年號數(shù)2020是數(shù)字和變換下的黑洞數(shù)嗎

文[1]證明了“2019是數(shù)字和乘168后再加上3變換下的黑洞數(shù)”，那么年號數(shù)2020還是數(shù)字和變換下的黑洞數(shù)嗎？本文予以探討.

設(shè)A是一個正整數(shù)，把A的所有數(shù)位上數(shù)字的和（以下簡稱“A的數(shù)字和”）乘9后再加上1984，得到B.我們把從A到B的過程叫作A的f變換，記作f（A）=B.對B繼續(xù)作f變換，得到f（B）=C;對C繼續(xù)作f變換，……，那么，A經(jīng)過有限次f變換后有什么結(jié)果呢？

定義 f1（A）=f（A），f2（A）=f（f1（A））， f3（A）=f（f2（A）），…，fk+1（A）=f（fk（A））.

f1（1）=f（1）=1×9+1984=1993，f2（1）=f（f1（1））=f（1993）=22×9+1984=2182，f3（1） =f（f2（1））=f（2182）=13×9+1984=2101，f4（1）=f（f3（1））=f（2101）=4×9+1984=2020，f5（1）=f（f4（1））=f（2020）=4×9+1984=2020.

f1（2）=f（2）=2×9+1984=2002，f2（2）=f（f1（2））=f（2002）=4×9+1984=2020.

f1（3）=f（3）=3×9+1984=2011，f2（3）=f（f1（3））=f（2011）=4×9+1984=2020.

猜想 對于任意正整數(shù)A，A經(jīng)過有限次f變換后最終為2020.

證明 設(shè)ai∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}，用A=a1a2…an=∑ni=1ai×10n-i表示由a1、a2、…、an組成n位正整數(shù)（以下同）.

那么A-f（A）=∑ni=1ai×10n-i-9∑ni=1ai+1984=∑ni=1ai×（10n-i-9）-1984.

當(dāng)A>9999時， A-f（A）=∑n-5i=1ai×（10n-i-9）+9991an-4+991n-3+91an-2+an-1-8an-1984≥9991-8×9-1984=7935.

所以當(dāng)A>9999時A-f （A）≥7935.

（1）一一驗(yàn)證，當(dāng)1≤A≤9999時，A經(jīng)過有限次f變換后最終為2020.

當(dāng)1≤A≤9999時，1≤A的數(shù)字和≤9+9+9+9=36，由f （A）=9∑ni=1ai+1984知，B的可能值為：9k+1984（k=1、2、3、…、36）.B≤9×36+1984=2308，B的數(shù)字和<2+9+9+9=29，由B=9k+1984知B除以9的余數(shù)是4，可知B的數(shù)字和除以9的余數(shù)也是4，小于29且除以9的余數(shù)是4的數(shù)只有4、13、22，B的數(shù)字和為4、13、22，所以C=9×k+1984（k=4、13、22）.

當(dāng)k=4時，C=9×4+1984=2020;

當(dāng)k=13時，C=9×13+1984=2101，f（2101）=9×4+1984=2020;

當(dāng)k=22時，C=9×22+1984=2182，f（2182）=9×13+1984=2101，f（2101）=9×4+1984=2020.

可見，當(dāng)1≤A≤9999時，A經(jīng)過有限次f變換后最終為2020.

（2）推證當(dāng)A>9999時，A經(jīng)過有限次f變換后最終為2020.

由“當(dāng)A>9999時A-f （A）≥7935”知：如果fk（A）>9999時，則fk（A）-fk+1（A）≥7935.

如果f1（A）=f（A）≤9999，由（1）的一一驗(yàn)證可知，經(jīng)過有限次f變換后得到2020;如果f1（A）>9999，那么對f1（A）繼續(xù)作f變換得到f2（A）.f2（A）

如果f2（A）≤9999，由（1）的一一驗(yàn)證可知，f2（A）經(jīng)過有限次f變換后得到2020;如果f2（A）>9999，那么對f2（A）繼續(xù)作f變換得到f3（A）.f3（A）

……

如果fk（A）≤9999，由（1）的一一驗(yàn)證可知，fk（A）經(jīng)過有限次f變換后得到2020;如果fk（A）>9999，那么對fk（A）繼續(xù)作f變換得到fk+1（A）.fk+1（A）

A=a1a2…an是一個給定的A>9999的整數(shù)，fk+1（A）<fk（A）<…<f3（A）<f2（A）<f1（A）<A，如果fj（A）>9999，則fj（A）-fj+1（A）≥7935，可見A作有限次f變換總能使fk+1（A）≤9999，由（1）的一一驗(yàn)證可知，A經(jīng)過有限次f變換后得到2020.

可見，當(dāng)A>9999時，A經(jīng)過有限次f變換后得到2020.

由（1）及（2）知，對于任意正整數(shù)A，A經(jīng)過有限次f變換后最終為2020.

由此，我們得到一個真命題：

命題 設(shè)A是一個正整數(shù)，把A的數(shù)字和乘以9后再加上1984，得到B.我們把從A到B的過程叫作A的f變換，記作f （A）=B.對B繼續(xù)作f變換，得到f（B）=C;對C繼續(xù)作f變換，……，那么，A經(jīng)過有限次f變換后最終為2020.

2020是所有數(shù)位上數(shù)字的和乘9后再加上1984變換下的黑洞數(shù).

年號數(shù)2021、2022、2023、…等還是數(shù)字和變換下的黑洞數(shù)嗎？筆者對2020到2049這30個數(shù)經(jīng)過觀察特例、歸納猜想、推理證明得到：

2020+10k（k=0、1、2）是所有數(shù)位上數(shù)字的和乘9后再加上1984+k變換下的黑洞數(shù).2021+10k（k=0、1、2）是所有數(shù)位上數(shù)字的和乘9后再加上1976+k變換下的黑洞數(shù).

2022+10k（k=0、1、2）是所有數(shù)位上數(shù)字的和乘9后再加上1968+k變換下的黑洞數(shù).

2023+10k（k=0、1、2）是所有數(shù)位上數(shù)字的和乘9后再加上1960+k變換下的黑洞數(shù).

2024+10k（k=0、1、2）是所有數(shù)位上數(shù)字的和乘9后再加上1952+k變換下的黑洞數(shù).

2025+10k（k=0、1、2）是所有數(shù)位上數(shù)字的和乘9后再加上1944+k變換下的黑洞數(shù).

2026+10k（k=0、1、2）是所有數(shù)位上數(shù)字的和乘9后再加上1936+k變換下的黑洞數(shù).

2027+10k（k=0、1、2）是所有數(shù)位上數(shù)字的和乘9后再加上1928+k變換下的黑洞數(shù).

2028+10k（k=0、1、2）是所有數(shù)位上數(shù)字的和乘9后再加上1920+k變換下的黑洞數(shù).

2029+10k（k=0、1）是所有數(shù)位上數(shù)字的和乘6后再加上1951+4k變換下的黑洞數(shù).

2049是所有數(shù)位上數(shù)字的和乘135后再加上24變換下的黑洞數(shù).

參考文獻(xiàn)

[1] 王凱成.有趣的2019[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（初中版），2019（12）：47-48.

[2] 王凱成.數(shù)字和變換下的黑洞數(shù)探秘[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（高中版），2018（5）：69-70.

[3] 王凱成.數(shù)字和乘以99變換下的黑洞數(shù)及猜想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（9）：61-62.

[4] 王凱成.數(shù)字和變換下的黑洞數(shù)再探[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（高中版），2018（11）：63-64.

作者簡介

王凱成（筆名王凱），陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系七七級，教授，全國優(yōu)秀教師，教育部第三批國培計(jì)劃專家?guī)鞂＜?，曾憲梓獎獲得者，全國初等數(shù)學(xué)研究會常務(wù)理事，第六屆中國幻方研究協(xié)會普及教育部副部長，陜西省中小學(xué)教師隊(duì)伍建設(shè)專家指導(dǎo)委員會、陜西省首批中小學(xué)教師培訓(xùn)評估專家?guī)斐蓡T，在省級及以上刊物發(fā)表論文188篇.近年被全國多所師范院校邀請給小學(xué)數(shù)學(xué)國培班作專題講座.