司機-起重機-軌道系統動力學建模與分析

辛運勝,董 青,戚其松

(太原科技大學機械工程學院,太原 030024)

人體舒適性研究主要方法是人體振動的測量和主觀感受的評價，在很多領域都有廣泛應用，例如：汽車、航天、高速列車等。由于起重機的質量較大、缺乏懸架減振系統和軌道缺陷等因素的存在，操作過程中的機械振動不可避免[1]。起重機動力學研究中，文獻[2-5]研究了吊運過程中吊重的擺動，將系統簡化成雙擺振動模型，通過反饋控制措施消除吊重的振動。劉華森等[6]分析欠驅動門式起重機吊重擺動系統并建立了二自由度耦合擺動模型，通過仿真計算研究吊具質量、擺線長度以及小車運行速度等參數對吊重擺動的影響；強寶民等[7]分析啟動與制動過程中門式起重機吊重擺動，并在Simulink中進行系統建模仿真，得出負載在擺動過程中使系統產生了水平慣性載荷作用的結論；任會禮等[8-9]建立了吊重擺動三維非線性模型，分析了在起重機起升和降落運行中吊重的動力學特性，結果表明鋼絲繩的長度、起升速度和激勵力頻率對吊重擺動系統影響較大。

前人動力學分析研究中充分考慮了起重機的結構特點，但所建立的模型中并未涉及司機的振動舒適性，而起重機司機持續工作時間長，長期職業性接觸全身振動(WBV)導致罹患腰椎疾病與神經系統疾病的風險顯著提高[10-11]。在軌道缺陷作用下，曹妃甸事故起重機運行過程中不僅主梁產生了疲勞破壞，而且司機感受到強烈不舒適。

在起重機設計和分析中鮮有將司機振動舒適性作為考慮的主要因素。為此，提出考慮司機振動舒適性和軌道缺陷的起重機動力學模型，并根據拉格朗日法建立系統振動微分方程，通過精細積分法求解司機的振動響應，最后分析軌道缺陷和運行速度對大車和司機振動影響。

1 司機-起重機-軌道系統模型

起重機帶載或空載運行于具有一定彈性、接頭處有間隙或高低錯位的鋼軌上時，發生的垂直沖擊動力效應取決于結構形式、運行速度、車輪直徑及軌道接頭狀況[12]。基于司機-起重機-軌道系統的振動模型中應該體現這些因素對系統振動影響[13]。建立起重機振動系統如圖1所示物理模型。

圖1 司機-起重機-軌道系統振動模型Fig.1 The vibration model of hoistman-crane-rail system

1.1 系統模型描述

1.2 振動模型假設及模型合理性分析

在研究軌道缺陷對起重機司機產生影響時，考慮產生振動的主要因素、忽略次要因素，為簡化系統振動模型和求解過程做以下假設。

(1) 各部件簡化成質量塊、且各質量塊在平衡位置做微幅振動。

(2) 起重機大車速度始終保持不變。

(3) 大車運行中，每個車輪所通過的軌道缺陷均相同。

(4) 主梁運行軌道除高低缺陷外，其他位置無缺陷。

(5) 系統中的剛度與位移、阻尼與相應速度均呈線性關系。

現有的起重機設計目標僅追求起重機性能，而缺乏對司機和環境的考量，基于人-機-環系統的起重機設計目標從單一到多極、從片面到全面，體現了起重機設計對環境的適應性、人體的舒適性和起重機的高效性。因此，基于人-機-環視角的起重機設計思想將提升起重機設計質量和水平，具有重大的理論意義和工程參考價值。

1.3 軌道高低缺陷模型

軌道缺陷會引起起重機的強烈振動并使車輪與軌道發生強烈接觸而出現啃軌現象[14]，這不僅會降低車輪和軌道的使用壽命，也會對金屬結構產生重大影響。某企業生產的起重機在曹妃甸地區運行過程中由于地基沉陷軌道出現了大約30 m長的嚴重啃軌距離。由于大車軌道的原因，大車快速運行時顛簸比較大，司機感覺強烈的不舒適。軌道缺陷現場實拍如圖2所示，軌道缺陷所造成的大車輪緣的磨損現場實拍如圖3所示。

圖2 軌道缺陷現場實拍圖Fig.2 Actual photo of rail defects at the scene

圖3 大車車輪磨損現場實拍圖Fig.3 Actual photo of cart wheel wear at the scene

地面、軌道缺陷對設備的作用主要通過不平度函數[15-16]模擬車輛所受到的激勵。

《起重機：載荷和載荷組合的設計原則：第一部分：總則》(ISO 8686—1:2012)[17]中采用圖4模擬車輪通過軌道缺陷的情況，軌道缺陷所引起的前后輪垂直位移ξi(t)可近似按照圖5所示的正弦、余弦規律變化的函數計算。圖4為車輪剛好車輪與軌道缺陷接觸和完全越過軌道缺陷兩個狀態，其中hs為軌道高低缺陷大小，r為大車車輪半徑，es為車輪軸心到接觸點之間距離。圖5為車輪過軌過程不平度函數模擬，起重機通過軌道缺陷包含軌道沖擊和沖擊結束自由振動兩個階段，ξi(t)為不平度函數，t為時間，ts1為軌道沖擊時長，ts2為沖擊結束后自由振動時長。

圖4 車輪運行過程示意圖Fig.4 Movement of wheel centre

圖5 不平度函數Fig.5 Unevenness functions

當車輪越過接頭高低缺陷處時，車輪所承受位移激勵的近似不平度函數ξi(t)可表示為

(1)

上述情況得到的不平度函數ξi(t)為起重機車輪在軌道上運行所產生激勵力的來源。由式(1)可以看出，不平度函數ξi(t)取決于軌道缺陷hs和軌道激勵頻率ωs。

1.4 系統運動方程

廣義坐標表示的二階微分方程即為第二類拉格朗日方程，拉格朗日方程是解決具有完整約束的質點系動力學問題的普遍方法，對離散質點系統尤為適用，而且也可以很好地建立動力學非線性問題的運動方程。因此，根據非保守力下的拉格朗日方程和司機(起重機(軌道振動系統廣義坐標，可得到與廣義坐標相同數目的振動方程，即：各個集中質量(大車、小車、司機室、座椅、吊重和司機)Y方向的振動微分方程、大車繞X、Z方向的轉動微分方程以及小車繞Z方向轉動微分方程。

大車Y方向振動微分方程可表示為

(2)

小車Y方向的振動微分方程可表示為

(3)

司機室Y方向的振動微分方程可表示為

(4)

座椅Y方向的振動微分方程可表示為

(5)

吊重Y方向的振動微分方程可表示為

(6)

司機Y方向的振動微分方程可表示為

(7)

大車繞X軸轉動微分方程可表示為

[k1(a1-a2)(b1+b2)+k2(b7-b8)(a7+a8)-

a3b3k3]θ2+[c1(a1-a2)(b1+b2)+c2(b7-b8)×

(8)

大車繞Z軸轉動微分方程可表示為

(9)

小車繞Z軸轉動微分方程可表示為

(10)

式(2)～式(10)為9個相互獨立的微分方程，整理微分方程組并寫成矩陣形式：

(11)

2 系統振動響應求解方法

基于Lagrange體系的直接積分法求得的數值解有時會受到積分步長大小的影響，求解精度也會受到一定影響，當數值解計算精度要求很高時，該方法計算結果只能近似展示出系統響應。除了上述直接積分法外，還可以通過精細積分法求解二階動力學方程的近似解。

2.1 精細積分法原理

(12)

(13)

式(12)的解的形式包括其對應的齊次方程解{uh}和特解兩部分{ut}，可分別表示為

{uh(t)}=exp(Ht)u0

(14)

(15)

因此，根據微分方程通解的求解方法，式(12)的通解形式可表示為

(16)

在結構動態響應求解過程中，時間積分步長為Δt，則第k個步長的積分時間點tk=kΔt，在k～k+1，將式(16)進行離散化可表示為

{u(tk+1)}=exp(HΔt){exp(Htk)u(tk)+

(17)

因此，令G(Δt)=exp(HΔt)，整理式(17)可得最終tk+1時刻的動態響應可表示為

{u(tk+1)}=G(tk)u(tk)+

(18)

通過數值計算方法可求得式(18)中矩陣G(tk)只需要求得G(Δt)即可，為了精確計算G(Δt)，可以將時間積分步長Δt等分成n=2N個時間段，N為正整數具體計算方法如下。

首先定義：

τ=Δt/n

(19)

依據式(19)的定義方式，狀態轉換矩陣可表示為

(20)

在式(20)中對G(τ)應用截斷的泰勒級數展開，則G(τ)可近似表示為

G(τ)=exp(τH)≈I+Ga0

(21)

式(21)中：

(22)

式(22)中：p為指數函數eτH泰勒級數展開式的階數。

將式(21)代入式(20)中可得：

G(Δt)=(I+Ga0)n=(I+Ga0)2N

(23)

根據矩陣計算原理及式遞推關系可得：

[I+GaN]=[I+Ga,N-1]2=…=[I+Ga0]2N=[G(τ)]

(24)

在G(Δt)求解過程中依據式(22)截斷泰勒級數展開式近似計算，選取典型情況下N=20且n=1 048 576時，可得到τ=10-6Δt，由于計算機計算精度的限制，單位矩陣不應該包括遞歸計算過程中。因此，Gai的計算方法如依據式(25)所示：

Gai=2Ga,i-1+Ga,i-1Ga,i-1

(25)

實際上，如果加載方式是線性分段，定義時不變向量r0和r1，則第二項積分與式(26)所示的單個函數積分等價。

r(τ)=r0+(τ-tk)r1

(26)

將式(26)代入式(18)中可得積分公式為

{u(tk+1)}=G(Δt)[u(tk)+H-1(r0+H-1r1)]-

H-1(r0+H-1r1+r1Δt)

(27)

2.2 系統振動求解流程

通過精細積分法求解系統振動響應的主要計算流程如下。

(1)根據式(11)計算質量矩陣M、阻尼矩陣C、剛度矩陣K和逆矩陣M-1。

(2)計算方程中的系數矩陣，并依據式(12)和式(13)計算矩陣H和向量r。

(3)輸入軌道缺陷信息，如高低缺陷大小和輪軌沖擊順序等；輸入系統動力響應計算所需的控制參數，如大車運行時間、大車速度以及精細積分法的控制參數等。

(4)給定t時刻動態響應并將各部件振動響應(速度、位移和加速度)初值設為0。

(5)初始化線性加速度的斜率并根據式(21)和式(22)選取參數p=5計算得到參數Ga0。

(6)設置時間積分步長Δt和線性積分數N，通過式(23)～式(25)計算指數矩陣G(Δt)，G[Δt(1-ξ1/2)]，…，G[(Δt(1-ξn/2)]等。

(7)根據式(27)計算t+Δt時刻各個集中質量的動態響應。

(8)將上述計算過程進行迭代計算最終得到起重機大車和司機的振動時域響應。

3 工程應用

以某企業生產的100/40 t-28.5 m鑄造起重機為例分析軌道缺陷和大車運行速度對大車、人體振動所產生的影響，參數取值如表1所示，以下從大車運行速度和軌道缺陷兩個方面分析起重機大車、司機的振動響應。

表1 起重機振動系統參數取值[12]Table 1 Parameter values of crane vibration system

3.1 起重機大車的運行速度影響

在軌道缺陷恒定時，選取高低錯位hs=6 mm，分析不同大車運行速度下，軌道缺陷所產生的沖擊對起重機大車振動的影響。圖6為不同運行速度下軌道缺陷時大車振動時域響應。從圖6中可以看出，運行速度對大車振動加速度的幅值影響不大，在hs=6 mm時大車向上的沖擊加速最大值為3.7 m/s2，該結果與實際沖擊值相近。

圖6 不同運行速度下大車振動的時域響應Fig.6 Time domain responses of crane cart vibration at various velocities

在高低缺陷hs=6 mm、速度為0.5～2 m/s的情況下，人體振動響應如圖7所示。從圖7中可以看出，運行速度為0.5 m/s時比其他運行速度時人體振動加速度峰值略大，當速度為1.0、1.5、2.0 m/s時加速度峰值相差很小。這是因為在大車運行速度為較小(0.5 m/s)時，車輪與軌道缺陷作用時間較長，系統振動延遲性相對較小；而當運行速度較大時，由于沖擊時間很短，系統振動延遲性明顯。另外，加速度瞬時值較大的區域出現在起重機輪組1 發生沖擊的過程中，這是由于司機室距離輪組1 距離最近，與實際人體感受情況相一致。

圖7 不同運行速度下人體振動的時域響應Fig.7 Time domain responses of human body vibration at various velocities

3.2 軌道缺陷大小影響

運行速度恒定時(v=1 m/s)，分析兩種不同軌道缺陷下，起重機軌道缺陷對人體振動加速度時域響應、功率譜密度的影響。當高低缺陷hs分別為2、4、6、8 mm時，大車和人體振動時域響應的計算結果如圖8、圖9所示，對人體振動時域響應進行功率譜變換可得人體振動頻域響應(圖10)。

圖8 不同軌道高低差下的大車振動加速度時域響應Fig.8 Time domain response of crane cart for various rail steps

圖9 不同軌道高低差下的人體振動加速度時域響應Fig.9 Time domain response of human body vibration for various rail steps

圖10 不同軌道高低差下人體的功率譜密度Fig.10 Power spectral density of human body for various rail steps

從圖8中可以看出，高低缺陷對大車振動影響明顯，軌道高低缺陷越大，大車振動越強烈。當hs=8 mm 時，大車向上的振動加速度甚至達到了6.6 m/s2，沖擊載荷系數為1.67，該計算結果與現場測試結果吻合。軌道高低缺陷越大起重機所承受沖擊作用越大，因此在軌道安裝時要嚴格控制安裝產生的高低誤差，減小環境因素對軌道的破壞，降低軌道缺陷大小不僅可以提高起重機使用壽命，而且可以降低司機的身體損傷、提高工作舒適性。

由圖9、圖10可知，hs對人體振動加速度影響很大。當hs=8 mm時，人體最大加速度達到3.7 m/s2，人體振動的功率譜密度值為0.36 m2/s3；而當hs=2 mm時，人體最大加速度僅為0.5 m/s2，人體振動功率譜密度為0.01 m2/s3。對比兩組數據可以看出，軌道高低缺陷大小對人體振動的影響明顯。在頻率為7.6 Hz時人體振動最為強烈，符合人體對頻率敏感為4～8 Hz的實際情況。

4 結論

綜合考慮了起重機金屬結構特點，并在系統中考慮司機振動舒適性，建立了系統振動微分方程，并通過精細積分法求解微分方程的解，并分析了起重機大車運行速度和軌道高低缺陷對起重機和司機振動的影響，得出以下結論。

(1)提出基于司機-起重機-軌道系統動力學模型，該模型中考慮司機振動的舒適性，為起重機設計中人機分析提供理論參考。

(2)運行速度對大車振動加速度的幅值影響不明顯，而運行速度較小時人體振動加速度峰值略大，當速度為1.0、1.5、2.0 m/s時加速度峰值相差很小。

(3)軌道高低缺陷是起重機產生沖擊的主要原因，在軌道安裝時要嚴格控制安裝產生的高低誤差，減小環境因素對軌道的破壞，從而降低司機的身體損傷、提高工作舒適性。

(4)軌道高低缺陷增大使人體振動線性增加，在頻率為7.6 Hz時人體振動最為強烈。