高考試題中數學文化運用水平分析

金月丹　張維忠

【摘 要】 基于對數學文化內涵的理解，借鑒相關研究形成對高考試題中數學文化運用水平分析的理論框架，對近5年高考試題中的數學文化運用水平進行統計分析.研究發現：近5年高考試卷中數學文化的運用水平總體較高，超過六成的試題為不可分離型，各類數學文化類型運用水平最高的是公共生活類，數學史的運用水平較低，數學與生活、數學與人文藝術、數學與科技等文化類型中有相當比例為可分離型的運用水平.

【關鍵詞】 高考試題;數學文化;運用水平

數學除了知識技能及應用以外，更重要的是它本身就是一種文化[1].《普通高中數學課程標準（2017年版）》把“注重數學文化的滲透”和“引導學生感悟數學的文化價值”作為基本理念之一[2].《2017年普通高考考試大綱修訂內容》中明確提出數學學科“增加數學文化”的考查要求[3].彰顯數學文化的命題在高考中尤為重要，但在目前高考試題中，把數學文化的考查等同于用數學史料等包裝數學文化的情況較為普遍，這不僅難以達到對數學文化的真正考查，還會在無形之中增加學生的學習負擔[4].為此，圍繞高考數學是“如何滲透數學文化的”這一問題，對近5年高考試題進行統計分析與討論，以期為我國的高考數學試題編擬和教學資源的開發提供啟示與借鑒.

1 分析框架

將數學文化的運用水平作為衡量高考數學是“如何滲透數學文化”的指標.沈春輝等按數學史與數學知識的相關程度將數學史的運用水平分為點綴式、附加式、復制式、順應式、重構式五種類型，基于de Lange的研究將其他類型的數學文化運用水平分為外在型和內在型兩種類型，其中內在型又分為可分離型和不可分離型[5].不少研究者借此分析框架研究數學課程教學中的數學文化，但此框架未將數學史與其他數學文化的運用水平統一.而后唐恒鈞等對試題中數學文化的運用水平統一為附加型和整合型兩種方式，其中整合型進一步細分為可分離的數學文化和不可分離的數學文化兩種[6].

在此基礎上，本文將數學文化的運用水平分為附加型、可分離型、不可分離型三個依次上升的水平.其中，“附加型”指數學文化素材僅以圖片、語言等方式附加在試題的外圍，除去這些文化素材不會影響學生對問題的解決.比如2018年全國卷Ⅱ理題8提供了數學家陳景潤以及哥德巴赫猜想的素材，但刪去這些文化素材不影響學生解答在不超過30的素數中隨機選擇兩個數其和為30的概率.“可分離型”指用數學解決數學問題，數學文化是一層外衣，所解決的問題是人為地強加于文化素材之上的.比如2015年江蘇卷題5呈現形狀大小相同的4只球，要求學生回答隨機摸出2只顏色不同球的概率.“不可分離型”指數學文化是試題的有機組成部分，可以用文化理解數學，或用數學解決文化中固有的問題.比如2018年上海卷題19結合實際情況創設自駕群體的人均通勤時間模型，要求學生分析這一函數模型闡述其實際意義.

2 研究設計

2.1 研究對象

將全國卷、北京卷、浙江卷、江蘇卷、上海卷、天津卷近5年的文理科高考數學試題作為文本分析對象，即2015—2019全國卷Ⅰ（文理）、2015—2019全國卷Ⅱ（文理）、2016—2019全國卷Ⅲ（文理）、2015—2019北京卷（文理）、2015—2016浙江卷（文理）、2017—2019浙江卷、2015—2019江蘇卷、2015—2016上海卷（文理）、2017—2019上海卷、2015—2019天津卷（文理）一共67份試卷.全國卷涉及的省份廣，北京卷、浙江卷、江蘇卷、上海卷、天津卷堅持自主命題，已逐漸形成自身的命題特色.對它們進行研究，有利于較為全面地明晰我國當前數學文化在高考試題中的滲透情況，提高考試題中數學文化的運用水平.2.2 分析過程

在統計過程中，需遵循以下操作標準：首先，按以數學文化元素與高考試題的設置為共同的分析單元，即試題中出現不同的數學文化元素分別計數，同一數學文化元素出現在不同試題中也分別計數.其次，當一道試題中包含若干小題，仍記為一道并選擇最高的運用水平作為此題的分類.

數據的分析由兩位數學教育研究者分別按照數學文化運用水平的分類說明對近5年高考試題獨立編碼，對比分析結果，對其中不一致的條目討論達成一致意見.

3 研究的結果與討論

據統計，近5年有關數學文化的試題有168道（數學文化尚無統一標準，本文結合《2017年普通高考考試大綱修訂內容》以及數學文化的廣義定義，通過詳細的文本分析將數學文化界定為數學史、數學與生活、數學與科技、數學與人文藝術等.這168道試題中出自數學史的試題15道;出自數學與生活的試題120道;出自數學與科技的試題17道;出自數學與人文藝術的試題16道.）

按照分析框架對168道試題進行統計分析，得到試題中數學文化的運用水平情況，如圖1所示.

總體上，數學文化運用水平較高，以不可分離型為主，為112道，占66.67%.即試題要求學生回答的問題往往是情境中固有的，這類問題的確存在于生活中，具有實際意義并不是人為強加的.其次是可分離型，為48道，占28.57%，這類問題往往是為了解決某個問題人為強加數學文化背景.當然，也有試題是附加型，占4.76%，其數學文化運用水平最低，僅完成了數學文化融入試題的表面要求.

3.1 附加型

數學文化運用水平為附加型的試題共8道，8道試題的數學文化背景均為數學史，占數學史試題總量的53.33%.具體如下：

從表中可以發現，近5年每年都有數學史運用水平為附加型的試題，其中有3道出自數學名著，3道出自數學家，2道出自數學名題，說明數學史內容類型對運用水平影響不大.這8道試題對學生的文化素養要求幾乎沒有，對學生的認知水平要求不高，學生在理解數學知識的基礎上只需機械性地使用程序即可解題.比如2018年浙江卷題11，命題專家將試題置于數學著作《張邱建算經》中的“百雞問題”中，可以說試題具有明顯的數學史特征.而實際解決的問題是解二元一次方程組，與史料之間并無太大關系，相互之間可以分離，甚至去掉《張邱建算經》中的百雞問題，將試題改成已知三元一次方程組

x+y+z=100，5x+3y+13z=100，

當z=81時，x= ，y=也不影響學生的解答.再如，2015年全國卷Ⅱ理題8，出現在試題中的“更相減損術”是求最大公約數的有效方法，滲透著中國古人的智慧.試題要求學生回答輸入a=14，b=18后輸出的a等于多少，對于大部分不知道“更相減損術”但理解程序框圖的學生依然能得到正確答案，因此試題沒有很好地考查此算法的精妙之處.又或者2019年浙江卷題4提到的“祖暅原理” ，這個原理是淺顯易懂的，《人教A版》教材中第30頁的閱讀材料上也有專門的介紹，但是試題并未考查到祖暅原理的有關內容，若刪去題干對“祖暅原理”的介紹直接要求學生根據三視圖求該柱體的體積也不影響學生的解答.

可見，數學史的運用水平以中、低水平為主，這一方面不能很好地落實高考對數學文化命題的理念——通過試題引導學生提高人文素養、傳承民族精神、樹立民族自豪感.另一方面無法讓學生感受到數學扎根于文化，又推動文化的發展.如何提高數學文化運用水平尤其是數學史的運用水平仍有待研究.

3.2 可分離型

數學文化運用水平為可分離型的試題共48道，其中44道試題的數學文化背景為數學與生活，約為數學與生活試題總量的三分之一，這說明要進一步優化生活素材的運用水平.進一步分析發現，公共生活類試題運用水平較高，以不可分離型為主，而個人生活中有超過七成屬于可分離型.

其中一部分試題文化素材缺乏新意，比如2015年江蘇卷題5摸球情境、2016年江蘇卷題7擲骰子情境、2018年全國卷Ⅰ理題15挑選學生參加比賽情境等等.這些背景素材未能結合社會發展的熱點問題.背景材料僅僅掩飾數學問題，現實生活中幾乎不需要解決此類問題，數學與文化相分離.可以發現這些“可分離型”試題往往以“計數原理與排列組合”為數學知識載體，將“計數原理與排列組合”知識與文化更好地關聯是提高試題中數學文化運用水平的一個途徑.關于“計數原理與排列組合”，在數學歷史上，丹尼爾伯努利提出著名的“裝錯信封問題”，大數學家歐拉也曾研究過它.在命制試題時，命題專家也可嘗試去挖掘這方面的數學史內容融入試題中.

相比較而言，2017年全國卷Ⅰ理題12緊扣國家對“大眾創業、萬眾創新”的要求，選擇的“大學生軟件激活碼”這一素材新穎生動，與學生生活貼近，體現數學的趣味性，對即將步入大學校園的學生起著引導作用，但在現實生活中不會設置如此復雜的激活碼.試題要求解決的該款軟件的激活碼問題是強加的，因此運用水平仍不高.

運用水平為可分離型的試題大多將數學與生活關聯，運用水平仍不高主要是因為用情境來掩飾數學問題，僅僅要求學生用數學知識解決處于情境的數學問題，這和所選擇的文化素材缺乏真實、自然、合理有關.

3.3 不可分離型

這類試題的數學文化運用水平最高，從統計圖中可以看到，四類數學文化類型的試題中均有不可分離型，其中占比最多的是數學與生活類試題，這與數學與生活類試題本身的數量遠遠高于其它三類有一定的關聯.適當地增加數學文化高考題，提高試題中數學文化的運用水平，有助于學生把握數學本質，培養學生的理性精神.

數學文化是數學學科的一個有機組成部分，數學文化運用水平高的試題注重文化與數學知識的有機結合，注重體現其思維的本質內涵.如2019年北京卷理題6以天文學中對天體明暗程度的刻畫為背景，融合數學知識、物理知識、地理知識，較好地體現了數學是基礎科學的基礎，在其他領域發揮著重要作用.2019年全國卷Ⅱ理題16融入中華傳統文化——金石文化，給予了幾何體真實背景，具有濃厚的文化氣息.試題要求學生根據題干，憑借直觀想象能力將空間問題轉化為平面問題，學生在解決此題的過程中，不僅能感受到幾何體的對稱美，而且能感受到這種美在解決問題中的重要力量.

運用水平高的試題善于創設真實情境，樹立價值引領.如2019年北京卷文題14，以大學生創業這一與學生緊密聯系的情境設計問題，素材源于社會生活，源于真實情境，讓學生感受到美好生活不僅需要智慧，更要通過勞動來創造.2019年全國卷Ⅰ理題4通過黃金分割的介紹以及對著名雕像維納斯的舉例，試題要求學生將黃金分割應用到對個人身高的估計中，這與近幾年數學文化情境的設置、內容的選擇相比有很大的創新.試題給學生美的體驗的同時，引導著學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界.

另外，一些試題可能題干更長一點，但題目不難，注重靈活性，體現出高考試題從“能力立意”到“素養導向”的過程.如2015年全國卷Ⅰ理題19，信息豐富且呈現形式多樣，關注學生對非連續性文本的閱讀能力，要求學生運用已有的數學知識和經驗將現實問題“數學化”.2018年全國卷Ⅱ文理題18用圖表呈現環境基礎設施投資額變化，要求學生從兩個不同的模型計算出結果的同時能比較出更加可靠的預測值，靈活地考查了學生的數學建模素養.

一道“好”的數學文化試題，應當具有高運用水平的特點，有研究表明，當前數學文化教學存在“低應用”的現象[7]，引起這一現象的重要原因之一就是數學試題，特別是高考試題中的數學文化運用水平不高.上述試題可以為后續命題者命制優秀試題與廣大一線教師進行數學文化教學提供借鑒.

4 研究的結論與啟示

基于近5年高考數學試題中數學文化運用水平的分析，可得出如下結論：

（1）數學文化運用水平總體較高，不可分離型占66.67%，可分離整合型占28.57%.各類數學文化類型運用水平最高的是公共生活類，約八成的公共生活類試題達到不可分離型，其數學文化內容更真實、自然、合理，運用水平相對較高.

（2）數學史的運用水平較低，有8道（共16道）以數學史為背景試題的運用水平為附加型.數學與生活、數學與人文藝術、數學與科技等文化類型有相當比例為可分離型的運用水平，文化與試題的結合有待進一步深化.