在數學“規矩”下解題

張羽　于世章

高考數學的考試時間是兩個小時，規定時間內，考生要完成22個必做題（8個單選，4個多選，4個填空，其中一個是一題2空，6個解答題）的解答，這對每一位考生來說都是不小的挑戰.面對滿分150分，平均每4分鐘對應分值為5分的高考試卷，僅有“速算競賽”一樣的心態是遠遠不夠的，面對突然出現的“熟題”與“生題”，必須有解決數學問題的“硬功夫”，“硬功夫”指什么呢？就是數學“規矩”.如認真審題、規范書寫、清晰表述、卷面整潔、敘述條理、格式完整等都是數學“規矩”.筆者據多年教學經驗，就數學的“硬功夫”怎么煉成，怎么在數學“規矩”下解題，談談自己的看法.

規矩1 解題過程要講“規矩”

數學和語文一樣，應在規矩下講話.數學解題過程，其實就是數學“規矩”的呈現過程，也就是數學解題過程要求的格式.如：例1 函數f（x）=x2-32xemx在區間（1，+∞）上是增函數，求實數m的取值范圍.分析 按數學“規矩”來說，解決此類問題，就這樣幾句話幾個步驟：因為函數f（x）=x2-32xemx在區間（1，+∞）上是增函數，所以f′（x）=mx2-32m-2x-32emx≥0在區間（1，+∞）上恒成立，即mx2-32m-2x-32≥0在區間（1，+∞）上恒成立，然后按部就班的求解即可，這就是數學“規矩”，該要的步驟，該講的“規矩”是不能省略的.

解 因為函數f（x）=x2-32xemx在區間（1，+∞）上是增函數，所以f′（x）=mx2-32m-2x-32emx≥0在區間（1，+∞）上恒成立，

即mx2-32m-2x-32≥0在區間（1，+∞）上恒成立.

當m=0時，f（x）=x2-32x=x-342-916，顯然在區間（1，+∞）上單調增，所以m=0適合題意.

當m≠0時，m>0，m-32m+2-32≥0，

所以m>0，m≤1，所以0

綜合以上兩種情況，實數m的取值范圍為0≤m≤1.

這是高考常涉及的題型.常用的解題方法：一是分離參數，二是轉化成常見的二次函數.無論采用什么方法求解，解題的規范性時刻不能忘記，該講的“規矩”還是要講.

規矩2 胸中有“數”，“形”中化難

高中數學《課程標準》中提到的核心素養就有數形結合，解題過程中怎樣才能做到“數”和“形”的結合呢？想明白之后你會頓悟，就是兩種語言的相互翻譯，把符號語言用圖形語言直觀表現出來，然后再把圖形語言翻譯后用符合語言表述出來，從而完成解題的整個過程，這就是數學“規矩”.舉例來說：

例2 m取何值時，方程x2-32xex+x2-2x-m=0有兩個根？一個根？無根？

分析 咋看上去題目有一定難度，讓人一下無從下手，找不到問題解決的突破口在哪里.若將原方程變形為x2-32xex=-x2+2x+m，問題就簡單了許多.本是方程問題，轉化一下，就成為函數問題.

在一同坐標系中，畫出函數y=x2-32xex和y=-x2+2x+m的圖象，根據圖象不難得出結論.

解 f′（x）=x2+12x-32ex，令f′（x）=0，解得x1=-32，x2=1，當x變化時，f′（x）和f（x）變化狀態如下：

在同一坐標系中畫出函數y=-x2+2x+m的圖象（略），得到結論：

當m+1>-e2，即m>-1-e2時，方程有兩個實數根;

當m+1=-e2，即m=-1-e2時，方程有1個實數根;

當m+1<-e2，即m<-1-e2時，方程沒有實數根.

由此可見，問題的解決過程，就是數學“規矩”的再次呈現過程，因為講了數學“規矩”，才能把看似有難度的題目解決掉.規矩3 難化易 大化小 生化熟

數學中講究等價轉化，實際上就是把難題轉化為容易題，大題轉化為小題，生分的題目轉化為熟悉的題目來解決，這就是數學的“規矩”，許多看似一籌莫展的題目，在數學的“規矩”下就能迎刃而解.如例2就是把不熟悉的問題，轉化成兩個熟悉的函數問題得以解決，下面再舉一例：

例3 設函數f（x）=alnx+x-1x+1，其中a為常數，討論函數f（x）的單調性.

分析 這是導數中常見問題，也是高考中常考題型，解決起來有一定難度.但若講數學“規矩”，在“規矩”下把難化易、大化小、生化熟，求解起來就方便很多.不仿先求導函數，然后尋求突破：

f′（x）=ax+2（x+1）2=ax2+（2a+2）x+ax（x+1）2，考慮到函數的定義域，導函數的分母是恒正的，只需圍繞分子上的函數

g（x）=ax2+（2a+2）x+a來解答問題即可.就是在這樣的數學“規矩”下，完成了難化易、大化小、生化熟的轉化過程，從而使問題得解.

解 函數f（x）定義域是（0，+∞），f′（x）=ax+2（x+1）2=ax2+（2a+2）x+ax（x+1）2.當a≥0時，f′（x）>0，函數在（0，+∞）上單調遞增;當a<0時，令g（x）=ax2+（2a+2）x+a，由于Δ=（2a+2）2-4a2=4（2a+1）.

①當a=-12時，Δ=0，f′（x）=-12（x-1）2x（x+1）2≤0，函數在（0，+∞）上單調遞減;

②當a<-12時，Δ<0，g（x）<0，f′（x）<0，函數在（0，+∞）上單調遞減;

③當-120，設x1，x2（x1

由x1=a+1-2a+1-a =a2+2a+1-2a+1-a>0，所以x∈（0，x1）時，g（x）<0，f′（x）<0，函數f（x）單調遞減;x∈（x1，x2）時，g（x）>0，f′（x）>0，函數f（x）單調遞增;x∈（x2，+∞）時，g（x）<0，f′（x）<0，函數f（x）單調遞減.綜上可知，當a≥0時，f′（x）>0，函數在（0，+∞）上單調遞增;

當a≤-12時，函數在（0，+∞）上單調遞減;

當-12

高考中的導數問題，往往就是通過這種途徑解決.所以，講數學“規矩”對解題是很有幫助的.

規矩4 由抽象到具體

有時，數學問題解決起來頗感不易，主要是數學的抽象性所致，若能把抽象的問題變成具體的問題，解決起來會容易很多. 這就是數學“規矩”.

例4 已知函數f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f（x）的導數f′（x）>12，則不等式f（x2）

A.（-∞，-1） B.（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪[1，+∞）D.（-1，1）

分析 題目屬于抽象函數問題.而與抽象函數有關的不等式，又是高三學生比較頭疼的問題.關鍵在于如何把抽象問題具體化，讓學生切實看得見摸得著，從而化解難點解決問題.這就需要講“規矩”：已知條件f′（x）>12是怎么來的呢？能找滿足條件的具體函數嗎？

解 設F（x）=f（x）-12x，F′（x）=f′（x）-12，

因為f′（x）>12，所以F′（x）=f′（x）-12>0，所以F（x）在R上單調遞增，因為f（x2）

解決數學問題，確實需要講數學“規矩”，把抽象問題具體化，是數學“規矩”下重要的解題策略.

數學的“規矩”還有很多，真心希望同學們能在數學的“規矩”下，鍛造成“出色的解題者”.

作者簡介 于世章（1962—），男，山東定陶人，中學數學正高級教師.全國模范教師，山東省特級教師，山東省首批正高級教師，省優秀教師，省教師出版基金杯2013年度創新人物（教師系列）提名獎，省課程團隊專家;青島市專業技術拔尖人才，青島市名師主持人，“國培計劃”專家庫成員，全國數學科學方法論數學哲學研究委員會副秘書長，青島市中小學教師培訓專家講師團成員，青島大學數學與統計學院專業學位研究生校外導師，第一屆全國全日制教育碩士學科教學（數學）專業技能大賽（決賽）評委，發表論文40余篇，專著《在學生的心靈中旅行》第一輯由中國書籍出版社出版，第二輯由中國海洋大學出版社出版.