地鐵車車頭腳蹬可靠性分析及優化設計

傅振亮，李 娜，田雪艷，溫 昕，李永華?

（1.中國中車唐山機車車輛有限公司產品研發中心，河北唐山063500；2.大連交通大學機車車輛工程學院，遼寧大連116028）

0 引言

地鐵車車頭腳蹬作為城軌列車重要的支撐承載部件，需承受較高的正交載荷，其可靠性是保證車頭安全運行的重要指標。若采用不確定性方法對腳蹬的強度進行可靠性分析，其最大應力有一定的概率超出材料的許用應力，因此，為保證腳蹬踏板的承載能力和安全使用，對其進行強度可靠性分析是十分必要的。

目前，針對強度可靠性分析的研究很多，曹煒等[1]采用Monte Carlo方法對拉殼鉤強度可靠性進行評估與分析。周新建等[2]對某1.5MW雙饋式風力發電機風機主軸進行基于靜強度的結構可靠性分析。蔡德詠等[3]采用可靠性與有限元相結合的方法對火箭炮發射箱箱體進行了剛強度分析及優化設計。胡登高和范迅[4]應用有限元法對液壓支架進行強度、可靠性和敏感性分析。智鵬鵬[5]等對轉向架構架進行結構強度可靠性分析。本文以某地鐵車車頭腳蹬為研究對象，選取腳蹬的最大Von.Mises應力作為結構性能響應建立極限狀態方程，采用基于拉丁超立方采樣的Monte-Carlo法對其進行強度可靠性分析，得到了腳蹬的最大Von.Mises應力和極限狀態函數值的概率分布特征，獲得了腳蹬的強度可靠度。在此基礎上，采用OptiStruct結構優化技術對腳蹬進行尺寸優化，為提高腳蹬的可靠性提供了參考。

1 強度可靠性分析原理及方法

1.1 應力-強度分布干涉理論

應力-強度分布干涉模型如圖1所示，s為結構應力，S為結構強度，陰影部分為s和S的干涉區，可能出現Ss的情況，此時結構將發生失效，因此即使保證安全系數大于1，s與S的概率密度還會出現干涉區，所以只用安全系數來反映結構是否安全是不夠充分的，必須進行可靠性分析。已知s和S的概率密度函數可得可靠度的計算方程為

式中：f(s)為應力的概率密度函數，f(S)為強度的概率密度函數。

圖1 應力-強度干涉模型

1.2 強度可靠性分析極限狀態方程

根據應力-強度分布干涉理論，設x1,x2,…,xn為設計變量，則極限狀態方程為

式中：[σ]為材料的許用應力；σmax為結構的最大節點等效應力。

2 腳蹬可靠性分析

2.1 腳蹬可靠性分析過程

Monte-Carlo法是對輸入變量進行大量抽樣，失效點落在安全區外的個數占采樣總數的比率即為結構的失效概率[6]。而基于拉丁超立方采樣的Monte-Carlo法將輸入變量的取值范圍分成n個區間，每個變量在每個區間內只能“撞擊”一次，因此，不會出現采樣點重疊的現象[7]。

基于Monte Carlo法腳蹬強度可靠性分析過程如圖2所示，首先建立腳蹬的極限狀態方程，然后根據隨機輸入變量的概率密度函數利用拉丁超立方法采取一定數量的樣本，并對隨機變量樣本點進行循環分析，校驗每次抽樣結果是否滿足極限狀態方程，最后統計分析結果得到結構的失效率，進而獲得腳蹬的可靠度。

圖2 腳蹬可靠性分析流程圖

2.2 建立腳蹬有限元模型

根據腳蹬的承載特性，建立其有限元模型，如圖3所示。腳蹬主要包括腳蹬主體、踏板、腳蹬框以及角鐵，踏板由上至下分為三層，第一層踏板與腳蹬主體通過角鐵螺栓相連，第二層、第三層踏板以及腳蹬框與腳蹬主體采用剛性元（rbe2）連接。腳蹬整體采用四邊形殼單元模擬，單元基本大小為14mm，單元總數2 000個，節點總數2 224個。角鐵所使用的材料為Q345鋼，其余結構均采用Q235-B鋼，彈性模量E=210GPa，泊松比v=0.274，屈服強度σs=235MPa。

圖3 腳蹬的有限元模型

2.3 腳蹬的有限元分析

根據腳蹬的實際使用情況，按照IEC 61373-2010標準計算其所承受的工作載荷。對腳蹬框的上表層施加X、Y、Z方向的全位移約束，對第一層踏面螺栓剛性連接處施加X、Y、Z方向的全位移約束，如圖4所示。

圖4 腳蹬的工況加載

腳蹬踏板的強度校核根據工作條件共施加4個外力載荷。工況1為2kN的正交負載應用在第一層踏面的100×75區域，方向為-z，如圖4所示；工況2為2kN的正交負載應用在第二層踏面的200×75區域，方向為-z；工況3為2kN的正交負載應用在第三層踏面的100×75區域，方向為-z；工況4為2kN的正交負載應用在第三層踏面的100×75區域，方向為+y。各工況下腳蹬的靜強度仿真計算結果如圖5所示。

圖5 各工況腳蹬的等效節點應力云圖

應用Von.Mises準則[8]進行腳蹬的強度校核，節點等效應力為

式中：σeq為節點等效應力；σi(i=1,2,3)為對應節點主應力。材料滿足強度要求的條件是：σeq≤[σ]。

2.4 確定隨機輸入變量和結構功能函數

根據腳蹬的靜強度計算結果，選定工況①作為強度可靠性分析時的超常載荷，以工況①的最大Von.Mises應力作為結構性能響應，設為SMAX，考慮與其相關的不確定性因素作為隨機輸入變量，主要包括材料屬性以及結構板厚大小，見表1。

表1 隨機輸入變量

考慮以上不確定性因素對結構強度的影響，以腳蹬在超常載荷下的許用應力大于材料的最大Von.Mises應力為失效判據[9]，根據此失效判據以及式（2）建立腳蹬的強度功能函數

式中：SMAX為超常載荷下腳蹬的最大Von.Mises應力，當Z0時腳蹬結構發生強度失效。

2.5 強度可靠性分析結果后處理

采用基于拉丁超立方采樣的Monte-Carlo法對超常載荷下的腳蹬結構參數進行500次的抽樣計算，得到優化前的可靠性分析結果。對于輸出響應結果的評判，主要輸出了極限狀態函數值（Z）和腳蹬結構的最大Von.Mises應力值（SMAX）。圖6為置信度為95%的Z和SMAX的歷史樣本抽樣過程，置信區間上下限曲線表示500次抽樣過程向均值曲線趨近的過程，通過觀測輸出變量的樣本均值趨勢曲線是否趨于穩定來判斷抽樣次數是否足夠，以檢驗抽樣次數能否滿足精度的要求。

由圖6可知，經過500次采樣的Monte Carlo仿真循環后，極限狀態函數曲線和最大Von.Mises應力曲線已逐步趨于平穩，說明500次仿真抽樣已經足夠，能夠準確地進行腳蹬的結構可靠性計算分析。隨著采樣次數的增多，置信區間上下限寬度不斷減小，Z的均值在2附近波動，大于0；應力均值收斂于202MPa左右，低于材料的屈服強度205MPa，最大應力處于190MPa和237MPa之間的樣本頻率相對較高，說明最大應力樣本點落在190MPa和237MPa之間的數量較多。

圖6 輸出變量的樣本均值趨勢圖

圖7 輸出變量的累積分布函數曲線

置信度[0 , 1]區間內，缺省值0.95，得到輸出變量的累積分布函數曲線如圖7所示。結合圖8仿真總體功能函數Z的歷史樣本和可靠度結果圖9可知，Z0的概率約為59.07%，即系統的可靠度為59.07%，失效概率為40.93%，失效概率較高，不滿足可靠性設計要求。

圖8 Z的歷史樣本

圖9 優化前Z＞0的概率

3 腳蹬的尺寸優化

由腳蹬的強度可靠性分析結果發現其可靠性具有很大的優化空間，基于此，為了提高結構的力學性能，同時考慮輕量化也需要得到一定的保證，使用OptiStruct對腳蹬結構進行尺寸優化，以獲得最佳的板厚組合。

Optistruct中，一個設計變量與其他設計變量之間的關系可以表示為[10]

式中：DDVID為該階段最終的設計變量；C0為常量，本文取0；CMULT為常量系數，本文取1；IDVi為獨立變量的標識；Ci為IDVi的系數。

選取角鐵板厚、踏板板厚、腳蹬板厚以及腳蹬框的厚度共4個尺寸參數作為設計變量，以其在超常載荷工況（第①工況）下的加權柔度值最小化為目標函數，即腳蹬的總成剛度最大，以腳蹬總質量不超過優化前的質量為約束條件，建立尺寸優化數學模型

式中：Ti（i=1,2,3,4）為腳蹬各組成部件的厚度，W為加權柔度系數，本文取1，C為腳蹬在第一工況下的柔度值，M為腳蹬的質量。

經過迭代計算圓整得到尺寸優化后各板厚的最優解見表2。柔度目標函數迭代過程曲線如圖10所示。

表2 尺寸優化結果

圖10 尺寸優化目標函數柔度迭代曲線

對優化圓整后的腳蹬重新進行超常載荷下的靜強度分析，應力分布如圖11所示。尺寸優化前后腳蹬的力學性能對比見表3，圓整后的腳蹬在質量僅增加0.43kg的條件下，最大應力由優化前的200.78MPa下降到122.2MPa，減少39.1%，并且小于材料的許用應力；而最大變形量由優化前的2.45mm下降到0.76mm，減少69.1%。對優化圓整后的腳蹬結構采用基于拉丁超立方抽樣的Monte-Carlo法進行500次的抽樣計算得到最終的可靠度結果如圖12所示，由優化前的59.07%提升到100%，優化后的腳蹬滿足了可靠性設計要求，取得了較好的優化效果。

圖11 優化圓整后腳蹬的應力云圖

圖12 優化后腳蹬結構可靠性分析結果

表3 優化前后對比

4 結語

①采用基于拉丁超立方采樣的Monte Carlo法對某地鐵車車頭腳蹬進行超常載荷下的強度可靠性分析，經過500次抽樣仿真分析后得到腳蹬的可靠度為59.07%，不滿足可靠性設計要求。

②采用OptiStruct對腳蹬進行尺寸優化，優化圓整后的腳蹬在力學性能很大程度提高的前提下，其可靠度由優化前的59.07%提升到100%，達到較好的優化效果。