一類季節交替下具有一般功能反應的捕食-食餌模型的動力學分析

2020-06-10 02:13:34王曉雯

天津師范大學學報(自然科學版) 2020年3期

關鍵詞：模型

杭磊，張龍，王曉雯

（新疆大學數學與系統科學學院，烏魯木齊830046）

1 引言和預備知識

自然環境的季節交替對生物種群具有極大影響，季節性變化的環境將影響種群的增長[1-2]、種間關系[3-5]、傳染病動力學行為[6-7]和群落結構[8-11]等.相關學者對具有季節交替的生物種群的動力學行為進行了廣泛研究[1，3-7].文獻[1]和文獻[3]將一年分為“好的季節”和“壞的季節”.文獻[1]建立了在季節演替和脈沖擾動下的單種群系統，在“好的季節”種群增長較快，在“壞的季節”種群增長較慢，甚至負增長，得到了正周期解的存在唯一性和全局穩定性.文獻[3]考慮具有季節演替的非自治Lotka-Volterra 競爭模型，在“好的季節”兩種群互相競爭，在“壞的季節”兩種群無競爭，研究了平衡點和周期解的穩定性.文獻[6]研究了一類季節性的SIR 流行病模型.

考慮到種群的增長方式與種間關系是隨季節變化的，文獻[5]建立了基于負增長與Logistic 增長交替進行的兩種群競爭模型

其中：m∈N；λi、ri和Ki分別為種群xi的自然死亡率、內稟增長率和環境容納量；α 和β 分別為種群x1和x2的競爭系數.模型由周期性交替的2個連續季節（S1，S2）組成：在S1（壞的季節）中，即t∈[mω，mω+（1-φ）ω]時，兩種群無競爭；在S2（好的季節）中，即t∈[mω+（1-φ）ω，（m+1）ω]時，兩種群互相競爭.

在現實世界中，種群間不僅存在競爭，還有捕食以及合作關系，因此本文考慮如下基于Gompertz 與Logistic 交替增長的捕食-食餌模型

其中：k∈N；x為食餌種群，y為捕食者種群；正數ri、ki、ai和bi（i=1、2）分別為食餌的內稟增長率、食餌的環境容納量、捕食者的內稟增長率和捕食者的死亡率，正數c1為捕食者的營養轉化率；功能反應函數φ（x）為捕食率，即每個捕食者捕獲的食餌數量.模型由2個連續季節（S1，S2）組成：在S1 中，即t∈[2kω，（2k+1）ω]時，捕食者捕食食餌；在S2 中，即t∈[（2k+1）ω，（2k+2）ω]時，捕食者不捕食食餌但有其他食物來源.

本文對模型（2）做如下假設：

（A1）當食餌種群密度增大時，每個捕食者捕獲的食餌數量隨之增大，即捕食率函數φ（x）增大[12].因此假設φ（x）在[0，+∞）上單調遞增，且關于x可微，φ（0）=0.

考慮單種群模型

為方便，將模型（3）改寫為

對模型（4）和（5）做如下假設：

引理1[1]若假設（A2）成立，則模型（4）（或（5））有唯一全局漸近穩定的正周期解u0*（t）.

對于純量微分方程

有以下結論.

引理2[13]設（ft，x）和F（t，x）在平面G上連續，且滿足f（t，x）≤F（t，x），（τ，ξ）∈G.若x=φ（t）和x=Φ（t）分別為方程（6）和（7）定義在a ＜t ＜b上的唯一解，則有φ（t）≤Φ（t），τ≤t ＜b.

容易看出，模型（2）任意具有正初始條件（x（0），y（0））的解（x（t），y（t））在（0，+∞）內恒正.

2 主要結果

2.1 有界性

定理1設（A1）和（A2）成立，則存在常數M＞0，使得模型（2）的任意正解（x（t），y（t））滿足

證明令（x（t），y（t））為模型（2）的任意正解. 當t≥0 時，有

考慮如下輔助方程

由引理2 可得x（t）≤u（t），t≥0，其中u（t）為方程（10）的解，且u（0）=x（0）.由引理1 知，方程（10）存在唯一全局漸近穩定的正周期解因此，對于任意常數β1＞0，存在常數T1＞0，使得

故有

所以，由模型（2）及（A1）可得

由引理2 可得y（t）≤v（t），v（t）為下列輔助方程的解，且v（0）=y（0）.

其中：

所以

令M=max{M1，M2}，則有

證畢.

由（A1）及Lagrange 中值定理[14]可得，存在ξ1∈（0，x（t）），使得

考慮模型

對于模型（17），進一步做如下假設：

推論設（A3）成立，則模型（16）存在唯一全局漸近穩定的正周期解且其中為模型（4）的唯一周期解.

證明由引理1 知，模型（16）存在唯一正周期解由于方程（17）右端關于z（t）滿足局部Lipschitz條件，根據常微分方程解對參數的連續依賴性[13]，可知方程（17）的任意解z（t，t0，z0，ξ）（z0= x0）關于（t0，z0，ξ）是連續的.進而可得模型（16）的唯一正周期解關于參數ξ 連續.因此有證畢.