讓小學生在“做數學”中發展 “三會”能力

徐德兵

培養學生發展核心素養是落實立德樹人目標的重要途徑。董奇教授指出，必須將核心素養物化到各學科的教學與評價之中，國家數學課程標準修訂組組長史寧中教授指出，中國學生發展核心素養的培養最終要落在學科核心素養的培育上。那么，如何培養小學生的數學學科核心素養呢？

一、小學數學學科核心素養與“三會”能力、“做數學”

史寧中認為，數學教育的終極目標是，一個人學習數學之后，即便這個人未來從事的工作和數學無關，也應當學會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界，數學核心素養的確定要基于這個目標。目前義務教育階段數學核心素養還沒有討論確定，但史寧中提出的“會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界”（以下簡稱“三會”能力），既體現了數學學科的特點，又囊括了數學核心素養的要求。因此，培養 “三會”能力是目前在小學階段落實數學學科核心素養培養的最有效途徑。

荷蘭數學家弗賴登塔爾認為，學一個活動的最好方法是“做”，提出了“做數學”的理念。數學不僅是數學知識的匯集，還是一個包含有猜測與證明、錯誤與嘗試、檢驗與改進等復雜活動的過程。引導兒童“做數學”，實質就是打開兒童的各種感覺器官，手口腦并用，讓兒童充分經歷用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界的過程，培養數學學科核心素養。

二、引導學生在“做數學”中培養“三會”能力

史寧中教授指出，所謂數學的眼光，本質就是抽象，抽象使得數學具有一般性;所謂數學的思維，本質就是推理，推理使得數學具有嚴謹性;所謂數學的語言，主要是數學模型，模型使得數學的應用具有廣泛性。我們引導兒童“做數學”，要讓兒童“做”中進行抽象概括，“做”中開展邏輯推理， “做”中構建數學模型， 培養數學學科核心素養。

1.“做”中進行抽象概括，讓兒童用數學的眼光觀察世界

數學使用符號來描述現實世界，它不僅是數學知識的匯集，更是一個對客觀世界進行抽象與概括、猜測與證明、檢驗與改進的動態過程。數學知識的學習需要在不同層次上進行抽象概括，每一次抽象概括，都意味著思維進入了一個更為抽象的層級。在概念學習中，數學思維的抽象層級是逐步提高的，如我們拿出一個水杯，告訴兒童這是“1”個杯子，這時兒童的認識處在實物直觀層面。后來我們指著兒童繪本中的一個水杯，告訴兒童這是“1”個杯子，此時兒童的認識處在形象直觀層面，舍棄了對象的物理屬性，這是對實物直觀的一次抽象。當我們告訴兒童，一個水杯、一個蘋果、一本書……都可以用數字“1”表示時，這時兒童的認識進入了數字抽象水平。在后續的學習中，兒童還將學習用字母表示數，進入更為抽象的思維層級。在解決問題活動中，數學思維的抽象層級也是逐步提升的，最典型的是列出含有括號的算式解決問題：我們知道每一個算式都表示一個過程，但在有括號的算式中，每一個括號都是一次概括，它要求兒童把括號里的算式看一個對象來思考，參與對數量關系的演繹。在“做”中進行抽象概括，實質就是用數學的眼光觀察世界。在學習分數1/2時，我們是這樣引導學生“做”的：

（1）師：把6個蘋果平均分給兩個小朋友，每人分多少？用什么表示？把4個蘋果、2個蘋果平均分給兩個小朋友呢？

學生依次回答，分別用3、2、1表示。

（2）師：如果把1個蘋果平均分給兩個小朋友，每人能分多少？

生：半個。

師：誰能想出一種方法表示半個？

生動手嘗試。

（3）學生交流、展示做法，并簡單說明理由。主要有：

從學生創造的這些符號來看，他們已基本理解了1/2的意義。第一、二種方法是象形描繪，從第三種方法可以看出學生已發現分數與除法的聯系，第四種方法已非常接近通用的表示方法了。這個“做”的過程，實際上是學生用直觀形象和數字組合表達自己的觀念，是對實物直觀的抽象概括，是兒童用數學的眼光在觀察世界。

2.“做”中開展邏輯推理，用數學的思維思考世界

數學知識是一個開放的系統，系統中的各個部分以特定的結構和關系組成一個嚴密的整體。學生只有通過親身的實踐發現這些結構和關系，并利用它們構造出這個系統，這個系統對學生而言才是真正有意義和可用的，否則“只是一堆毫無意義的、孤立的磚頭”。因此，要發現這些結構和關系，就離不開邏輯推理。如教學20以內的進位加法整理時，我們是這樣引導學生“做”的：

（1）口算，然后把這些算式分類，并說說你是怎么分類的（每個小組提供一套20以內進位加法算式卡片）。

8+7? ? 6+5? ? ?9+6? ? 9+7? ? ?8+6? ? 7+6? ?9+5

9+2? ? 8+4? ? ?9+3? ? 8+8? ? ?7+6? ? 9+4? ?8+5

（2）根據分類，把這些算式按一定順序排列出來，并說說你是怎么排列的。

（3）生觀察排列的算式，想一想，還缺少哪些算式？從學具袋中把它們找出來，擺在合適的位置上。

（4）各小組依次上講臺展示自己擺出的算式圖，說說自己這么擺的理由，有什么規律。

學生在第（2）個環節，找出算式之間的聯系，發現其中的規律。在第（3）個環節，根據規律將其余的算式找出來，擺在合適的位置上。這也是一個推理的過程。通過邏輯推理，對已學過的知識進行整理，構建知識網絡。通過“做”，讓學生充分經歷邏輯推理過程，用數學的思維思考世界。

3.“做”中構建數學模型，用數學的語言表達世界

“數學是研究模式和結構的科學”。小學數學中的許多概念和公式都是從現實世界抽象出來的一種數學結構，實際上都是數學模型，是用來表達數學思想的學科語言，即數學語言。解決一個問題時，往往要把這個問題抽象成一個數學模型，通過對數學模型求解而獲得原題的解，因此，構建數學模型是一種非常重要的數學能力。教學乘法的初步認識時，我們這樣引導兒童在“做”中構建數學模型：

（1）教師出示主題圖，學生根據圖意列式：

2+2+2+2+2+2=12

4+4+4+4+4=20

3+3+3+3=12

（2）生觀察，這些算式有什么特點？你還能寫出一些這樣的算式嗎？

學生觀察后發現各個算式的加數相同，并寫出了下面一些算式：

5+5+5+5+5+5+5+5+5=

3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3=

這個時候，教師請學生們讀出這兩個算式，在讀的過程中，學生逐步體會到，由于相同的加數非常多，很容易出錯，自然就產生了一種需要：能不能找到一種比較簡單的讀法？能不能找到一種簡潔的寫法，讓人一眼就看清楚有多少個5相加？這個時候，就可以順勢引入乘法模型：用“5×9”和“3×13”來表示，引出了乘法概念。學生通過動眼觀察、動手列式、動口讀題、動腦思考，建構出了他們自己的乘法模型，形成了對乘法的初步認識：表示很多相同的數相加。通過“做”，讓學生用數學模型表達自己的思想。

參考文獻：

[1]（荷蘭）弗賴登塔爾.陳昌平等，譯.作為教育任務的數學[M].上海：上海教育出版社，1995.

[2]崔允漷.指向學科核心素養的教學即讓學科教育“回家”[J].基礎教育課程，2019（1）：5-9.

[3]史寧中.推進基于學科核心素養的教學改革[J].中小學管理，2016（02）：19-21.