例談數形結合法巧求三角形面積的范圍

劉海珍　劉秀萍

三角形的面積問題是高考中的一類重點問題，屬于解三角形問題中比較難的題型，運用常規解法有時運算量大，耗時長.下面舉例說明數形結合法巧解三角形面積的范圍問題.

1 知一角及其對邊型

例1 （2014年全國新課標Ⅰ理16）已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為.

分析 首先把2替換為a，等式的兩邊角化邊，得到（a+b）（a-b）=（c-b）c，整理得c2+b2-a2=bc，從而根據余弦定理求得A=π3.

常規解法 根據余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，得4=b2+c2-bc，再利用重要不等式

b2+c2≥2bc，得bc≤4（當且僅當b=c時等號成立）.所以S△ABC=12bcsinA≤3.數形結合 已知一邊及其對角則三角形的外接圓確定，直徑為433，如圖1.

由圖可知在保持a=2，A=π3的情況下，A點可在優弧BC上任意移動（點B、C除外），當點A與圓心的連線與BC垂直時，三角形的高最長，面積最大，此時三角形恰好是等邊三角形，所以三角形的面積最大為3.

變式 把三角形變為為銳角三角形，其它條件不變，求△ABC面積的范圍.

由圖2可知△ABC面積的最大值不變，當∠ACB或∠ABC等于90度時，面積取到臨界值1，所以△ABC面積的范圍是

（1，3].

總結 知一邊及對角的三角形，其外接圓確定，這個三角形唯一的動頂點在其外接圓的相應的優弧或劣弧上運動，由此引起的很多三角形中的最值范圍問題，都可以通過數形結合法解決.

2 知一角及其鄰邊型

例2 （2019年高考全國Ⅲ卷理數）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知

asinA+C2=bsinA.

（1）求B;

（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

分析 常規解法：（1）略.

（2）由題設及（1）知B=60°，△ABC的面積S△ABC=34a.

由正弦定理得a=csinAsinC=sin（120°-C）sinC=

32cosC+12sinCsinC=

32tanC+12.

由于△ABC為銳角三角形，故0°33，故12

因此，△ABC面積的取值范圍是

38，32.

數形結合

如圖3，由題意知點C在射線BM（B點除外）上運動.保持∠B=π3，c=1不變，因為△ABC為銳角三角形，先考慮臨界的情況（即△ABC為直角三角形時）.當AC⊥BM時，△ABC的面積取到最小值的臨界值為38，當AC⊥AB時，△ABC的面積取到最大值的臨界值為32.所以△ABC面積的取值范圍是38，32.

總結 知一角及鄰邊的三角形，其唯一的動頂點在角的另一條邊上運動引起三角形中一些量如面積、周長等范圍的改變，通過數形結合的方法這些范圍問題都可以輕松的解決.

3 三角形中的綜合問題

例3 在△ABC中，∠BAC=60°，點D在線段BC上，且BC=3BD，AD=2，求△ABC面積的最大值.

分析 常規解法：記角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則BD=a3，

DC=2a3.

在△ABC中，利用余弦定理，可得a2=b2+c2-bc.①

再利用cos∠ADB+cos∠ADC=0，可得a2=b22+2c2-18.②

由①②可得18=b22+2c2+bc≥3bc，即bc≤6，等號當且僅當b22=2c2即b=2c時成立，此時△ABC的面積取得最大值332.

數形結合 如圖4，過點B作AC的平行線交AD

的延長線于點E.

則△BDE相似于△CDA.所以DEDA=BDCD=12.又

因為AD=2，所以DE=1，AE=3，因為∠BAC=60°，所以∠ABE=120°.

在△ABE中，知一邊AE及對角∠ABE，同例1其外接圓確定，直徑為23，

所以當BA=BE時，△ABE的面積最大為334.

又S△ABC=32S△ADC=6S△BDE=2S△ABE，所以

△ABC的面積的最大值為332.

變式 此題若改為求△ABC面積的范圍，則常規解法難以描述清楚，若采用數形結合法，則容易看出當點B接近于點E或點A時，△ABC的面積接近于0，所以△ABC的面積的范圍是0，332.

總結 有些三角形中的綜合問題，可以創造條件轉化為前兩種基本題型.

總之，直觀想象能力是數學學科六大核心素養之一，運用數形結合的方法解決問題既是解決問題的需要也是培養直觀想象能力的一個重要途徑，需要我們從平時的教學中深入挖掘素材，不斷地探索研究.