一題多解 優化思維結構

太敬藝

【摘 要】高中數學知識之間的聯系十分密切，一題多解要求學生對同一問題嘗試從多個不同的思考角度解答，能滿足學生多樣化學習的需要，提升其思維能力。筆者基于建構主義理論和信息加工學習論，以一道數列題為例，根據高三學生已有的知識和活動經驗，提出在教學中預留一題多解的空間，啟發學生打破定勢思維，優化思維結構。

【關鍵詞】高中數學;一題多解;思維結構;數列

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）34-0158-02

解題課的功能是使學生在概念課、原理課的基礎上鞏固已學概念、原理、思想與方法，并熟練運用它們解決問題[1]。考慮到高三學生的基礎知識和基本技能掌握情況，教師應將關注點放在提高學生理解、分析、解答問題的能力上。部分學生在面臨熟悉的數學情境或遇到與之前經驗類似的問題表征形式時，容易憑借“經驗與直覺”產生定勢思維，不利于發散性數學思維及其結構的優化。因此在數學教學中，教師應重視學生的知識背景，做好學情分析，鼓勵學生發散思維，積極引導學生對有啟發性的數學問題進行共同探索、交流、質疑和評價，利用一題多解幫助學生避免“功能固著”現象，使學生在問題解決中完善知識網絡，養成多角度、全方位思考問題的習慣。

1? ?一題多解

一題多解教學是指針對同一個問題引導學生從不同角度進行解讀、探究、比較，并評價不同的解決方法。建構主義理論指出學習者會以自己的原有經驗為基礎，對新信息進行編碼，建構自己的理解，原有知識又會因新經驗的進入發生調整和改變，其中包含新舊經驗沖突所引發的觀念和結構重組[2]。教學中，教師應鼓勵學生從不同角度思考問題，通過對題目的深入探究和評析幫助學生激活原有的知識經驗、技能經驗，并將其作為新知識、新技能、新方法的生長點。

信息加工心理學家安德森將知識分為兩類，一類是陳述性知識，即關于事實、定義、定理、規則等方面的知識;另一類是程序性知識，指如何完成具體任務的知識。在帶領學生探索解題方法的過程中，教師不能急于求成或包辦代替，而應預留充足的時間帶領學生回顧已有的知識經驗（陳述性知識），鼓勵學生嘗試不同的解法（程序性知識）。學生只有在勇于探索、大膽試錯、積極展示對問題的多種解讀中，才能自發地強化或修正本身的知識結構和技能，完善現有思維結構。

2? ?例題剖析

該例題是高三習題課中對學生來說有自主探究價值的一道數列問題。下面筆者從學生具體解答情況出發，說明一題多解是如何體現學生數學思維結構的優化。

例題：已知等差數列{an}的公差不為零，且a3=3，

a1，a2，a4成等比數列，數列{bn}滿足b1+2b2+3b3

+...+nbn=2an（ nN* ）。

（1）求數列{an}、{bn}的通項公式;

（2）求證：。

解：設數列{an}的公差為d，則a1=3-2d，a2=3-d，a3=3，a4=3+d，由（3-2d）（3+d）=（3-d）2解得d=1或d=0（舍去），所以an=n（ nN* ）。

因為b1+2b2+3b3+...+nbn=2n（ nN* ），所以b1+2b2+

3b3+...+（n-1）bn-1=2（n-1）（n2，nN* ），兩式相減整理得。

驗證：當n=1時，成立，所以bn=

（ nN* ）。

本題第（1）問是常見題型，解法較為常規，易錯點在于求數列{bn}時，許多學生對n的取值范圍考慮得不夠嚴謹，忽略了對n=1的驗證。第（2）問的待證不等式的構造巧妙，具有很高的探究價值，教師在講解中需循序漸進并適時引導、點撥學生。課堂上，學生積極探索，產生了以下三種解法。

2.1? 數學歸納法

因為...

（ nN* ）

（1）當n=1時，成立。

（2）當n=k時，成立。

下面證明n=k+1時，不等式仍然成立。

因為，

要證明n=k+1時不等式仍然成立，只需證明

，

化簡后得（*）

即證，當時，此不等式顯然成立。

由（1）（2）可知，原不等式對一切正整數n成立，

證畢。

數學歸納法是高中數學中的一種重要的演繹推理法，通常用于證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數范圍內成立，反映由特殊推導出一般的思維過程。筆者觀察到部分學生在進行到步驟（*）時卡殼，沒有清晰的化簡方向，只完成了對數學歸納法基本步驟的簡單模仿。此處的關鍵點在于啟發學生發現，然后順利進行因式分解。從信息加工理論的角度來看，如果學生不能將新學的知識與原有數學概念或規律聯結，則在單一情境中獲得的知識是單薄、孤立的，不能對輸入的信息進行有效加工，進而產生思維障礙，導致解題受阻。

2.2? 基本不等式

將待證不等式移項得

由多元基本不等式

得

當且僅當n=0時，等號成立，故

對一切正整數n成立。

部分學生觀察到了左邊不等式前后兩項分子分母的對應關系，并由此聯想到了多元基本不等式：對于m個正數t1，t2，...，tm，其算術平均值不小于其幾何平均值，然后類比數列中的“累乘法”，利用基本不等式將冗長的不等式結構簡化。

2.3? 構造函數不等關系

從函數角度引導學生后，學生聯想到了常見函數不等關系：由x > lnx+1（x≠1）得。

為證明原不等式，需證明，即證，由x > lnx+1知其成立，故原不等式得證。

數列的本質是以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數，所以學生可巧妙利用函數的不等關系、對數式運算法則對不等式結構進行優化，而這正能體現學生對數列的本質屬性的深刻理解.

問題解決是一種重要的思維活動，是學習者運用知識與經驗解決問題的過程[3]。數學解題靈活性的關鍵在于數學知識之間的聯系，如本例中數列、函數、不等式之間的轉化關系。數學知識網絡中，陳述性知識是網絡的節點，程序性知識則是聯系節點的“通道”。學生通過重復記憶和大量練習可以暫時掌握陳述性知識，但因缺乏對概念來源和技巧應用的本質理解，當問題表征發生變化時，難以成功建立相關陳述性知識的聯結，對程序性知識的掌握不夠牢靠，從而導致出現聽課易、解題難的

現象。

日常教學中，教師應保持課堂良好的學習交流氛圍，信任學生的獨立探究能力，培養其創新精神，避免學生將數學問題的解決等同于基本概念、公式、定理的生搬硬套。此外，課堂教學中，教師應促進學生主動輸出，逐步克服思維惰性，并在學生給出好的問題切入角度時給予及時評價和認可，調動其主觀能動性，使學生自發地將單一知識點之間的“通道”打通，使整個數學思維網絡結構更高效、穩固。

【參考文獻】

[1]朱清波，曹廣福.例談探究式解題課教學[J].數學教育學報，2020（2）.

[2]劉曉明，王麗榮.學習理論的新發展及對現代教學的啟示[J].外國教育研究，2000（2）.

[3]吳增強.論有效教學的心理學支持[J].教育發展研究，2011（4）.