全概率公式的推廣及應用

蘭瑞平

(呂梁學院 數學系，山西 離石 033001)

全概率公式是概率論的一個重要公式，在概率計算的問題中有著舉足輕重的作用.它化繁就簡，使一些復雜事件的概率的計算簡單化.但是由于其條件比較嚴格，在實際問題中有時難以滿足，因此需要將其條件進行弱化，使之成為解決復雜事件概率計算的實用性工具；另外，將全概率公式在條件概率下進行推廣，可以擴大其使用范圍.

以下內容介紹全概率公式的四種推廣形式，并通過具體的例子介紹其應用.首先介紹基本概念.

定義(劃分)[1]設(Ω，F，P)為概率空間，若事件列Bi∈F，i=1，2，…，n滿足：

(2)B1，B2，…，Bn兩兩互斥，即BiBj=? ，i≠j，i，j=1，2，…n；

則稱B1，B2，…，Bn為Ω的一個劃分(或分割)，稱B1，B2，…，Bn為完備事件組.

引理1 (全概率公式)[1]設(Ω，F，P)為概率空間，若事件列B1，B2，…，Bn是Ω的一個劃分，且P(Bi)>0，i=1，2，…，n，則對?A∈F，有

將定義與引理1合并，表述為引理1′.

引理1′(全概率公式)[1]設(Ω，F，P)為概率空間，若Bi∈F，i=1，2，…，n.滿足：

(2)BiBj=?，i≠j，i，j=1，2，…n；

(3)P(Bi)>0，i=1，2，…，n；

則對?A∈F，有

注：全概率公式中，對Ω進行劃分的事件個數n可以是，見參考文獻[2].

下面對引理1′中的條件進行不同形式的弱化，得到推廣的全概率公式.

1 對條件的弱化

定理1[1，3]設(Ω，F，P)為概率空間，若?A∈F，Bi∈F，i=1，2，…，n，滿足：

(2)BiBj=?，i≠j，i，j=1，2，…n；

(3)P(Bi)>0，i=1，2，…，n；

則有

圖1

例1向某平面區域內隨機投點，隨機點落入邊長為1的小正方形區域Bi，i=1，2，3，4內的概率分別是0.1，0.2，0.2，0.3，落到大正方形區域(B1∪B2∪B3∪B4)外的概率為0.2，如圖1.當隨機點落入區域Bi，i=1，2，3，4時，隨機點在Bi，i=1，2，3，4區域中服從均勻分布.試求平面上的隨機點落入大正方形內接圓內的概率.

解：記A為事件“平面上隨機點落入內接圓”，記Bi為事件“平面上隨機點落入區域Bi”，i=1，2，3，4.由題意知圓的半徑為1，故圓的面積為π.且

P(B1)=0.1，P(B2)=0.2，P(B3)=0.2，P(B4)=0.3，

2 對條件“事件列B1，B2，…，Bn兩兩互斥”的弱化1

在實際問題中，有時不容易找到兩兩互斥的事件列，往往事件列之間的關系是相容的，但若其相容的概率為零，則可以改變全概率公式的限制條件，進而擴大其應用范圍.

定理2[4]設(Ω，F，P)為概率空間，若事件列Bi∈F，i=1，2，…，n滿足：

(2)P(BiBj)=0，i≠j，i，j=1，2，…n；

(3)P(Bi)>0；

則對?A∈F，有

證明： ?A∈F，由條件(1)知

由概率的加法公式可得

而當i≠j時有P(BiBj)=0，從而有

P(ABiBj)=0，…，P(AB1B2…Bn)=0，

所以

由定理2的條件可知，只需要P(BiBj)=0，i≠j，而未必要求B1，B2，…，Bn兩兩互斥，全概率公式仍然成立.

圖2

例2向平面上的區域隨機投點，如圖2.隨機點落入閉矩形區域Bi，i=1，2，3，4內的概率分別是0.2，0.3，0.2，0.3.當隨機點落入區域Bi時，點在該區域中服從均勻分布.試求隨機點落入圓A內的概率[4].

解：記A為事件“平面上隨機點落入圓A內”，Bi為事件“平面上隨機點落入區域Bi內”，i=1，2，3，4.依題意知圓的半徑為1，故圓的面積為π.由于B1，B2，B3，B4都是閉矩形區域，顯然BiBj≠?，i≠j，i，j=1，2，3，4， 但是P(BiBj)=0，i≠j，i，j=1，2，3，4.依題意，有

P(B1)=0.2，P(B2)=0.3，P(B3)=0.2，P(B4)=0.3，

在這個問題中，由于B1，B2，B3，B4都是閉矩形區域，故其兩兩之間是有交集的，其交集就是圖形與圖形之間的交線.又由幾何概型得其概率為P(BiBj)=0，i≠j，i，j=1，2，3，4，滿足定理2的條件.

3 對條件“事件列B1，B2，…，Bn兩兩互斥”的弱化2

定理3[4]設(Ω，F，P)為概率空間，Bi∈F，i=1，2，…，n.如果有

則對?A∈F，

證明：要證明定理成立，只需要證明

先證明(i).由于

B1∪(B2-B1)=B1∪B2，(B1∪B2)∪(B3-(B2∪B1))=B1∪B2∪B3，

以此類推，可得

對于(ii)，由于i≠j，不妨設i

定理1、定理2中證明的全概率公式的推廣形式都有三個限制條件，而定理3中的推廣形式既不需要事件列兩兩互斥，也不要求其概率為零.只需后一事件減去前面事件和之后的事件概率大于零即可.在一些情況下，此推廣形式使用更加方便.

例3有王軍、陳亮、張劍三名士兵同時向天空中同一飛行方向的目標進行射擊，這幾名士兵分別擊中的概率是0.3，0.6，0.8.假設三人中只有一人擊中，那么這一飛行目標被擊落的概率是0.2；假設三人中有兩人擊中，那么這一飛行目標被擊落的概率為0.6；假設三人均擊中，那么這一飛行目標就會被擊落，試求該飛行目標被擊落的概率[4].

B0= “三人都未擊中飛行目標”，

B1-B0= “三人中只有一人擊中飛行目標”，

B2-B1-B0= “三人中只有兩人擊中飛行目標”，

B3-B2-B1-B0= “三人都擊中飛行目標”.

為兩兩互斥事件.由三人射擊的獨立性可得

P(B0)=0.056，P(B1-B0)=0.332，

P(B2-B1-B0)=0.468，P(B3-B2-B1-B0)=0.144，

又有

P(A|B0)=0，P(A|B1-B0)=0.2

P(A|B2-B1-B0)=0.6，P(A|B3-B2-B1-B0)=1.

由定理3可得

P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1-B0)P(A|(B1-B0))+P(B2-B1-B0)P(A|(B2-B1-B0))+

P(B3-B2-B1-B0)P(A|(B3-B2-B1-B0))

=0.056×0+0.332×0.2+0.468×0.6+0.144×1=0.3616.

即飛行目標被擊落的概率為0.3616.

注：本題也可以直接使用定理1中的全概率公式求解.

4 全概率公式在條件概率下的推廣

之前的推廣都是“原因直接產生結果”的模型，但有些隨機事件的結果并非由原因直接導致的，而是由一系列中間變化的過程得到的，求解這類問題實際就是在條件概率下對全概率公式進行推廣.

定理4[5]設(Ω，F，P)為概率空間，B1，B2，…，Bn為一個完備事件組，則對?A1?Ω，?A2?Ω，且P(A1Bi)>0，i=1，2，…，n，有

于是有

定理得證.

注：此定理的詳細說明可參考文獻[5].

顯然，當事件A1與Bi，i=1，2，…，n相互獨立時，有以下推論.

推論設(Ω，F，P)為概率空間，B1，B2，…，Bn為一個完備事件組，則對?A1?Ω，?2?Ω，且A1與Bi，i=1，2，…，n相互獨立，P(A1Bi)>0，i=1，2，…，n，有

例4某工廠為了了解車間的生產情況，從三個車間分別抽取了20，25，30個產品進行檢驗，其中一等品分別為4，5，8個.現隨機選定一個車間的產品，并從中先后不放回地任意選取2個產品.(1) 求第一次取到的是一等品的概率.(2) 已知第一次取到的是一等品，求第二次取到的產品也是一等品的概率.

解：記Ai={第i次取到一等品}，i=1，2；Bj={選取的是第j個車間}，j=1，2，3.

(1)由全概率公式有：

P(A1)=P(B1)P(A1|B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3)=

(2)由題意知

P(A2|A1)=P(B1|A1)P(A2|A1B1)+P(B2|A1)P(A2|A1B2)+P(B3|A1)P(A2|A1B3)=

其實，在有關概率和隨機模型的研究中，凡是涉及到用概率分析的方法，全概率公式幾乎都會被使用.那么能夠靈活使用全概率公式就會為解題提供很大的方便，本文通過幾種推廣形式進一步擴大了全概率公式的使用范圍，使其真正成為我們解決問題的有效工具.