2020年高考三角函數試題分析及教學思考

范力

【摘 要】2020年的全國高考數學試卷很好地遵循了課程標準的基本理念和《2020年全國（新課標卷）考試說明》的基本要求，突出了數學應用、數學探究、數學文化的引領作用，突出了對學生關鍵能力的考查。試卷體現了基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求，把握了穩定與創新、穩定與改革的關系，對協同一線教師推進高考綜合改革、引導高中數學教學都起到了積極的作用?；诖?，本文剖析2020年高考中的三角函數試題，探尋新高考背景下的數學命題規律。

【關鍵詞】2020年高考;三角函數;備考建議

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）34-0041-04

眾所周知，三角函數知識是高中數學知識體系中的重點內容，也是溝通幾何與代數的橋梁。其蘊含了方程的思想、函數的思想、數形結合的思想、化歸的思想、分類討論的思想等重要的數學思想方法，同時體現了數學學科的本質特征。它既是初中三角形知識的拓展與延伸，又是學生將來進入大學后學習高等數學的重要基礎。因此三角函數知識一直在高考數學試題中占有較大的比重。近年來，高考試卷對三角函數知識的考查分值始終保持在17分左右。

2020年高考數學七套全國卷、四套地方卷中，三角函數部分的知識點考查分布如表1所示。

從表1可以看出，2020年高考數學卷對三角函數知識點的考査集中在正弦函數和余弦函數的圖象與性質、兩角和與差的三角函數、倍角公式、三角恒等變換、正弦定理和余弦定理及其應用。除全國二卷結合導數的應用，將三角函數的考查放在次壓軸21題位置，難度較大以外，其他的都是對一些基礎知識、基本能力的考查。

2020年高考數學三角函數部分試題分值分布如表2所示。

從表2不難看出，大部分試卷三角函數所占的分值延續了2019年的標準，仍為17分左右。常見的出題模式是一道客觀題與一道主觀題。但同時又有個別試卷，如北京卷和天津卷，是一道選擇題、一道填空和一道主觀題的組合。北京卷三角函數部分分值共計23分，天津卷三角函數部分分值共計24分。由此可知，三角函數這一章仍然是高考考查的重點。

從考查形式看，高考對三角函數知識的考查仍然分為兩種形式，一種是顯性形式，即直接考查三角函數知識;一種是隱性形式，即將三角函數與其他知識點相結合，如結合向量、立體幾何、導數，參數方程、極坐標等進行考查。

2020年全國Ⅱ卷理科數學的導數解答題首次以三角函數為出題背景，區別于以往以指數函數與對數函數為模型的出題形式。不過這道題的前兩問都是基礎的三角函數和導數問題，大部分考生可以答對，但最后一問的難度明顯增加。這種出題方式會導致考生得分容易、得滿分難的結果。

如題：已知函數 f （x）=sin2xsin2x，

（1）討論f （x）在區間（0，π）的單調性;

（2）證明：;

（3）設，證明sin2xsin22xsin24x...sin22nx

。

（1）問解法一思路分析：先求出函數的導數，然后通過判斷導函數的符號來判斷原函數的單調性。

解：f '（x）=cosx（sinxsin2x）+sinx（sinxsin2x）

=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x

=2sinxsin3x，x，

當時，f '（x）>0;當x時，f '（x）<0，所以f （x）在區間上單調遞增，在上單調遞減。

點評：復合函數求導后，提取公因式2sinx，然后運用兩角和與差公式化簡，得出結果。接下來在給定區間上解三角不等式，由于要同時兼顧兩個因式的符號，所以學生需有扎實的三角函數知識，以便分類討論。

（2）問解法一思路分析：由于函數f （x）本身是周期函數，所以要證明不等式成立，只需求一個周期內函數的最大值為。這就把題目轉化為在給定區間求極值、求最值的問題。

解：

∵ f （x）的一個周期為π，

∴ 結合第一問結論得：

x 0 π

f '（x） 0 + 0 - 0 + 0

f （x） 0 ↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑ 0

，

故。

點評：注意格式與步驟，力爭簡單題得滿分。

（3）問解法思路分析：這是這道次壓軸題的最后一問，難度突然增加?？忌銎饋碛幸欢y度，需要構造函數。而如何構造函數、為什么這樣構造函數是解決這道題的突破點。不妨結合不完全歸納法和“兩頭湊”的證明思路來突破這一難點。

當n=3時，

這樣由特殊到一般得到第三問的證明

證明：

（sin2xsin22x...sin22nx）

（1）問解法二：

f （x）=sin2x（2sinxcosx）=2sin3xcosx

f '（x）=2[（sin2x）'cosx+sin3x（-sinx）]

=2（3sin2xcos2x-sin4x）

=2sin2x（3cos2x-sin2x）

=2sin2x（4cos2x-1）

=

x

f '（x） + 0 - 0 +

f （x） ↑ - ↓ - ↑

故 f （x）在上單調遞增，在上單調遞減。

點評：第二種解法與第一種解法不同的是，提取了公因式2sin2x，然后因式分解，這樣就得同時兼顧三個因式積的符號，對學生運算能力有更高的要求。

（2）問解法二：

由四元均值不等式得

，

。

點評：四元均值不等式是二元基本不等式的拓展，運用的難點在于湊定值。解題時，可以把乘積分解成3sin2xcos2xcos2xcos2x，然后利用3sin2x+3cos2x=3得證。

除了在每個知識點的考查難度上有調整，在考查的題目順序上有改變以外，近幾年的高考試題更加突出數學歷史和數學文化相結合，把數學發展過程中的歷史事件和我國優秀文化中的數學內容引入到試題中。如2020年北京高考試卷第10題關注π的兩種計算方法：中國傳統的割圓術和數學家阿爾·卡西的求解方法。將中國優秀傳統文化和世界先進思想相結合，兼容并包，中外融通，在弘揚中國傳統文化同時，注意吸收世界數學文化精髓，能引導學生胸懷祖國，放眼世界。

如題（北京卷·10）：2020年3月14日是全球首個國際圓周率日。歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統數學中的“割圓術”相似，數學家阿爾·卡西的方法是：當正整數n充分大時，計算單位圓的內接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術平均數作為2π的近似值，按照阿爾·卡西的方法，π的近似值的表達式是（? ）

A.

B.

C.

D.

思路分析：

∵ 單位圓內接正n邊形每條邊所對的圓周角為，

∴ 每條邊長，周長為，

同理，單位圓的外切正6n邊形的周長為。

。

也可以用特殊值法：令n=1，單位圓內接正六邊形周長為6，外切正六邊形周長為，則，故選A。

點評：這道題是根據教材中提到的“割圓術”部分內容改編而成，緊扣課標和教材，既體現了數學本質，又考查了學生應用數學解決問題的能力。

結合以上對高考中三角函數考查內容與方式的剖析，筆者對于2021年新一屆高中畢業生應該如何提前做好未來學習的規劃，提出了如下建議。

（1）回歸課本，重視基礎，注重公式、概念、定理、定義的推導過程。這樣面對試卷基礎題的時候才能得心應手，快速解決;面對創新題時，可以遷移原有概念、原理解決問題;面對較難的綜合題時，也能快速分解題目，產生思路，將問題逐一破解。

（2）培養能力、注重思維，培養探究精神。題目永遠不是一成不變的，進行日常的解題訓練也不是為了背題目、背題型，而是發掘解題背后的思維邏輯。只有強化分析題目能力，才能在面對創新題、綜合題、變式題的時候運用數學思維分析破解。

（3）觀察生活、抽象提煉，分析有實際背景的數學問題。數學在日常生活中是無處不在的，音樂中有數學，美術中也有數學，數學也蘊含在建筑、交通、貿易、游戲中，應該有意識主動發現生活中的數學，并用所學的知識加以分析、嘗試解決。久而久之，則能形成較好的數學抽象能力、數學應用思維，不光有助于解題，更有助于發展自己的數學觀點、提升數學素養[1]。

【參考文獻】

[1]郭化楠：2020年全國高考Ⅱ卷數學理科卷評[EB/OL].http：//gaokao.eol.cn/shiti/zhenti/202007/t20200708_1737227.

Analysis of University Entrance Examination Paper about Trigonometric Function in 2020 and Teaching Reflection

Li Fan

（The Second Middle School， Heze， Shandong， 274000）

Abstract： The national mathematics test paper of Gaokao in 2020 follows the basic idea of curriculum standard and the fundamental requirements of “2020 National Examination （New Curriculum Standard Paper） Instructions”. It highlights the leading roles of the mathematical application， mathematical exploration and mathematical culture， and so is it for the students main ability effectively. The examination paper demonstrates the testing requirements on fundamentality， comprehensiveness， applicability and innovativeness， balances the relationships of “stability and innovation” and “stability and reformation”. The paper also has positive influence on the collaboration with teachers to promote the Gaokao comprehensive reformation and the guidance to mathematics teaching in senior high schools. On the basis of that， this paper analyzes the trigonometric function items in the Gaokao test paper in 2020 and explores the mathematics propositional pattern under the background of new university entrance examination.

Key words： university entrance examination in 2020; trigonometric function; suggestions on preparing for Gaokao