱壅塞時的燃油當量比，其主要的影響項是來流馬赫數、迎角和動壓[21]。從超燃沖壓發動機燃燒效率的角度考慮，動壓越大其工作性能越好[22]，考慮在動壓約束邊界保留一定的余量，選擇95 kPa作為爬升飛行的初始飛行動壓。

圖5顯示了飛行動壓95 kPa下超燃沖壓發動機達到熱壅塞狀態的燃油當量比隨來流馬赫數和迎角的關系，黑色點劃線是飛行動壓95 kPa下的模型配平燃油當量比，可以看出選擇95 kPa為初始飛行動壓，當飛行馬赫數較小的時候，吸氣式高超聲速飛行器保持平飛的燃油當量比要大于熱壅塞狀態的燃油當量比，即飛行器受發動機熱壅塞狀態限制無法保持水平飛行，從曲線交點處分析，飛行馬赫數在6.5以上飛行器的配平燃油當量比大于熱壅塞狀態的燃油當量比，超燃沖壓發動機可以正常工作供飛行器進行爬升機動。

圖5 飛行動壓95 kPa下超燃沖壓發動機達到熱壅塞狀態的燃油當量比隨來流馬赫數和迎角的關系Fig.5 The fuel equivalent ratio of scramjet engine choke versus Mach number and angle of attack for dynamic pressure of 95 kPa

綜上，對本文研究的飛行器，設計爬升起始任務點的馬赫數和高度為(6.5,23408 m)，如圖4中圓點所示。爬升起始任務點的選取讓飛行器較早的開啟超燃沖壓發動機，充分利用了超燃沖壓發動機的性能優勢進行爬升加速。同時，圖4中灰色虛線是由能量狀態法得到的能量等勢線，從爬升起始任務點開始，飛行器的能量隨著飛行高度和速度的增加而增大，選取爬升末端任務點的飛行速度和高度距起始任務點相近，意味著飛行器花費較少的能量可以完成爬升任務，節省了飛行器爬升過程中的燃料消耗，降低了飛行任務的難度。因此，爬升起始任務點的確定還為后續綜合考慮飛行任務難度選取爬升段末端任務點提供了參考依據。

4 模型特性分析優化爬升末端任務點

吸氣式高超聲速飛行器的關鍵任務點需要在前文給出的爬升走廊內選取，飛行器的模型特性隨爬升過程飛行狀態的改變會產生較大變化，而氣動/推進的耦合作用又使得對象特性更為復雜。因此，選取爬升末端任務點從優化氣動效率和推進效率兩方面綜合考慮，分別分析飛行器巡航飛行的氣動特性和動力特性，選取兼顧氣動和推進效率的性能指標進行優化。

飛行器巡航飛行性能分析和優化在亞聲速和超聲速速域都有了一定的研究可以作為參考，但其性能指標是否適用于吸氣式高超聲速飛行器，需要具體分析模型特性來驗證。

4.1 優化氣動效率

在高超聲速巡航過程中，假設飛行器的迎角很小可以忽略。同時，巡航飛行采用定高定速的飛行模式，則為了保持穩態飛行需要滿足下式

(10)

升阻比是反映飛行器氣動特性的重要參數，優化升阻比就是優化飛行器的氣動效率。由于高超聲速飛行氣流的壓縮性效應明顯，飛行器的氣動導數需要考慮馬赫數的影響，由式(2)可知，阻力系數和升力系數均是迎角、舵偏和馬赫數的函數，而在平衡狀態約束下，平衡狀態量和控制量是確定的，阻力系數可以由升力系數和馬赫數的函數表示

CD=CD(CL,Ma)

(11)

吸氣式高超聲速飛行器升阻比最大的條件由對數微分的形式表示為[23-24]

(12)

其中，dln為對數微分的符號，根據式(11)，

(13)

定義如下的對數導數

(14)

(15)

無量綱的對數導數便于計算處理，則式(13)可以寫成

dlnCD=CD,LdlnCL+CD,MadlnMa

(16)

式(12)也可以轉化為

(1-CD,L)dlnCL-CD,MadlnMa=0

(17)

分析式(17)，分別固定馬赫數Ma或升力系數CL時，即有dlnMa=0或dlnCL=0，可以得到升阻比最大的優化條件

(18)

(19)

當同時滿足式(18)和式(19)可以得到使飛行器升阻比最大的全局最優解。根據式(13)，圖6分別給出了吸氣式高超聲速飛行器的阻力系數隨升力系數和馬赫數的變化規律。從圖6(a)可以看出阻力系數與升力系數的關系，模型的阻力系數隨升力系數的增大而增大，這與亞聲速飛行速域下阻力系數的變化規律是相似的[24]。對于給定的馬赫數，模型的升阻比在阻力系數曲線與過原點直線的相切點取到最大。虛線與阻力系數曲線相交的圓點為CD,L=1 所對應的狀態，這與圖7(a)中的圓點相對應。而圖7(b)表明，吸氣式高超聲速飛行器的阻力系數隨馬赫數的增大而減小，這與亞聲速速域阻力系數隨馬赫數的變化規律相反[24]，而且給定升力系數下升阻比最大的優化條件CD,Ma=0在所研究的Ma=4 到Ma=11的高超聲速速域范圍內無解，說明指定速域的配平狀態下吸氣式高超聲速模型的阻力系數隨著馬赫數的增加始終在減小，可以看出在較小的升力系數下，阻力系數隨馬赫數減小較快。依據曲線的走勢，CD,Ma=0的優化條件需要在更高的馬赫數下才能達到。另一方面，較大的升力系數下，阻力系數隨馬赫數的下降趨于平緩，結合圖6(b)可以看出在升力系數均較大的情況下，阻力系數表現出明顯的壓縮性，馬赫數對升阻比的影響逐漸減小，通過計算驗證，給定較大升力系數，在Ma=4到Ma=11的速域內存在CD,Ma=0，然而平衡狀態的控制量約束下飛行器無法滿足此時的升力系數。

顯然，吸氣式高超聲速飛行器要達到更高的飛行速度需要付出更大的代價，同時較高的飛行馬赫數也超出了超燃沖壓發動機的工作范圍，因此CD,Ma=0這一指標對本文的模型并不適用。

圖6 吸氣式高超聲速飛行器阻力系數變化特性Fig.6 Characteristics of drag coefficient of air-breathing hypersonic vehicle

圖7 吸氣式高超聲速飛行器升阻比變化特性Fig.7 Characteristics of lift-to-drag ratio of air-breathing hypersonic vehicle

圖8 吸氣式高超聲速飛行器升阻比等勢圖Fig.8 Contours of lift-to-drag ratio of air-breathing hypersonic vehicle

在亞聲速速域中飛行器的升阻比通常隨飛行速度的增大而減小[24]，但是吸氣式高超聲速飛行器的升阻特性呈現出不同的規律。按照之前的分析，飛行器在所研究的速域內曲線CD,L=1與CD,Ma=0沒有交點，無法取到升阻比最大的全局最優解，只能按照CD,L=1這一指標尋求次優結果。圖8更清晰地給出了固定馬赫數時，飛行器在CD,L=1指標下升阻比最大的次優結果。

4.2 優化推進效率

在高超聲速飛行條件下，超燃沖壓發動機作為吸氣式高超聲速飛行器的動力系統，其工作狀態受飛行狀態變化的影響劇烈[25-26]。根據式(2)中影響項，燃油當量比、馬赫數和迎角是影響超燃沖壓發動機推力的主要因素。

燃油當量比是發動機模型的控制量，對推力大小有直接的影響，飛行器的燃油當量比，可以表示為

(20)

(21)

圖9是超燃沖壓發動機的配平燃油當量比隨馬赫數的變化曲線，隨著馬赫數的增加，燃油當量比減小，發動機提供的配平推力也在減小，平衡狀態下推力與阻力近似，這與前文圖6中阻力系數的變化規律相互印證。同時，相同馬赫數下，隨著高度的增加，大氣密度會產生很大變化，空氣稀薄導致空氣質量流率下降，會導致燃油當量比增加，發動機易進入熱壅塞狀態。故而，飛行器巡航飛行應保證飛行高度較高的情況下飛行馬赫數不能過小，以避免超燃沖壓發動機進入飽和或熱壅塞的狀態。

圖9 配平燃油當量比隨馬赫數的變化曲線Fig.9 Fuel equivalent ratio for trim versus Mach number curve

超燃沖壓發動機的工作效率可以表示為

(22)

(23)

g0為標準重力加速度。故而，式(22)可以轉化為

(24)

分析式(24)可知，飛行器配平狀態下的發動機效率主要受發動機比沖和飛行速度影響。仿照前文的分析，可以得到超燃沖壓發動機效率最大的條件為

(25)

在巡航飛行狀態下，飛行高度固定，受平衡狀態約束發動機的比沖近似是馬赫數的函數，因而有

(26)

所以式(25)可以轉化為

(27)

得到超燃沖壓發動機效率最大的條件為ηMa=0。圖10為超燃沖壓發動機工作效率隨馬赫數的變化曲線，可以看出超燃沖壓發動機的效率隨著馬赫數的增加呈現先增大后減小的變化規律，而高度變化對發動機的效率影響較小，在高馬赫數段發動機效率隨高度近乎不變。由ηMa=0條件，在所研究的高超聲速速域內，飛行器在Ma=9～9.5速域內巡航飛行發動機的效率較高。

發動機比沖是發動機消耗單位質量的燃料所提供的推力，也可以作為衡量發動機性能的重要指標，較大的發動機比沖意味著發動機提供同等大小的推力時更為節省燃料。圖11是平衡狀態下超燃沖壓發動機的比沖隨馬赫數的變化曲線。從圖11可以看出,發動機的比沖隨著馬赫數的增加先增大后減小，比沖的曲線在高馬赫數處會出現數值的劇烈下降，這是由于燃燒由當量比燃燒轉為貧燃燃燒所致。考慮巡航飛行狀態下超燃沖壓發動機比沖最大的條件如式(28)所示。

圖10 超燃沖壓發動機工作效率隨馬赫數變化曲線Fig.10 Efficiency of scramjet engine versus Mach number curve

(28)

如圖11中曲線Isp,Ma=0所示，飛行器在Ma=7.5～8.5速域內巡航飛行發動機的比沖較大。

圖11 超燃沖壓發動機比沖隨馬赫數變化曲線Fig.11 Specific impulse of scramjet engine versus Mach number curve

超燃沖壓發動機的實際工作特性復雜，發動機數學模型本身存在一些簡化。因此，從超燃沖壓發動機的工作效率和比沖兩個方面給出發動機推進效率的優化指標作為參考，分析的結果主要是優化了飛行器巡航飛行過程中馬赫數的大致范圍。

4.3 綜合性能指標的優化結果

綜合前文的分析，亞聲速巡航飛行性能指標對吸氣式高超聲速飛行器并不能完全適用。由于模型的復雜對象特性，結合上述氣動效率和推進效率兩方面性能指標得到飛行任務點的優化結果。

前文得到的關于氣動效率和推進效率的性能指標有CD,L=1與Isp,Ma=0、ηMa=0。圖12是綜合氣動效率和推進效率性能指標得到的優化結果。其中，點A的馬赫數和高度為(7.93,26580 m)，是綜合指標Isp,Ma=0與CD,L=1的結果，其優化的目標函數相當于minf=|CD,L-1|+|Isp,Ma|；而點B的馬赫數和高度為(9.72,28250 m)，是綜合指標ηMa=0與CD,L=1的結果，其優化的目標函數相當于minf=|CD,L-1|+|ηMa|。結合前文選取的爬升起始任務點，點B處的飛行器能量遠大于點A，從爬升起始任務點爬升到點A所經歷的速度和高度變化相比于點B要小，能量變化小，故而燃料消耗量小，飛行任務較為容易，以點A作為爬升末端任務點更為合適。

圖12 綜合指標CD,L=1、Isp,Ma=0、ηMa=0的優化結果Fig.12 Optimization results of combining indices CD,L=1, Isp,Ma=0 and ηMa=0

綜上，依據吸氣式高超聲速飛行器的模型特性分析，以兼顧氣動效率和推進效率的優化指標對飛行器的巡航飛行性能進行優化，得到點A即為一個合適的爬升末端任務點。針對不同的飛行器、不同的飛行任務，模型的對象特性差異以及性能指標的選取不同，均會使優化分析得到關鍵任務點產生變化。

5 爬升末端任務點魯棒優化

前文對爬升末端任務點的優化選取，主要是基于對飛行器模型特性的靜態分析，而實際飛行中模型自身的不確定性會使模型特性產生較大的偏差，同時，優化分析沒有完全考慮本體和控制等約束條件的限制，所得到的優化結果往往魯棒性較差。故而前文所求的點A僅是模型在參數固定情況下的最優結果，在受不確定性的影響時，難以滿足飛行性能具有魯棒性的要求。針對這一問題采用魯棒優化的思路[27]對提出的氣動/推進效率性能指標做進一步改進，構造新的適應度函數，以前文選取的爬升末端任務點為參考進行優化，將任務點擴展得到鄰域。鄰域相比于單個狀態點在軌跡設計時的魯棒性與可實現性強，具有工程實用價值。

吸氣式高超聲速飛行器經歷爬升段飛行，受燃料消耗、外界擾動等不確定因素影響，模型參數經歷一個時變的過程，尤其是隨著燃料質量的消耗，飛行器的質心位置可能發生變動，對模型本體特性產生較大影響。故本文對吸氣式高超聲速飛行器考慮質心位置不確定性，參考點A進行魯棒優化得到了滿足魯棒性能指標的飛行任務窗口。

對于一個基本的優化問題，可以描述如下[27]：

s.t.x∈{xi|xlb≤xi≤xub}

(29)

其中，f(x,p)是優化的目標函數，x是由設計變量組成的向量，給出了范圍約束，p是模型的一個自身參數。對于這一優化問題，不確定性會存在于設計變量x中或模型參數p中或目標函數的輸出f(x,p)中。本文的優化思路主要涉及的是模型參數p不確定性影響下的優化問題?？紤]不確定性的魯棒優化問題，通過構造關于原優化目標函數f的適應度函數F來結合參數的不確定性。本文的魯棒優化問題，可以用下面一組式子來描述

s.t.x∈{xi|xlb≤xi≤xub}

(30)

為將任務點擴展到鄰域，修改式(30)描述的魯棒優化問題的目標

(31)

其中，k為大于適應度函數Fn最小值的常數，k的設置使得優化問題變為求解最優解鄰域的魯棒次優問題，避免了求解最優問題收斂慢、陷入局部最優的風險，計算簡單快速，求解式(30)的結果即為滿足魯棒性能指標的飛行區域的解集。此時，設計變量x是飛行器的飛行高度h和馬赫數Ma，不確定性參數p是質心位置xcg，模型的標稱質心位置在機體軸線上，在距飛行器機頭16.76 m處。這里假設模型質心位置的不確定性范圍為沿機體軸線方向前后變化0.5 m，即區間[16.26 m,17.26 m]。

在質心位置不確定性范圍內對吸氣式高超聲速飛行器配平升阻比和配平比沖隨高度、馬赫數及質心位置的變化規律進行分析。圖13中，固定飛行高度為27000 m，飛行馬赫數不斷增加，隨著模型質心位置的增大，飛行器的升阻比單調減小。圖14為標稱質心位置處飛行器升阻比隨高度、速度的變化趨勢，結合圖13和圖14可以看出，質心位置的不確定性影響了飛行器的靜穩定性，改變了其在平衡條件下的狀態，進而對配平升阻比產生了較大的影響。而圖15中，固定飛行馬赫數為8，飛行高度不斷增加，隨著模型質心位置的增大，飛行器比沖基本保持不變，即模型的配平比沖受質心位置不確定性的影響較小。圖16顯示了標稱質心位置(xcg=16.76 m)處發動機比沖隨速度、高度的變化趨勢，比沖基本隨馬赫數增加先增大后減小，隨高度增加而減小。

圖13 配平升阻比隨質心位置變化規律Fig.13 Trend of lift-to-drag ratio for trim versus the position of centroid

圖14 標稱質心位置下配平升阻比隨飛行狀態的變化規律Fig.14 Trend of lift-to-drag ratio for trim versus the flight state at nominal centroid position

圖15 配平比沖隨質心位置變化規律Fig.15 Trend of specific impulse for trim versus the position of centroid

圖16 標稱質心位置下配平比沖隨飛行狀態的變化規律Fig.16 Trend of specific impulse for trim versus the flight state at nominal centroid position

根據第4.3節點A的性能指標可以得到優化問題的目標函數為

f((h,Ma),xcg)=λ1|CDL-1|+λ2|Isp,Ma|

(32)

其中，λ1和λ2是權值系數。對式(32)采用魯棒正則化方法，構造如下的適應度函數

λ2|Isp,Ma|)φ(δ)dδ

(33)

式中:δ是不確定性下質心位置關于標稱位置的偏移量，而φ(δ)是質心位置關于標稱位置偏移量的概率密度函數。

前文優化的關鍵任務點A在標稱質心位置下適應度函數值最小，其應在魯棒優化問題最優解的鄰域內，故而k值可以由點A處的適應度函數值放大合適的倍數確定。根據不確定性參數與性能指標的關聯分析選取合適的權重系數λ1和λ2，以衡量不確定性對指標的影響程度。為了方便計算，將質心位置的不確定性范圍歸一化至[-1,1]區間內，-1代表質心位置前移0.5 m，1代表質心位置后移0.5 m。不確定性參數的概率分布是魯棒優化方法的核心，但缺點是實際問題中的不確定性的概率分布不易獲得。本文假設飛行器在爬升段末端的燃料消耗對質心位置的不確定性滿足均值為0，方差為1/9的正態分布，則根據正態分布的理論，可以保證質心位置有99.7%的概率落在[-1,1]區間內。

(34)

結合式(30)、式(33)和式(34)，求解滿足魯棒性能指標的飛行區域，即圖17中黑色虛線框所圍區域。進一步考慮飛行器飛行過程中的約束條件，在爬升走廊內縮小飛行器巡航飛行的約束區域，最終的飛行任務窗口應是二者的交集。

圖17在飛行器標稱質心位置下的配平升阻比等勢圖中，對比了魯棒優化的解集域與巡航約束區域。圖中左上角的空白區域是由于模型控制量限制造成的未配平區域。飛行器的動壓約束與熱流約束同前文所述，而控制約束方面，燃油當量比作為發動機控制量，其飽和約束由未配平區域體現；粗實線代表了發動機的熱壅塞約束。對于模型舵面偏轉角，假設保留約33.3%的控制裕度，取偏轉的余量為δeM=7°，則配平舵面偏轉角要小于13°。最后，針對本文的吸氣式高超聲速飛行器，以模型配平升阻比大于3.8為約束，得到標稱質心位置下的巡航約束區域為圖中淺灰色區域。

圖17 魯棒優化解集域及標稱質心位置下的巡航約束區域Fig.17 Solution domain of robust optimization and constrained area of cruise at the nominal centroid location

巡航約束區域的大小在質心位置不確定性影響下也會發生改變，圖18中淺灰色區域為飛行器質心位置在17.26 m處的巡航約束區域，對比圖17和圖18可以看出,質心位置向后移動使升阻比等勢線和舵偏約束發生較大變化，進而導致約束區域明顯減小。同時，飛行器質心位置在17.26 m處是不確定性范圍的邊界，此時巡航約束區域最小，是質心位置不確定性的最壞情況。爬升末端任務點需要同時滿足魯棒性能指標要求和質心位置不確定性的最壞情況的約束，即飛行任務窗口為魯棒優化解集域與最小巡航約束區域的交集，如圖18中深灰色區域所示。

圖18 飛行任務窗口及質心位置在17.26 m處的巡航約束區域Fig.18 Flight mission window and constrained area of cruise with centroid position at 17.26 m

由原先的點A擴展到飛行任務窗口，此時點A雖仍在飛行任務窗口內，但位于區域的邊界處，可以選取窗口區域的中心位置點C(7.95,26350 m)為參考的爬升末端任務點，其遠離飛行任務窗口的邊界，魯棒性更強。在飛行任務窗口區域內選擇爬升末端任務點或直接以任務窗口為軌跡設計約束，可以滿足巡航飛行性能要求，同時有效地解決可能由質心位置不確定性引起的控制飽和問題，在后續的軌跡及控制設計中更具優勢和便利。

此外需要說明的是本文以質心位置這一本體參數為例說明了關鍵任務點到飛行任務窗口的魯棒優化流程，飛行器實際飛行過程中受氣動熱、風干擾影響還存在氣動、推進等諸多不確定性因素，氣動不確定性會關聯模型的升阻特性、舵偏約束等，而推進不確定性主要關聯模型的燃油當量比、比沖等推力相關項，綜合考慮兩者會同時影響優化問題的性能指標和約束條件，對不確定性因素的考慮越充分得到的性能指標就越復雜，同樣采用上述思路得到的飛行任務窗口必然產生差異，但魯棒性更強，有待進一步研究。

6 結 論

1) 本文主要研究吸氣式高超聲速飛行器爬升段關鍵任務點的優選問題，包括爬升起始任務點確定和爬升末端飛行任務窗口的魯棒優化。優化流程順序遞進，避免循環迭代；過程多是基于模型平衡狀態的分析，魯棒優化步驟求解最優解的鄰域而非最優解，計算簡單快速，適用于吸氣式高超聲速飛行器設計初期的模型外形分析、快速軌跡優化，為此類飛行器后續的軌跡及控制設計提供參考。

2) 吸氣式高超聲速飛行器在高超聲速速域的升阻特性相比亞聲速呈現出相反的變化規律，超燃沖壓發動機的工作約束較為嚴苛，飛行器的氣動和推進還存在耦合，為此充分考慮模型特性，提出了兼顧氣動/推進效率的優化性能指標。

3) 在爬升過程中，吸氣式高超聲速飛行器的燃料質量消耗帶來的質心位置不確定性對模型本體特性產生影響，通過構建魯棒優化問題得到飛行任務窗口，提高了飛行性能的魯棒性。以飛行任務窗口作為邊界約束進行軌跡設計的可實現性強，結果更具工程實用性。