帶權重約束的DEA超效率評價模型及其應用研究

龔日朝，劉俞希，潘芬萍

(湖南科技大學商學院，湖南 湘潭 411201)

1 引言

產學研協同創新效率評價是一個典型的多投入多產出問題。國內外很多學者從不同的角度對其評價方法進行了大量研究，如：Bonaccorsi和Piccaluga[1]從組織結構和組織過程兩個維度，構建了基于知識產生、傳遞、衍生的產學合作績效評價模型；Mora-Valentin等[2]從合作滿意度和關系持續性角度構建了協同創新績效評價模型及測量量表；Plewa和Quester[3]從營銷和技術轉移的角度，構建了以研發為導向，結合產學研各主體的地理距離、主體關系以及合作時間為要素的協同創新績效評價模型；楊栩[4]則應用模糊綜合評價的方法，從產學研主體的貢獻大小以及合作的經濟效益角度，構建了模糊評價績效模型；郭斌[5]從財務績效、技術創新、技術轉移以及滿意度的視角，構建了基于“要素—過程—績效”的全過程綜合評價模型。最近幾年，很多學者從行業角度[6-8]、區域角度[9-10]、主體角度[11-12]等分別對產學研協同創新效率問題進行了深入的研究。運用的方法有：層次分析、主成分分析、模糊評價、博弈論、數據包絡(DEA)等。如：張華[13]基于演化博弈理論，研究了產學研主體間協同創新過程的演化穩定策略；李鴻禧和遲國泰[14]以企業作為科技投入和產出的主體，運用DEA法中CCR模型和BCC模型測算了我國15個副省級城市科技創新的總體投入產出效率、純技術效率和規模效率。

DEA法是一種非參數方法，它不僅能對具有多投入、多產出的多個不同評價單元同時進行綜合評價，而且在技術上不需要事先確定指標權重，只需以最有利于評價單元為目標，構建優化模型，因此，DEA法在各個領域得到了廣泛的應用。但我們不難發現，DEA法的優化模型以每一個評價單元效率為目標，指標權重為決策變量，依據每個評價單元的指標取值確定可行域，從而每一個評價單元效率評價的指標權重是不同的。這種評價方法在現實中有一定的道理，因為每一個被評價單元具有不同的背景和特點，正如評價成年人和小孩的自我控制能力一樣，如果用同一指標權重去評價，顯然有失公平，沒有太多的參考價值，因此，對問題的評價應該考慮每一個被評價對象的特征差異。然而，我們既然把每一個被評價對象在同一指標體系下進行評價，就必須遵守指標體系內指標之間最基本的邏輯大小關系，這是一種共性。脫離這種共性，得到的評價肯定會失去評價的科學性。DEA法恰好沒有考慮這一問題，過分強調了評價單元的特征差異，忽略了指標之間客觀存在的指標邏輯大小關系，因而在某些特殊情況下，容易導致評價單元本應該非常重要的指標，所得權重很小甚至為0的弊端[15]。為此，如何獲得指標之間基本的邏輯大小共性關系，并將這種共性和被評價對象的特征差異有機結合，是解決DEA方法中權重確定弊端的關鍵技術。

現實中，人們為了盡可能全面地刻畫投入產出問題，往往會從全要素視角構建一個盡可能完備的指標體系。但對這種完備性的追求，往往會使得指標體系非常龐大，而且出現指標之間錯綜復雜的相互影響，甚至互為因果的關系問題。如果運用DEA法分析投入產出效率，就必須從指標體系中厘清投入指標和產出指標，這是DEA法應用的基本前提。1971年美國Bottele研究所提出了一種運用圖論和矩陣進行系統要素分析的方法—評價實驗與評估試驗法(DEMATEL法)，成為了分析系統內部元素之間影響關系的常用方法[16-18]。該方法不僅能從評價者群體對指標之間相互影響的認識中挖掘出具有一致性的指標因果屬性特征，而且還可以從復雜的指標體系中，通過指標中心度、原因度的計算，篩選出有效指標和因果指標子體系，并確定指標權重。因此，面對現實中非常復雜的評價指標體系，厘清指標之間的影響關系，確定指標的權重，DEMATEL法顯然具有無可比擬的優勢。為此，本文提出運用DEMATEL法分析指標之間相互作用的內在機理，測度指標之間相互影響的方向和大小關系，并將其作為約束條件納入DEA模型約束條件的新思想。該思想旨在克服DEA方法的缺陷，解決評價過程中評價對象的特征差異性與評價指標體系內在邏輯性之間的融合問題，實現DEMATEL方法與DEA法的有機結合。

基于上述問題和思想，本文首先介紹了DEMATEL法和DEA法中經典的非阿基米德無窮小量限制的CCR模型(簡稱：ε-CCR模型)，分析了它們的優勢和缺陷，同時借用Andersen和Yetersen[19]構建超效率CCR模型的思想，在ε-CCR模型基礎上構建了其超效率ε-CCR模型(簡稱：超效率ε-CCR模型)；然后，將DEMATEL法所獲得的投入指標子體系和產出指標子體系中指標權重大小關系納入ε-CCR模型及其超效率模型的約束條件，構建了權重約束型ε-CCR模型和權重約束型超效率ε-CCR模型，并根據Charnes-Cooper變換和線性規劃對偶原理，分別將模型轉換成了可計算的規范化線性優化模型。最后，以美國2014- 2015年度國家科學基金會產學研合作研究中心發布的年度報告數據，對美國71個以高校為主導的產學研協同創新中心的效率進行了實證分析，比較了不帶權重約束和帶權重約束條件下ε-CCR模型及其超效率模型的計算結果。實證結果顯示：本文構建的帶約束條件的ε-CCR模型及其超效率模型，更能有效實現指標共性特征與評價單元差異特性的有機結合，評價結果更可信、更合理。

2 權重約束型DEA模型的構建

2.1 基于DEMATEL法的指標權重邏輯關系確立

假設評價群體由M個專家組成，且專家權重都相同。評價指標體系的構建者為了指標體系的完備性，從條件、過程、結果等角度設計很多相互影響、互不獨立的指標，構建了評價指標體系，記為F={F1,F2,…,Fn}。為了簡約該指標體系并確定指標權重，本文采取DEMATEL法，基本步驟是：

步驟1：每個專家首先運用兩兩比較法，根據指標之間相互直接影響的方向和程度，獨立地構建直接影響矩陣，記為

步驟2：綜合每個專家的意見，獲取直接評估矩陣。直接評估矩陣的獲得分兩個階段：第一階段是專家組集體討論，盡可能地達成共識，討論后每個專家對各自的直接影響矩陣Λl進行修改。但由于每個專家對問題的認識水平差異或觀點的不同，在第一階段每個專家的評價不可能達成一致，我們尊重這種差異，進入第二階段：集結專家意見。本文對每個專家修改后的直接影響矩陣，采用算術平均算子集結專家組的評估信息，得到具有一致性的直接評估矩陣Λ=(fij)n×n，其中

(1)

步驟3：標準化直接影響矩陣Λ，得到直接影響標準矩陣Λ0=(aij)n×n，其中標準化公式為

(2)

步驟4：在直接影響標準矩陣Λ0的基礎上，根據如下公式，計算綜合影響矩陣

(3)

步驟5：指標分析、簡約與因果指標分離。根據DEMATEL方法，綜合影響矩陣T每一行元素之和稱之為指標的影響度，記為

(4)

每一列元素之和稱之為被影響度，記為

(5)

由于任意指標Fj不僅影響其它指標，而且也被其它指標影響，因此，稱Dj+Rj為指標Fj的中心度，表示該指標在指標系統中的位置和作用大小。稱Dj-Rj為指標Fj的原因度。如果Dj-Rj>0，則表示指標Fj對其它指標的影響大于其它指標對它的影響，指標Fj是原因指標；如果Dj-Rj<0，則表示指標Fj對其它指標的影響小于其它指標對它的影響，指標Fj是結果指標；如果Dj-Rj=0，則表示指標Fj對其它指標的影響等于其它指標對它的影響，該指標可以剔除。

步驟6：指標權重計算。根據上述指標分析結果，按照原因度從大到小，將評價指標體系F中的指標排序，剔除原因度為0的指標后，將指標體系分離出原因指標和結果指標，對應為產學研協同創新項目評價的投入指標和產出指標。

假設分離出來的投入指標集為

X={X1,X2,…,Xk}

產出指標集為

Y={Y1,Y2,…,Ys}

其中k+s≤n，每一投入指標Xi和產出指標Yj都分別對應著F={F1,F2,…,Fn}中的某個指標。為表述方便，記綜合影響矩陣T中投入指標Xi對單個產出指標Yj的綜合影響評價值為ti,j，則投入指標Xi對所有產出指標Y的影響度為:

(6)

于是，基于投入指標對產出指標的影響程度，定義投入指標Xi的權重為:

(7)

相應地，產出指標Yj被所有投入指標X影響的被影響度為

(8)

基于產出指標Y被投入指標X的影響程度，定義產出指標Yj的權重為

(9)

根據上述方法，我們可以獲得投入指標集X和產出指標集Y各指標的權重值。一般地，根據權重值和相應的指標取值，我們可以對評價單元進行綜合評價，并給出評價結論。但是，這種簡單方法過分強調了評價單元的共性評價，卻忽略了每個評價單元的特性，為此，本文并不主張直接利用所計算得到的權重值，而只利用權重值中所包含的指標之間大小邏輯關系信息。

2.2 權重約束型CCR模型的構建

假設有N個評價單元Ai，i=1,2,…,N，并根據上述DEMATEL法從指標體系中分離出了投入指標集X和產出指標集Y，且對應指標權重分別為μ和ν。記xij為第j個評價單元關于第i個投入指標的取值，yij為第j個評價單元關于第i個產出指標的取值。

2.2.1 傳統的ε-CCR模型及其超效率模型

DEA方法最基本的模型是CCR模型。為了解決CCR模型計算上和技術上的困難，Charnes在1952年引進了非阿基米德無窮小量ε的概念，運用控制指標權重，分別將每一個評價單元作為評價候選方案(以第m評價單元為例)，將其效率函數作為目標函數，構建了如下非阿基米德無窮小量ε限制的CCR模型[18]，本文稱之為ε-CCR模型：

(10)

其中

(1)ek,es；ε是一個小于任意正數且大于0的數；

(2)μ表示投入指標X對應的權重向量

(3)ν表示產出指標Y對應的權重向量。

(4)Xm表示被評價單元Am的投入指標X的取值；

(5)Ym表示被評價單元Am的產出指標Y的取值。

通過將每一個評價單元作為評價目標，求解優化模型得到各自的權重最優解及其對應的最大效率后，再根據最大效率值確定最優評價單元(或項目)是DEA評價方法的基本思路。然而，不難發現，非阿基米德無窮小量ε限制的CCR模型和經典的CCR模型一樣，經常出現多個效率值為1的情形，無法對所有評價單元進行完全排序。為了解決模型的這一缺陷，Andersen和Petersen[19]在CCR模型的基礎上，將被評價單元的信息從效率邊界條件中剔除，提出了超效率DEA模型。本文借用這一思想，在ε限制的CCR模型基礎上，構建如下超效率ε-CCR模型：

(11)

該超效率模型具有一個良好的性質：在非阿基米德無窮小量(限制的CCR模型下DEA有效(即：DEA效率值為1)的評價單元，其超效率可以大于或等于1，而對于DEA無效的評價單元，其效率值則不改變，從而可以實現有效排序。正因如此，超效率模型被更多的學者應用。

2.2.2 權重約束下的ε-CCR模型

我們研究發現，無論是ε-CCR模型還是超效率ε-CCR模型，由于其求解過程中最優權重是基于評價單元的差異特征而確定的，并沒有考慮評價單元集合在同一評價指標體系下指標之間客觀存在的權重大小關系，因此，同樣導致在實際應用中出現某些評價單元本應該比較重要指標，其權重卻很小，甚至為0的不可置信現象，魏新強和張寶生[15]在運用反向思維的定權重DEA方法研究中國能源效率過程中，通過實例說明了這種情形的存在。

為解決這一弊端，本文假設指標權重具有關系：μ1≥μ2≥…≥μk≥0，ν1≥ν2≥…≥νs≥0，將其納入ε-CCR模型(10)的約束條件，得到了一個新模型：

s.t.

(12)

通過Charnes-Cooper變換，即

上述分式規劃模型(12)轉變為如下線性規劃優化模型：

s.t.

(13)

將其轉化為對偶線性規劃，即為

minΘm=θ-(λn+s+λn+s+k)ε,

m∈{1,2,3,…,N}

s.t.

(14)

其中，記號

本文將該模型稱之為權重約束型ε-CCR模型。顯然，該模型的可行域解決了傳統ε-CCR模型中沒有考慮指標權重之間客觀存在的大小關系的不足。不過，我們同樣發現，權重約束型ε-CCR模型依然存在多個效率值為1的情形。為此，本文同樣采用Andersen構建超效率模型的思想，在上述權重約束型ε-CCR模型(14)的效率邊界條件中剔除被評價單元效率信息，則構建了如下權重約束型超效率ε-CCR模型：

min{θ-(λn+s+λn+s+k)ε},m=1,2,3…,N

(15)

值得注意的是

和

均表示在約束條件中剔除了被評價單元效率信息。

顯然，權重約束型超效率模型(15)式和Andersen提出的超效率DEA模型一樣，由于剔除了被評價單元自身效率的控制，對于DEA有效的評價單元，其新效率值不會小于1；而對于無效的評價單元，其DEA效率依然會小于1，且不改變原有效率值，從而不僅使得全體評價單元可以進行完全排序，而且充分考慮了指標權重之間的內在大小關系，獲得的結論更可靠。

3 實證分析

3.1 問題來源與評價指標

本文以美國71個高校為主導的產學研協同創新中心效率評價為研究對象，數據來源于2014-2015年度美國國家科學基金會產學研合作研究中心發布的產學研協同創新中心年度報告[21]。報告中給出的統計指標分為投入和產出兩部分，其中投入指標分為：參與合作的高校數、參與合作企業數、資金投入、專職人力資源投入(包括專職教授、研究員、博士后以及專職管理人員)、參與學生數(包括博士、碩士和本科生)、專職人員工作時間分配比例(包括中心管理時間、其它管理時間、研究時間、教學時間以及其它)。產出指標分為：招生學生人數(包括本科、碩士和博士)、被企業吸收學生數、承擔項目數和出版物等。由于報告中統計指標分類比較細，本文對統計指標數據進行如下處理，見表1：

3.2 DEMATEL法指標權重關系

本文聘請高校教授、企業家以及負責產學研工作的政府負責人組成專家組，由專家組成員運用兩兩比較法，按照2.1節中DEMATEL法步驟1-4，獲得綜合影響矩陣(見表2)。根據公式(4)和(5)計算得到相應指標的影響度和被影響度，并運用公式(7)和(9)計算得到投入指標和產出指標權重(見表3)。

3.3 評價結果

根據表3指標權重，可以得到投入指標權重大小關系為μ3≥μ4≥μ1≥μ2≥μ6≥μ5，產出指標權重大小關系為ν3≥ν4≥ν2≥ν1。于是，將上述權重關系納入傳統型ε-CCR模型(10)和超效率ε-CCR模型的約束條件，構建了權重約束型ε-CCR模型(14)和權重約束型ε-CCR超效率模型(15)。根據2014-2015年度美國國家科學基金會產學研合作研究中心發布的年度報告數據(見表4)，通過MATLAB軟件編程，計算得到了傳統型ε-CCR模型(10)和超效率ε-CCR模型(11)、權重約束型ε-CCR模型(14)和超效率ε-CCR(15)對應的效率評價結果(見表4)。

表1 評價指標及其計算方式

表2 指標綜合影響矩陣

表3 指標相互影響邏輯關系與權重值

從表4可以看出，在傳統的ε-CCR模型(10)下，有29個產學研中心的效率值均為1，按照DEA理論，它們DEA有效，但顯然無法進行排序。然而，根據傳統型超效率ε-CCR模型(11)，不僅使得表4中前29個DEA有效的產學研中心的評價能有效區分，而且對其它DEA無效的產學研中心的效率值并不改變，這正是超效率ε-CCR模型的優點，說明超效率模型具有很好的排序有效性。

但是，傳統型超效率ε-CCR模型，沒有權重約束，其獲得的排序結果完全合理嗎？對此，我們從表4中選取如下4個項目的數據及效率計算結果(見表5)進行比較分析。

從表5投入和產出數據，顯然AKE項目的投入遠遠大于M項目，然而產出指標的數值并沒有成比例增長，直觀上就可以看出傳統型ε-CCR模型及其超效率ε-CCR模型計算出來的結果顯然不合理。另外，NE和NGP兩個項目，在參與企業數、資金投入、參與工作的學生數、管理投入等4個指標下，NE項目都比NGP項目大很多，而產出結果卻小一些，這從直觀上看，應該是NE項目的效率低于NGP項目的效率，可是計算結果卻相反。因此，通過這2個實例的比較，足以說明如果不考慮權重約束，DEA法很容易導致錯誤的結論。但是，根據本文的權重約束型ε-CCR模型及其超效率ε-CCR模型，從表5就可以看出排序的結果都是合理的，符合人們的直觀評價。由此證實了本文的理論分析，即沒有權重約束的DEA模型是存在缺陷的，只有充分考慮評價指標之間相互影響而客觀存在的共同邏輯關系，并將其納入DEA模型的約束條件才能獲得更科學更合理的結論。

表4 美國71個產學研協同創新項目效率評價結果

續表4 美國71個產學研協同創新項目效率評價結果

表5 傳統型超效率ε-CCR模型排序結果不合理性實例數據

此外，根據表4，權重約束型ε-CCR模型依然存在兩個有效的評價單元EV-T&EC和CO-T，效率值均為1，無法進行排序。但根據權重約束型超效率ε-CCR模型，EV-T&EC和CO-T的超效率分別為4.3109和1.4589，實現了有效排序，而且這一結果從它們相應的投入和產出數據分析，直觀上看也是合理的。由此可見，整體上，通過權重約束的ε-CCR超效率模型，評價結果更符合實際。

總之，根據上述分析，將評價指標之間相互影響而客觀存在的共同邏輯關系納入傳統模型，構建的權重約束型ε-CCR超效率模型，不僅繼承了傳統模型的優點，而且評價結果更符合實際，更具有科學性。

4 結語

本文通過DEMATEL法分析出評價系統中指標權重之間的因果邏輯關系以及權重大小關系，并將其納入DEA評價模型，構建了權重約束型非阿基米德無窮小量限制的ε-CCR模型及其超效率模型，實現了評價方法中指標體系的共性關系和評價對象特征差異的有機結合。這一新方法可以運用于被評價對象數量龐大、特色差異較大、評價指標復雜的各種多投入多產出的現實問題效率評價。