追求“四主”的數學教學

余業兵　張曉斌　李忠如

1 從一次課堂上的尷尬談起

事情發生在2010年，筆者在高三（高2011級）一輪復習習題講評課上.

例題 （2009年湖北黃岡中學模擬題） 已知不等式a-2x>x-1對任意x∈0，2恒成立，則實數a的取值范圍是（）.

A.（-∞，1）∪（5，+∞）B.（-∞，2）∪（5，+∞）

C.（2，5） D.（1，5）

選A選B選C選D合計

頻數68人31人7人6人112人

頻率60.7%27.6%6.3%5.3%100%

當時學生做的情況很糟糕，只有31人選B，正確率27.6%，很多人選了A.

講評如下：

師：x∈[0，1）時，不等式顯然恒成立，故問題等價于不等式對于x∈[1，2]恒成立.

所以有a-2x>x-1或a-2x<1-x對x∈[1，2]恒成立，即：a>3x-1或a<1+x對x∈[1，2]恒成立，

所以：a>5或a<2.（對自己講解的答案很自信，完全沒有料到好些個學生不服氣，生1直接站了起來）.

生1：老師，問題是我覺得我選A沒錯啊.

師：你說說看（不大相信）.

生1：你不是說“f（x）>g（x）f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）”嗎！

所以問題等價于a-2x>x-1或a-2x<1-x對x∈[0，2]恒成立啊！

即：a>3x-1或a<1+x對x∈[1，2]恒成立，所以a>5或a<1， 這樣就該選A（對自己的解答很自信）.

師：……好像也沒有什么問題啊……（心里發慌了，后悔備課時沒有考慮全面，只有出絕招了）有知道的嗎？（看沒有人出聲）留作課后思考，想到的有獎哈……

教后反思 尷尬造成的原因是“f（x）>g（x）f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）”雖是正確的，但卻不一定是化簡后的最終結果.比如：不等式“|x|>-x”雖等價于“x>-x或xa（a∈R）”的解集有三類：①a>0時，不等式的解集為xx>a或x<-a;②a=0時，不等式的解集為xx≠0;③a<0時，不等式的解集為R.簡單地講不等式“|x|>a（a∈R）x>a或x<-a”并進一步把它推廣到 “f（x）>g（x）f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）”顯然容易讓學生產生混淆，歸根結底還是教師自己理解不到位，講解不到位造成的.

2 講清楚后仍然困惑

有了這次失敗的講解后，新的一屆（高2015級）講解新課和一輪復習時我特別注意這個知識的講解，一輪復習教學片段如下：

問題 “|x|>a（a>0）x>a或x<-a”，如果把“a>0”改為“a∈R”還等價嗎？

生：是等價的，因為當a=0時，“|x|>0” 和“x>0或x<-0”都表示的是“x≠0”;當a<0時，“|x|>a”的解集是R， 而從數軸上看“x>a或x<-a”的范圍也是R啊！

師：非常好，那在a<0時，它是最簡形式嗎？

生：不是，應該是R.

師：非常好，那不等式x-1>a的解集是{xx>1+a或x<1-a}嗎？

生：不對吧，應該要分三種情況寫吧.

師：很好，最終的答案必須是化簡后的結果.

追問 “f（x）>g（x）”與“f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）”等價嗎？

生：等價吧，因為“|x|>a”與“x>a或x<-a”對于a∈R都是等價的，這當然是等價的.

師：很好，你能解不等式1-2x>x-1嗎？到黑板上把它寫下來.

生：原不等式等價于1-2x>x-1或1-2x<1-x，故解集為-∞，23∪0，+∞.

例1 解下列不等式

（1）3x-1x+1;（3）x-1

講解略.

改進后的效果：學生的作業我也布置了同樣的一道題，滿以為效果會很不錯，正確率雖有一定提高（正確率35.6%），卻還是不理想.具體如下：

教后反思 雖然這次在新課和一輪復習時都把這個知識講清楚了，學生也在老師精心設置的問題引導下，認識到了知識的本質，但由于知識本身有一定的難度和深度，教師的啟發式講解雖層層遞進、邏輯嚴密，卻顯得平淡而常規，學生的思維活動雖然到達，卻不夠深刻，尤其是對于“雖然等價卻不是最簡”的體會僅限于知道而未形成能力，更談不上在充分掌握的基礎上遷移應用了.

3 追求“四主”的數學課堂教學

毫無疑問，積極主動的學習狀況下，學生的潛力更能得到充分發揮，能夠更好地獲得知識，具有更高的學習效率.筆者以為數學課堂應追求“四主”，即 “主動參與數學活動、主動發展高級數學思維、主動感悟數學文化、主動積累數學思考的經驗”.這樣的數學教學需要教師通過巧設合理的數學情景，激發學生自覺地參與到數學活動中，積極思考、主動感悟、有效積累，高效地獲取數學知識.既然如此，如何激發就成為了教學成功與否的關鍵.筆者在反思的基礎上，基于如何激發學生“四主”的前提下，對前面文中的教學重新設計，取得了不錯的教學效果，現將教學過程記錄如下（高2018級）：

案例 一個絕對值不等式的推廣

環節1 設置巧合，激發學生主動探究

師：上堂課我們學習了絕對值不等式的解法，誰能告訴我下列不等式的解集嗎？

（1）|3x-1|<-1;（2）|-2x|>1;（3）|x-1|<0;（4）|2x|>-2.

問題1 不等式|x|>a和|x|

生：“|x|>a”的解集有三類：①a>0時，不等式的解集為{xx>a或x<-a};②a=0時，不等式的解集為{xx≠0};③a<0時，不等式的解集為R，同樣，“|x|

師：這樣在a>0時就有以下兩個等價式子：

（1）|x|>a（a>0）x>a或x<-a;（2）|x|0）-a

學生紛紛點頭，表示贊同.

追問1 解不等式3x-1>1-x，并把解答過程寫在草稿紙上.

（教師巡視，尋找到產生巧合的解答后利用希沃助手在一體機上進行展示）

解答1 略.（分x>1、x<1、x=1三種情況討論得解集為{x|x>12或x<0}）

解答2 略.（分x≥13、x<13兩種情況討論得

解集為{x|x>12或x<0}）

解答3 不等式等價于3x-1>1-x或3x-112，

所以解集{x|x>12或x<0}.

師：這三種解答答案，它們的過程都是對的嗎？

生1：解答1、2都沒問題，3錯了.

師：為什么呢？

生1：不是“|x|>a（a>0）x>a或x<-a”需要a>0嗎？

師：也就是解答3是認為“|x|>a（a∈R）x>a或x<-a”算出了同樣的答案，難道只是巧合……

生1：不會可以推廣吧？

師：要不咱們再來算一個2x-1>2-x，1～5組用解答1的方法，6～9組用解答3的方法.

生：答案一樣啊，應該是必然.（很驚喜自己的發現）

師：有誰可以告訴我為啥嗎？

生2： a=0時，|x|>a是{xx≠0}，x>a或x<-a也是{xx≠0}啊; a<0時，等價符號兩邊也都是R.

師：你的發現很有價值，“|x|>a（a∈R）x>a或x<-a”仍然是成立的，解答三也是正確的，也就是 “f（x）>g（x）”與“f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）”是等價的，這為我們解決這樣的不等式帶來了方便.

設計意圖 在復習已有知識的基礎上，在學生對知識的記憶還不是很到位時，利用學生未正確使用所學知識解不等式“3x-1>1-x”時產生答案上的巧合，制造懸疑“巧合還是必然”，使知識呈現出明顯的懸而未決的狀態，瞬間激起了學生探究的欲望，從而達到促使學生主動參與、主動思考的目的，使得等價不等式被學生輕松地予以推廣.

環節2 制造矛盾，激發學生主動深入

例2 解下列不等式

（1）3x-1x+1;（3）x-1>a2-a.

對于（3），部分學生會因為利用推廣輕松解答（1）（2）產生的思維慣性而犯錯，而部分學生因為對推廣前的分類討論很熟練而得到正確的答案，教師即時將兩種解答展示在希沃一體機上.

解答1 由于x-1>a2-ax-1>a2-a或x-1

所以原不等式的解集是x∈（a2-a+1，+∞）∪（-∞，a-a2+1）.

解答2 按a2-a與0的關系分三種情況討論，結果如下：

①a>1或a<0時，不等式的解集是x∈（a2-a+1，+∞）∪（-∞，a-a2+1）;②a=0或a=1時，不等式的解集為

{xx≠1};③0

師：這是什么狀況（故作神秘狀），剛才不是說用兩種方法解3x-1>1-x都可以嗎？這兒為啥答案會不一樣呢？“|x|>a（a∈R）x>a或x<-a”不是正確的嗎？

生：我知道了，解答1結果不是最簡的！比如當0a2-a+1或x

師：一般地講呢？對于“|x|>a（a∈R）x>a或x<-a”你有什么看法

生：是等價的，但不是最簡的.“x>a或x<-a”化簡后應該分三種情況：①a>0時，不等式的解集為{xx>a或x<-a};②a=0時，不等式的解集為{xx≠0};③a<0時，不等式的解集為R.

師：他道出了使用這個等價條件需要特別小心的地方，一定要檢驗是不是最簡的.

設計意圖 在學生充分體會利用推廣后的等價條件帶來便利的同時，思維的慣性與定勢也就在學生腦海里產生了，不同思維層次的學生在解不等式（3）時也就產生了完全不同的答案，這樣，學生的現有認知和即時情境的結果就產生了不一致，在其心理上就會產生認知沖突，就會產生一種急切地想要知道結果的強烈欲望，從而有效激發學生的主動深入思考，使其主動探究得到 “雖等價卻不是最簡”這一高級知識成果也就順理成章了.

環節3 錯解展示，激發學生主動鞏固

例3 已知不等式m-3x<2x-4對任意x∈[1，3]恒成立，求實數a的取值范圍.

選一個錯解展示在希沃一體機上，如下：

解 m-3x<2x-44-2x

所以（4+x）max

師：這位同學的解答正確嗎？

生1：不對，這兒有隱含條件x∈（2，3]，所以m=6.

師：我感覺他使用的等價條件沒有錯啊，算出的答案應該對呀！

生2：我知道了，“4+x

①當4+x<5x-4即x>2時，有（4+x）max

②當4+x≥5x-4即x≤2時，不等式不成立，m∈.

綜上所述：m=6.

設計意圖 教師利用了學生初學時“雖知道卻不能靈活應用”的特點，設置一個易錯題目，題目的隱藏條件使得“答案的錯誤”很容易被發現，從而有效激發學生主動探究“知識運用的錯誤”，既鞏固了所學知識，又發展了學生的高級數學思維，使學生對知識的認識更加深刻.

環節4 設問順化，激發學生主動積累

問題 “|x|>a（a∈R）”與“x>a或x<-a”等價嗎？ “|x|>a（a∈R）”的解集是“{xx>a或x<-a}”嗎？

生1：“|x|>a（a∈R）”與“x>a或x<-a”是等價的，但不等式“|x|>a（a∈R）”的解集卻不一定是“{xx>a或x<-a}”，因為它不是最簡的形式，應該分三種情況：（略）.

設計意圖 通過兩個隱含“知識發現過程”的問題引起學生主動回顧，既是對新知識的鞏固，也是對舊知識更為深刻的反思與認識，從而達到“新知納入舊知”后的順化，使得學生在回味精彩發現過程的同時，思考和探究的經驗在其頭腦中也就深深地扎根了.

“四主”教學后的效果：學生的作業我也布置了同樣的一道題，雖然還是有部分學生選了A，正確率卻明顯提高（正確率78.9%）.教學取得前所未有的成功.具體如下：

3 對 “四主”數學教學的思考

前面所述的教學實踐表明，教學的效果跟學生學習的方式有很大的相關性.如果學生的學習是被動接受式的，學生獲取知識的效率是相對較低的，學生思考的深度是相對不夠的，思維得到的鍛煉是相對有限的，數學活動經驗的借鑒性是不大的.這就要求我們轉變教學觀念，追求“四主”，通過精心的教學設計，化學生的被動參與為主動參與、被動思考為主動思考、被動感悟為主動感悟、被動積累為主動積累，提高學生學習的效率，發展高級數學思維與感悟數學文化，幫助學生獲取高質量的數學知識.

學生是否達到“四主”的關鍵在于如何激發學生參與思考的興趣，激發的關鍵在于設置怎樣的教學情境，以此來獲取學生對數學活動積極的意識傾向與情緒反應.就筆者看來，大家不妨從以下四個方面進行思考：一是可以通過實物展示、生活再現、表演體會、語言描述、音樂渲染等多種方式設置合理的數學知識情境;二是可以融入蘊含豐富的數學文化;三是設置懸疑，通過突出不同尋常的數學問題情境并延緩披露底細，使其呈現明顯的懸而未決的狀態;四是借助數學知識內部規律制造矛盾沖突，包括原有知識不能解釋的一些新現象、原有性質定理在更寬泛的范圍內不總是成立、學生知識結構中的盲點或易錯點帶來對同一問題結果的不一致等.當然影響學生“四主”的因素有很多，學生即時的情緒與思維活動也相當復雜，要想做到更好，唯有不斷地學習、實踐與反思.追求“四主”的數學教學實踐永遠在路上.

參考文獻

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[3] 方飛.順應學生的心理特征，培養學生學習興趣[M].北京：基礎教育理論研究成果薈萃，505.

作者簡介

余業兵（1979— ），男，重慶北碚人，中學數學高級教師，西南大學附屬中學高中數學教研組長，西南大學卓越中學教師培養計劃師元班碩士研究生校外實踐導師，重慶市高中數學市級骨干教師，主要從事高中數學教學研究和解題研究，多篇論文發表.