指向高中數學核心素養下的數學概念教學

王禮勇　邵達　陳相友　胡浩鑫

【摘 要】 教師先讓學生充分感受現實世界中周而復始的現象，學生自主抽象出周期函數的定義，并運用邏輯推理辨析概念，教師進一步挖掘定義內涵與外延，幫助學生建構起對周期概念的認識.

【關鍵詞】 概念教學;核心素養;周期性;周而復始;數學抽象;邏輯推理

《普通高中數學課程標準》中指出：“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.” [1]如何上好一堂指向高中數學核心素養下的數學概念教學課，讓學生真正理解概念的內涵、研究對象的要素，引導學生把握數學內容的本質，引發很多一線教師的思考.

近期，筆者有幸代表浙江省參加了第九屆全國高中青年數學教師優秀課觀摩與展示活動，這次參賽的課題是中國教育學會中學數學教學專業委員會自選課題“函數的周期性”，它是以人教A版必修4第一章第四節為藍本，本節課的學習從周期性現象出發，開啟數學學習之旅.筆者對于“函數的周期性”這節課的教學策略進行探討.

1 教學實踐

1.1 情境引入

問題1 現實生活中有哪些周而復始的現象？

數學源于生活，而又高于生活.這節課的引入就從同學們身邊熟悉的課程表開始，用心觀察，生活中處處有數學.為了讓學生充分感受周而復始的現象，在課前安排了數學學習小組查閱相關資料，在課內安排了兩個學生活動：學生舉例;數學學習小組代表上臺進行展示分享.讓學生們了解到大到天體的運行，小到質點的運動，生活、物理、數學中存在大量周而復始的現象.

地球自轉引起的晝夜交替變化;月亮圓缺變化，即朔—上弦—望—下弦—朔;潮汐變化，即海水在月球和太陽引力作用下發生的周期性漲落現象;物體做勻速圓周運動時位置變化的周期性;做簡諧運動的物體的位移變化;交變電流隨時間的變化情況，電流值也是重復出現的.

地球繞日公轉軌道是一個接近正圓的橢圓，每經過一年地球圍繞著太陽轉一周.在一年內，日地距離都在不停地變化中.無論從哪個時刻t算起，經過一年時間，地球又回到原來的位置，所以地球與太陽的距離是周而復始變化的.

循環小數：29=0.2·，39=0.3·，299=0.0·2·，2399=0.2·3·，如2399，小數點后2，3依次重復出現.

水車上A點到水面的距離為y，假設水車5min轉一圈，那么y的值每經過5min就會重復出現，因此距離y隨時間的變化規律是周而復始變化的.

1.2 概念生成

問題2 如何用數學的方法來刻畫現實世界中周而復始的現象？

在小組代表所舉的例子中，選取了三個典型的例子：天體的例子，數學中的例子，生活中的例子.

如何進行數學抽象？

隨著時間的變化，地球與太陽的距離（日地距離）發生變化.在任何一個確定的時刻t，日地距離s是唯一確定的，因此距離s是關于時間t的函數.在現實世界中，借助變量觀點，構造函數s=f（t），進一步借助函數關系式刻畫周而復始的變化規律.地球每經過12個月，又回到原來的位置，在關系式上的表達：f（t+12）=f（t）.

小數點后的第n位的數字作為這個函數的函數值，記作y=f（n）.可寫成分段函數的形式，f（n）=2，n=2k-1，3，n=2k，k∈N.用函數的關系式來刻畫循環小數出現周而復始的現象，即f（n+2）=f（n）.循環小數的循環節的長度為2，自變量每增加2，函數值會重復出現.

水車上A點到水面的距離呈現周而復始的現象，這給我們似曾相識的感覺，當初我們定義正弦函數，就是類似這個背景.正弦函數是以角x為變量，角的終邊與單位圓的交點縱坐標為函數值的函數.選用有向線段MP表示正弦線.

角逆時針方向轉動一圈，正弦函數值重復出現，即自變量增加2π，正弦函數值會重復出現，即正弦線的長度和符號均沒有發生變化.用式子來描述，sin（x+2π）=sinx，x∈R，這也是正弦函數的誘導公式.可以抽象成一般函數的形式：f（x+2π）=f（x）.角繼續逆時針方向轉動或者順時針方向轉動，正弦函數值重復出現，當自變量的值每增加2π的整數倍時，正弦值會重復出現，即sin（x+2kπ）=sinx，x∈R.可以抽象成一般函數的形式：f（x+2kπ）=f（x）.

對于現實世界中的周而復始現象進行數學抽象，與學生共同構造函數，進一步地利用函數關系式，刻畫周而復始的現象.在這一過程中，需要學生用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型，培養學生數學建模素養.

問題3 你能否給出周期函數的定義？

一般地，對于函數f（x），如果存在一個T，滿足f（x+T）=f（x），那么函數f（x）就叫做周期函數，T叫做這個函數的周期.此時學生形成的定義并不完善，與學生共同建構定義.

1.3 概念完善

問題4 你認為這個函數的周期T具有怎樣的要求？

T是非零常數，若T為零，任何一個函數都是周期函數，如果所有函數都是周期函數，研究周期函數失去意義.因此T>0或者T<0，T是常數，不隨x的變化而變化.

問題5 對于f（x+T）=f（x）中的x有無要求，是否只要一個x滿足即可？是否無數個x滿足即可？

舉一個反例即可.回到熟悉的正弦函數y=sinx，x=π6，角x逆時針方向轉動23π，得到關系式fx+23π=f（x），我們知道對于x=π4，fx+23π≠f（x），因此23π并不是函數的周期.同理x=π6+2kπ，無數個x滿足fx+23π=f（x），23π也不是函數的周期.

與學生共同探究常數T的非零性，變量的任意性，至此形成了周期函數的完整定義：一般地，對于函數f（x），如果存在一個非零的常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f（x+T）=f（x），那么函數f（x）就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期.

為了進一步完善對概念的認識，帶領學生研究周期函數對于定義域具有怎樣的要求.

辨析1 函數f（x）=sinx，x∈[0，4π]是周期函數嗎？函數f（x）=sinx，x∈[0，6π]是周期函數嗎？函數f（x）=sinx，x∈[0，+SymboleB@）是周期函數嗎？

不是.假設存在非零常數T0是這個函數的周期，若T0>0，由周期函數定義知f（x+T0）=f（x），當x=4π時，f（4π+T0）=f（4π），此時f（4π+T0）沒有定義.同理T0<0，也不符合.因此函數f（x）=sinx，x∈[0，4π]不是周期函數.

同理，函數f（x）=sinx，x∈[0，6π]不是周期函數.

f（x）=sinx，x∈[0，+∞），此時對于定義域內的每一個x，都有f（x+2π）=f（x）.2kπ是這個函數的周期.

問題6 周期函數，對于定義域應該具有怎樣的要求？為什么？

若函數f（x）是一個周期函數，f（x+T）=f（x），要使得代數式有意義，x∈D（D為函數的定義域），x+T∈D，x+2T∈D，…x+nT∈D（n∈N）.若周期T>0，定義域的右端是無界的;若周期T<0，定義域的左端是無界的.說明函數的定義域至少有一端是無界的.

僅從形式化的定義中，學生很難形成對周期函數穩定而又清晰的理解.從學生熟悉的正弦函數為例，改變函數的定義域，判斷函數是否為周期函數，進一步加深對周期函數概念的理解，為今后判斷函數是否為周期函數提供了視角：研究函數定義域先行，周期函數的定義域至少有一端是無界的.

為了進一步鞏固所學的概念，與學生進行共同辨析.

辨析2 函數f（x）=sinx，x≠0是周期函數嗎？若是，請指出函數的周期.

假設存在非零常數T0是這個函數的周期，由周期函數定義知f（x+T0）=f（x），即f（-T0）=f（-T0+T0），此時f（-T0+T0）沒有定義，因此函數f（x）=sinx，x≠0不是周期函數.我們借助數進行嚴格說明，也可以借助形進行幾何直觀感知.

問題7 對于這個正弦函數f（x）=sinx，x≠0的圖象，能否繼續挖去一些點，使得這個函數成為周期函數？

f（x）=sinx，x≠kπ，k∈Z，此時挖去正弦函數與x軸的交點，此時對于定義域內的每一個x，都有f（x+2π）=f（x）.2kπ（k∈Z）是這個函數的周期.

追問 隱去正弦函數的圖象，留下原先打算挖掉的點，此時函數還是周期函數嗎？

f（x）=0，x=kπ，k∈Z，此時對于定義域內的每一個x，都有f（x+π）=f（x）. kπ（k∈Z）是這個函數的周期.

正例與反例的運用，通過假設、證明等過程，學生對周期函數的概念認識將變得更加深刻，從而獲得有意義的學習.再對正弦函數圖象進行“修補”，建立數與形的聯系，利用圖形判斷數學問題，進一步培養學生的直觀想象素養.

到目前為止，學生已經基本掌握了周期函數的概念，為了進一步檢驗掌握情況，與學生辨析分段函數的周期性問題.

辨析3 請判斷狄利克雷函數D（x）=1，當x是有理數，0，當x是無理數，是否為周期函數，并說明理由.

設r是任意一個非零有理數，當x是有理數時，x+r也是有理數，D（x+r）=D（x）=1;當x是無理數時，x+r也是無理數，D（x+r）=D（x）=0，因此兩種情況下都有D（x+r）=D（x），故D（x）是周期函數，任何非零有理數都是它的周期.

設s是任意一個無理數，當x是有理數時，x+s是無理數，D（x+s）=0，D（x）=1，D（x+s）≠D（x），因此無理數s不是函數D（x）的周期.

學生習慣運用幾何直觀進行判斷函數是否為周期函數，狄利克雷函數無法做出精確圖象，要進一步回歸周期函數的定義，需要借助代數嚴格說明.

與學生共同學習最小正周期的定義：如果在周期函數f（x）的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個正數叫做f（x）的最小正周期.問題8 函數的最小正周期定義中去掉“如果”會怎么樣？

去掉“如果”，意味著周期函數的所有周期中必定存在一個最小的正數，換句話說，周期函數的所有周期中不可能不存在一個最小的正數.

問題9 你能否舉出一個函數是周期函數，但它沒有最小正周期？

學生回答1 D（x）=1，當x是有理數，0，當x是無理數，是周期函數，所有的非零有理數都是它的周期，沒有最小正數，故D（x）沒有最小正周期.

學生回答2 常值函數f（x）=c（c為常數，x∈R）是周期函數，所有的非零實數都是它的周期，沒有最小正數，所以常值函數沒有最小正周期.

學生回答3 f（x）=sinx，x∈（-∞，0），所有的-2kπ（k∈N）是函數的周期，而最小正數是不存在的，所以這個函數沒有最小正周期.

1.4 概念應用

問題10 周期函數f（x）=sinx（x∈R）的最小正周期是什么？為什么？

學生回答1 以下用反證法.假設存在0

學生回答2 以下用反證法.假設存在0

在人教A版的教材中，2π是正弦函數和余弦函數的最小正周期，并沒有給出證明.教參中專門說到：對于學有余力的同學，可以嘗試證明2π是正弦函數和余弦函數的最小正周期.本次授課的對象程度較好，采用有一定難度的反證法，不僅對掌握反證法的思想有好處，也能加深對周期函數概念的理解，因此讓學生嘗試證明.

例 求下列函數的周期：

（1）f（x）=sin2x; （2）g（x）=2sin12x-π6，x∈R.

問題11 你認為上述求函數y=Asin（ωx+φ）; y=Acos（ωx+φ）周期的方法能否推廣到求一般周期函數的周期上去？即命題：“如果函數y=f（x）的周期是T，那么函數y=f（ωx）的周期是Tω（ω>0）”是否成立？

設非零常數T0為f（ωx）的周期，則f（ω（x+T0））=f（x），即f（ωx+ωT0）=f（ωx），，對任意實數x都成立.也就是f（u+T）=f

（u），對任意實數u都成立，其中u=ωx.由于f（u）的最小正周期為T，可知ωT0=T，即T0=Tω，所以函數y=f（ωx）的周期是Tω（ω>0）.

在教材例2后，教科書設置了一個“思考”，讓學生歸納正弦型和余弦型函數的周期與解析式中的哪些量有關.教材的“探究與發現”里，給出了代數解釋，并提出一個“思考”，引導學生將三角函數得到的結論推廣到一般函數.運用歸納，從特殊函數到一般函數，理解事物之間的關聯，把握知識結構，培養學生邏輯推理能力.

1.5 課堂小結

這節課我們從現實生活中周而復始的現象抽象出函數周期性的概念，同時我們不斷圍繞函數的周期性概念，思辨了函數的周期性問題，這正如一位數學家所說的：

2 教學思考

2.1 數學抽象與邏輯推理緊密結合

指向高中數學核心素養下的概念教學，教師應該努力揭示數學概念的本質，讓學生主動經歷概念完整的抽象過程：觀察事物、想象結構、分析要素、歸納特征，并將抽象出的特征概括到同一類事物中去.本節課緊扣教學參考的要求，通過學生舉例和數學學習小組課前查閱，讓學生們充分感受現實世界中周而復始的現象，感受數學來源于生活;引導學生進行數學建模，得到事物的共同特征，并對這一類問題進行數學抽象，抽象出周期函數的本質屬性;把數學抽象和直觀想象的主動權交給學生，讓學生初步建立概念，進一步完善概念;并運用邏輯推理進行概念的辨析，學生對概念的認識將變得穩定而又清晰.在運用周期函數這一概念解決問題時，逐步養成學生能論證命題，掌握證明的基本形式.因此，本節課中學生積累了從具體到抽象的活動經驗：從周而復始的現象到周期函數，再從周期函數推廣到一般函數.本節課合理地將數學抽象與邏輯推理能力的培養融入到課堂教學之中，更是設置了一些學生自主思考，學生展示等交流平臺，充分挖掘了本節課的思維深度與廣度.

2.2 問題探究與信息技術有機結合

波利亞說過：“學習任何知識的最佳途徑都是由自己去發現，因為這種發現理解最深刻，也最容易掌握其內在規律、性質和聯系” [2].指向高中數學核心素養下的概念教學，應確立學生在學習中的主體地位，倡導自主學生、合作學習、探究體驗式學習.因此，本節課特別注意以學生為主體，讓學生舉例、學習小組代表展示（課前查閱周而復始現象的資料），在利用代數式刻畫周而復始的變化規律時，借助幾何畫板，回顧正弦函數的定義，充分體會蘊含在其中的數形結合的思想方法;不斷地設置問題串，辨析函數是否為周期函數，又借助幾何畫板直觀感知，進一步加深對周期函數這一概念的認識;運用高拍儀展示學生思考成果，充分展示學生的思維過程，又在不斷的設問中，對概念的認識進一步升華;在概念辨析時，運用正例與反例，借助幾何直觀與代數論證，給予思想方法的指導.問題探究與信息技術有機融合，可以更加深刻地理解和構建概念、落實概念的相關元素、運用概念解決同類事物，幫助學生更好地揭示數學本質，逐步提升數學核心素養和思維水平.

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2] 郭秋秀.怎樣讓學生自己發現問題[J].吉林教育（教研），2011 （4）.

作者簡介

王禮勇（1987—），男，中教一級，主要從事數學教育與數學解題研究，先后獲得2017年浙江省高中數學優質課一等獎、第九屆全國高中數學青年教師優秀課展示獎.