小學數學規律探索教學實踐與研究

【摘 要】探索規律是2011年版課程標準提出的基本課程內容之一，是數與代數領域的重要組成部分。蘇教版教材從三年級上冊開始就逐步安排探索規律的專題活動，側重引導學生體驗由特殊到一般、具體到抽象的歸納過程。五年級上冊“釘子板上的多邊形”是一節典型的規律探索類課型，要引導學生發現其中蘊含的“皮克定理”，教學難度較大。筆者經實踐探究，提出將學生作為學習主體，并以此為前提，通過課前思考、課中“一波三折”的規律探索教學以及課后反思，使學生獲得學習樂趣，發現數學規律，鍛煉數學思維，希望為小學數學規律探索實踐教學提供參考和借鑒。

【關鍵詞】小學數學;探索規律;釘子板多邊形;皮克定理

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）34-0170-02

數學家華羅庚說過：“學習數學最好到數學家的紙簍里去找材料，不要只看書上的結論，他在書上寫給你看的結論不過兩三行，可是他寫這個兩三行以前，不知花了多少心血，經歷了多少困難和挫折，稿紙不知用去了多少張，他成功的歷程，就是用這些稿紙記錄下來的。”每一位數學家都是經歷了無數次的失敗后才有了數學史上的重大發現。所以，學生探索規律的過程一定是困難重重、有錯可尋的。

1? ?課前思考

1.1? 探索什么規律

本節課要探索的規律是釘子板上多邊形的面積（S）與多邊形邊上的釘子數（n）以及內部釘子數（a）之間的關系，即著名的“皮克定理”：S=n÷2+a-1。

1.2? 怎樣探索規律

回顧以往的探索規律教學課堂可知，學生雖進行了猜測、探索、驗證這一系列操作，發現了規律，得出了結論，但這是在教師的“有意”引導下順利進行的，缺乏試誤的過程，這樣毫無懸念的教法雖然能讓學生快速得出結論并增強自信心，但因為缺少對客觀事實求證的艱難過程，難以實現對學生探索能力的培養[1]。

1.3? 研究方法是什么

釘子板上多邊形的面積與邊上釘子數和內部釘子數有關。這里涉及兩個變量，因此需要用到“控制變量法”來研究其規律。但這種分離變量的研究方法是學生陌生的，他們并不具備這方面的經驗。所以課堂上得出結論固然重要，但教師更應注重學生對這種研究方法的感悟和體會。

2? ?課中實踐

2.1? 滲透數學文化，明確研究方向

萬事開頭難，如何才能順利進入新課？考慮到學生心中有種種疑惑：求多邊形面積的方法有很多種，為什么要放在釘子板上研究？研究的背景是什么？因此課堂開始，先設問：當多邊形遇到釘子板，你想研究哪些問題？然后通過錄音和圖片介紹數學家皮克的故事，以此明確研究方向。這樣學生能明白之所以要把多邊形放到釘子板上研究，源于皮克當年的發現。

片段一：

師：本節課我們要一起研究釘子板上的多邊形。在低年級時，我們就在釘子板上圍過多邊形。當多邊形遇到釘子板，你想研究什么問題？

生：多邊形的周長、面積、形狀……

師：有個數學家曾經也研究過釘子板上的多邊形。

播放錄音：喬治·皮克是奧地利著名的數學家，出生于1859年。不知從什么時候開始，皮克對多邊形的面積產生了濃厚的興趣。他平時喜歡在釘子板上圍大大小小、各種各樣的多邊形，并對其進行研究，最終獲得了重要的數學發現。

師：當年，皮克研究的是釘子板上多邊形的面積，我們也來做一回小皮克，探索其中的奧秘，好嗎？

這樣的數學文化氛圍，能喚起學生的研究欲望，無形之中促進教學目標的實現。

2.2? 鎖定研究問題，掌握探究方法

影響釘子板上多邊形面積的變量有兩個：多邊形邊上的釘子數和內部的釘子數[2]。教材降低了研究難度，對內部釘子數這種因素進行了“遮蓋”，把“內部釘子數”作為常量來處理。從簡單入手，先研究多邊形內部只有1枚釘子的情況。

2.2.1? 研究 a=1 的情況

首先，出示幾個內部釘子數都為1的多邊形（如圖1）。引導學生利用數方格、面積計算公式、圖形分割等方法計算多邊形面積，積累數學活動經驗。接著借助核心問題推動研究過程：你覺得皮克的數學發現中，多邊形的面積會與什么有關？引導學生初步感知：多邊形邊上的釘子數越多，多邊形的面積越大。讓學生帶著這樣的感知繼續思考：皮克會怎樣開展研究？

在交流中，教師不能僅讓學生完成表格（如表1）的記錄，還應注重讓學生感受表格的形成過程以及學習解決問題過程中所用到的方法。如追問：“多邊形的面積已經知道了，還需要知道什么？這些數據怎么處理比較合適？”最后，引導學生注意得出結論后還需驗證規律。

片段二：

師：你覺得皮克的數學發現中，多邊形的面積會與什么有關？

生：釘子數。（感覺多邊形邊上的釘子數越多，它的面積就越大。）

師：有了感覺，還要實踐。你覺得他會怎樣研究？

生：數一下邊上釘子的數，再與面積作比較，看有沒有規律。

師：面積已經知道了，還需要知道什么？

生：多邊形邊上的釘子數。

師：這些數據怎么處理比較合適？

生：整理在表格中，更容易觀察比較。

師：觀察表中數據，多邊形的面積和邊上釘子數之間有什么關系？

生：多邊形的面積是它邊上釘子數的一半。

師：若用字母 S 表示多邊形的面積，字母n表示多邊形邊上的釘子數，該怎樣用公式表示它們之間的關系？

生：S=n÷2。

師：這個規律是否對釘子板上所有的多邊形都適用，還需要進一步驗證。

接著，再出示一些多邊形供學生驗證（如圖2）。此時，很多學生都提出疑問：怎么錯了？為什么有的符合規律，有的卻不符合？教師再引導學生主動研究、解決問題。最后，學生豁然開朗，原來影響多邊形面積的因素除了有邊上釘子數，還有內部釘子數，繼而根據這一發現完善規律。

在學生以為探究結束的時候，教師需要繼續追問：“大家都發現了這一規律，那之前的結論就一定正確嗎？”學生會馬上反應過來，不一定，還要驗證。于是在這樣“一波三折”的規律探索中，學生不斷經歷“觀察、比較、猜想、驗證”的過程。（教師引導學生主動核查，使學生通過前后對比發現問題在于內部釘子數的不同）

2.2.2? 研究a>1的情況

在有內部釘子數是1枚的規律探索的經驗和基礎之上，對多邊形內部釘子數是2枚的規律的探索就能水到渠成。以小組形式讓學生進行獨立研究，如果學生在探索中遇到困難，教師可幫學生“鋪一層臺階”：先用多邊形邊上的釘子數，觀察的商與多邊形面積有什么關系。當學生得出結論后，再要求學生驗證，經歷完整的探究過程。

舉一反三，由扶到放，對于內部釘子數是3、4、5枚的情況，就可以完全放手讓學生自主設計研究方案，開展小組合作，以此積累探索規律活動的經驗。在整個教學中，需讓學生反復經歷“觀察、比較、猜想、驗證”的過程。

最后在兩個問題的推動下，讓學生的探究繼續向“高峰”攀登。教師提出問題：“當a=0時， S 與 n 是什么關系？”，更進一步提出：“你能用一個公式歸納出以上所有規律嗎？”在此過程中，注重培養學生的代數思維。

3? ?課后反思

整堂課中，從簡單情況入手，在教師的引導下，學生通過數一數、算一算和觀察比較，初步發現了 S=n÷2 這一規律，而在驗證規律時，又發現了問題，從而進一步完善了規律。最后變化內部釘子數，如2枚、3枚、4枚，引導學生依次深入研究較復雜的情況，反復觀察比較，得出一個適用于所有情況的規律，并用字母歸納表述。

以上是筆者通過“釘子板上的多邊形”的實踐教學研究產生的對數學規律探索教學的一些思考與認識。教無止境，在今后的教學道路上，還需不斷探索，如此才能使小學數學規律探索教學有新的突破和進步。

【參考文獻】

[1]強震球.《釘子板上的多邊形》教學實錄[J].教育視界，2016（20）.

[2]劉曉萍，曹志國.對“探索規律”教學的叩問——以“釘子板上的多邊形”教學為例[J].小學數學教育，2018（8）.

【作者簡介】

馬玉婷（1994～），女，漢族，江蘇蘇州人，本科，二級教師。研究方向：數學教育。