基于分形理論的巖體原生節理分布特征研究
——以長河壩水電站為例

胡德茂,吳發名,李洪濤*,姚 強,紀杰杰

(1.四川大學水利水電學院，水力學與山區河流開發保護國家重點實驗室，成都 610065；2.中國三峽建設管理有限公司，成都 610000)

巖體內部縱橫交錯著大量形態不同、產狀各異的以原生節理為主的結構面，這些結構面彼此相互切割，形成天然巖塊和破碎軟弱帶，降低了巖體的完整性和連續性，也影響著最終的爆破效果及塊度構成[1-3]。目前，中外研究巖體原生節理的分形特征以及特征參數概率分布的文獻較少。因此結合數學統計方法和分形理論，研究原生節理特征參數概率分布模型及分形特征，對工程質量評價及爆破塊度預測等方面有重要意義。

Mandelbrot[4]在對不規則海岸線尺度特征進行描述時首次提出分形的概念；隨后，該理論很快應用到結構面分形特征的描述上，如結構面粗糙度[5]、裂隙模擬[6]、巖體質量評價[7]等。張繼春等[8]、Poulto等[9]、Chelidze等[10]研究發現，結構面的跡長、間距、密度、隙寬和規模等空間分布參數，在無標度區間內具有良好的統計自相似性，表明巖體結構面的空間幾何特征及其分布網絡具有分形特征。Zhan等[11]基于建立的單分形維數和多分形維數，提出采用分形指標來描述結構面產狀分布特征。黃國明等[12]、丁多文[13]、劉建國等[14]等結合工程案例，研究了節理分布網絡的分形特征，探討了分形維數D與結構面發育程度的關系；秦四清等[15]、盛建龍等[16]、劉艷章等[17]研究了巖體節理分形維數的大小與結構面質量好壞之間的關系，提出了采用分形維數D作為定量指標對巖體的工程質量進行等級劃分的觀點；李立辰等[18]考慮到傳統方法的不足，提出表征分形維數的概念，將表征分形維數與傳統有效性指標的分組效果進行比較。

前人研究結果表明，巖體結構面的空間分布網絡及其幾何特征參數均具有分形特征，中外學者已經將分形理論成功應用于巖體的結構面產狀分布描述和工程質量評價等領域。基于此，依托長河壩水電站江咀料場、響水溝料場以及雙江口河口料場，開展現場節理調查統計，分析跡長和傾角的分布形式；基于盒維數計算方法得出結構面分布的分形維數D，討論分形維數D與節理巖體工程質量的關系。研究結果可以為分形理論在巖土工程質量評價以及后期節理巖體的爆破塊度預測等方面，提供重要的工程參考價值。

1 巖體結構面特征測量

1.1 工程概況

長河壩水電站位于四川省康定市，為大渡河干流水電梯級開發的第11級電站，壩高240 m。筑壩所需材料主要來源于上游的響水溝石料場和下游的江咀石料場。兩個石料場的巖石種類分別為堅硬的花崗巖和閃長巖，石料鉆孔效率低、爆破單耗高，直接開采和破碎生產較為困難。

1.2 現場節理特征調查

參照國際巖石力學學會推薦的巖體不連續面定量描述方法[19]，分別對長河壩江咀料場、響水溝料場結構面Ⅳ級原生節理的跡長和傾角等要素進行測量。根據測線法工作原理，通過垂直拍照對兩個石料場的爆破臺階面展開節理調查統計，調查區域及取樣面結構特征分別如圖1所示。

圖1 江咀和響水溝料場節理調查區域Fig.1 Joint investigation area in Jiangzui and Xiangshuigou quarry

從圖1可以看出，江咀料場比響水溝料場的節理發育程度高，裂隙多，因此巖體更為破碎。將采樣面照片導入CAD中，描繪該范圍內的節理跡線分布網絡并進行編號，結果如圖2所示。江咀料場、響水溝料場的取樣面大小分別為15.0 m×10.0 m、12.0 m×9.0 m，統計節理的傾角和跡長等各項參數，統計結果如表1、表2所示。

圖2 江咀、響水溝料場取樣面節理分布網絡Fig.2 Joint distribution network of sampling surface in Jiangzui and Xiangshuigou quarry

表1 江咀料場取樣面節理統計成果

表2 響水溝料場取樣面節理統計成果

2 結構面參數的概率分布模型

研究結構面幾何參數的概率分布形式，是描述不確定性結構面隨機分布特征的主要內容。目前國內外已有的研究結果表明，巖體結構面的特征參數主要服從正態、對數正態、均勻以及負指數等四種概率分布形式[20]。

2.1 概率分布模型確定

對于某一組特定的樣本資料，應從已知的概率密度函數中選擇合理并且實用方便的概率分布形式。采用SPSS統計軟件，結合Q-Q圖原理，對長河壩江咀料場、響水溝料場取樣節理面的傾角和跡長的概率分布模型進行分析，計算結果如表3所示。

表3 長河壩水電站料場節理參數的概率分布模型統計

從表3中可以看出，江咀料場和響水溝料場取樣節理面的傾角、跡長分別服從正態和對數正態分布。這與汪小剛等[21]的研究結果一致，表明取樣面節理信息的調查結果具有一定的準確性與可靠性。

2.2 統計特征參數確定

對于概率分布模型而言，在確定了其概率分布函數F(x)的形式后，還要計算其相應的統計特征參數，如均值μx、標準差σx等。確定統計參數比較常用的方法有極大似然法和最小二乘法兩種。極大似然法具有比較明確的統計意義[22]，其目標是使得似然函數獲得極大值；而最小二乘法則是要使擬合的概率分布函數最為接近實際數據的分布直方圖[23]，工程上這兩種方法的計算結果可互相佐證。采用上述方法得到江咀料場和響水溝料場巖體結構面參數的分布直方圖分別如圖3、圖4所示。

圖3 江咀料場巖體結構面參數分布直方圖Fig.3 Histogram of rock mass structure surface parameter distribution in Jiangzui quarry

圖4 響水溝料場巖體結構面參數分布直方圖Fig.4 Histogram of rock mass structure surface parameter distribution in Xiangshuigou quarry

圖3、圖4是長河壩水電站江咀料場和響水溝料場傾角和跡長調查資料直方圖，按照最小二乘法擬合得到均值和標準差統計結果如表4所示。

表4 均值、標準差計算結果

3 結構面分布的分形特征

3.1 盒維數法簡介

目前巖體結構面分維數常采用的測定方法是碼尺法與盒維數法[17,19]，采用盒維數法對巖體結構進行分維數的測定，方法如下。

盒維數的計算是一個不斷取極限的過程，當小盒子的邊長r→0時所定義的分形維數。實際求分形維數的過程中，盒子的邊長只能取有限個。因此使用該方法求分形維數的一般步驟如下。①采用邊長為的盒子來覆蓋分形圖案，假設所需要的非空盒子數為N(r)；②縮小盒子的尺寸，重復步驟①，便可得到一系列r-N(r)的散點數據；③當r→0時，便可得到盒維數法所定義的分維數：

(1)

式中：D為分形維數；r為小盒子的邊長；N(r)為非空盒子數。

針對平面分形圖案，則可采用邊長為r的正方形網格來覆蓋，所需的非空網格數記為N(r)，通過改變r的大小，便可得到一系列r-N(r)，在lgr-lgN(r)所示的雙對數坐標上作出散點關系圖，用最小二乘法求出該散點圖的擬合直線，則直線斜率的絕對值即為分維數D。

3.2 節理分布的分形特征

江咀料場和響水溝料場原生節理的跡長服從對數正態分布，而對數正態分布屬于冪律分布，近似于分形結構[12]。根據盒維數法，對江咀料場以及響水溝料場節理分布網絡，采用一系列邊長為r的正方形網格，按照相似比δ=(1/2)n(n=1～5)去逐級劃分該節理分布網絡的每一條邊，得到在每個相似比下與節理跡線相交的各級正方形網格的數量N(r)，然后在雙對數坐標下作r-N(r)的散點圖，擬合結果如圖5所示。其中測度r1=0.312 5～5 m，r2=0.187 5～3 m。

圖5 取樣面節理分布網絡的N(r)-r雙對數曲線Fig.5 Double logarithmic curve of N(r)-r of sampling surface joint distribution network

從圖5可以看出，N(r)與r在雙對數坐標中表現出良好的線性關系，且線性相關系數分別高達0.967、0.970，表明在該測度范圍內，江咀料場和響水溝料場原生節理的跡線分布符合分形特征，分形維數D分別為1.315、1.275。

綜合江咀料場和響水溝料場節理分布網絡的分形計算結果可知，巖體結構面分布的分形維數D與結構面的發育程度及巖體的工程質量密切相關。即結構面越發育，分形維數D就越大，巖體的工程質量也就越差。例如，江咀料場節理分布的分形維數D=1.315，大于響水溝料場節理分布的分形維數D=1.275，根據現場節理測量結果，江咀料場節理調查面的節理裂隙發育程度明顯高于響水溝料場，江咀料場巖體的破碎程度也相對更高，巖體的工程質量也相對更差。因此，可以建立結構面分布的分形維數D與巖體質量的工程等級之間的映射關系，從而實現對巖體性質的定量評價。

3.3 斷層分布的分形特征

為了進一步驗證在不同調查尺度范圍內巖體結構面分布的分形維數D與結構面的發育程度及巖體工程質量之間的關系，進一步研究了雙江口水電站河口料場斷層系的分形特征。

圖6為大渡河雙江口水電站河口料場1 600 m×1 600 m(長×寬)區域范圍內的斷層系分布圖。地質勘探資料顯示，河口料場的斷層主要分布如下。其一為走向N12°～15°W，傾SW，傾角82°，近直立，水平厚約32 m；其二展布于HZK5至綽斯甲河HPD5洞口上游側溝槽一帶，順層發育，HZK5鉆孔揭示鉛直厚度約28 m。破碎帶主要分布于腳木足河側中下部，水平厚度12～24 m。按照盒維數的計算方法對該料場內的斷層系展開分形計算，結果如圖7所示。

圖6 雙江口水電站河口料場斷層系平面分布Fig.6 Plane distribution map of fault system in estuary quarry of Shuangjiangkou hydropower station

在測度r=50～800 m，相似比δ=1/2～1/32條件下，N(r)-r在雙對數坐標系中仍然具有良好的線性關系，表明雙江口水電站河口料場斷層及斷層破碎帶的分布仍然具有自相似的分形特征，且分維數D=1.164，線性相關系數為0.997。將調查區域的結構面分布的分形特征結果整理，如表5所示。

根據表5的結果可知，斷層系的分形維數要比局部區域的節理分形維數小。例如，河口料場斷層系的分維數為1.164，小于響水溝料場調查區域的節理分維數1.275，也小于江咀料場的節理分維數1.315。表明隨著調查尺度范圍從局部節理擴大到斷層系，結構面分布的分形維數將減小，因為隨著調查尺度范圍的增大，更細小的節理不易被觀測。

表5 節理分布網絡盒維數計算結果Table 5 Calculation results of joint distribution network box dimension

4 結論

針對巖體原生節理結構面分布的隨機性和復雜性，以分形理論為基礎，研究節理特征參數的概率分布特征，運用盒維數法對長河壩江咀料場及響水溝料場待爆破區域巖體結構面分布的分形維數進行計算，同時對雙江口河口料場進行斷層分形特征研究，得出以下主要結論。

(1)通過長河壩江咀料場和響水溝料場原生節理統計結果，確定了各結構面參數的概率分布模型。研究結果表明，江咀料場和響水溝料場取樣節理面的傾角和跡長分別服從正態和對數正態分布。

(2)在同一調查尺度范圍下，節理裂隙越發育，其節理分維數越大。江咀料場節理分維數為1.315，響水溝料場節理分維數為1.275，由于江咀料場節理裂隙較發育，響水溝料場巖體較完整，故江咀料場節理分維數較響水溝料場大。

(3)增大調查尺度范圍，相應結構面分形維數反而減小。如，河口料場斷層系的分維數為1.164，小于響水溝料場調查區域的節理分維數1.275，也小于江咀料場的節理分維數1.315。隨著調查尺度范圍的增大，更細小的節理將不易被觀測，從而使得巖體的完整性更好。

(4)綜合來看，巖體的各種斷裂構造，包括大的斷層和小的節理，其分布形態在一定的測度范圍內均表現出良好的分形特征，分形維數D可以作為一種巖體質量評價的分級指標，在長河壩工程中表明其具有很強的實踐性，從而為分形理論在巖土工程質量評價以及后期節理巖體的爆破塊度預測等方面，提供重要的工程參考價值。

(5)雖然分形理論應用于巖體結構面分布特征的描述還有許多問題需要進一步探討,但分形理論在這方面的應用仍然具有良好的前景,特別是隨著分形理論自身的發展,巖體原生節理結構面特征的研究必將產生一個大的飛躍。