函數思想下分段計費問題的教學探究

鄭祥旦

（福建省大田縣教師進修學校）

分段計費問題是人教版《義務教育教科書·數學》五年級上冊的教學內容，在后繼學習中可看作分段函數的問題。運用函數思想做好分段計費的教學，需要了解分段教學的基本思想，需要了解學生使用圖象法學習的基礎。

一、了解分段函數的基本思想

分段函數本身不是初等函數，但它是由若干個基本初等函數組合而成的。例如，人教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊有如下的一道例題，其中y與x的函數解析式可表示為，其圖象如圖1所示。

圖1

例：“黃金1號”玉米種子的價格為5元/kg，如果一次購買2kg以上的種子，超過2kg部分的種子價格打8折。

（1）填寫下表。

0．5 1 1．5 2 2．5 3 3．5 4 ……購買量付款金額/元……

（2）寫出購買量關于付款金額的函數解析式，并畫出函數圖象。

x＝2是此分段函數的分段點，同時y(x)在x＝2是連續的。而函數的連續性及其相關的證明通常是微積分的內容。

與上題相比，五年級分段計費的例題則是另一種表現形式的分段函數，y與x的函數解析式可表示為

x＝3、4、5、6是此分段函數的分段點，y(x)在x＝3、4、5、6上也是連續的（如圖2）。

圖2

其圖形在x＝3、4、5、6各點產生跳躍現象，我們稱x＝3、4、5、6為函數y(x)的跳躍點。

顯然，學生畫出這樣的圖形是不符合題意的（如圖3），該圖形用函數解析式表示為：

圖3

進一步來說，分段計費的例題是由若干常量函數組合而成的分段函數，學生畫出的圖形是由常量函數和正比例函數組合而成的，而八年級所學的則是由兩個不同的正比例函數組合而成的。但這樣的題目也存在于五年級的練習題，如“某市自來水公司為鼓勵節約用水，采取按月分段計費的方法收取水費。12噸以內的每噸2.5元；超過12噸的部分，每噸3.8元。小可家上個月的用水量為17噸，應繳水費多少元？”

二、了解學生使用圖象法的學習基礎

一般來說，表示函數的方法有三種方法：解析式法、列表法和圖象法。在五年級的教材里，僅在“回顧與反思”階段要求學生用列表法檢驗解答的結果正確與否。從正向思維的角度來看，該表中的數據可以正確的結果，但從反向思維的角度來看該表中的數據既可以是圖2的數據，也可以是圖3的數據，或者說數據所表征的含義不是唯一的。為了正確理解題意，教學時需要運用圖象法進行分析。從邏輯結構分析，線段圖是圖象法的最直接的表現，如圖4所示。

圖4

線段圖需要用線段的長度來表示具體的數量，而且圖中線段的長短關系要符合題目的數量關系。借助線段圖，學生建立了數學的直觀模型。從另一個角度來說，條形統計圖也是圖象法的最直接的表現，只要作簡單的轉換條形統計圖就變成了直角坐標系。進一步來說，兩者的結合即是學生產生可理解的函數圖象。

三、基于函數思想的教學設計

函數思想是構造函數（即“規定思想”）從而利用函數的性質（已知、未知和規定思想）來解題的一種思維策略?！耙阎保褪侵浮岸俊保欢拔粗眲t是指“變量”；“規定思想”則是指根據事物的規律而人為的構造的一種客觀的函數關系?；谶@種思維策略，分段計費的教學可以這樣設計。

（一）讀題，畫線段圖，列式解答

出示主題圖，讀出題意：王叔叔乘坐出租車行駛6.3km。出租車的收費標準：3km以內7元；超過3km，每千米1.5元（不足1km按1km計算）。他要付多少錢？

引導畫線段圖，學生可能畫出下列各種情形（圖3也是其中的一種）。

不同的學生可能有不同的思考，或者是從車費的角度，或者從是路程的角度，他們從已有的知識經驗出發，畫出線段圖，根據所蘊含的數量關系，正確地列式解答。但是，這并不代表他們已經完全地理解了分段計費的運算原理，特別是從函數思想的角度去思考問題。

（二）批判性思考，理解“定量”和“變量”的關系，畫出圖象

引導學生對解答過程進行批判性思考，并與之交流。

教師提問：你確信你的解法是正確的？然后，引導學生邊讀題邊追問：① 如果王叔叔只乘坐0.5km，要付多少錢？（7元）②如果王叔叔只付7元錢，他最多能乘坐多少km？（3km）③ 如果王叔叔乘坐3.1km，要付多少錢？（8.5元。④ 如果王叔叔付了8.5元，他可能乘坐多少km？（4km。所以說，8.5元分為兩段：7元，1.5元。）⑤如果王叔叔乘坐4.2km，要付多少錢？（10元。它分為三段：7元，1.5元，1.5元。）

通過反思，學生會理解行程在0＜x≤3、3＜x≤4、4＜x≤5區間里時車費y（x）是連續的，而x＝3、4是函數的分段點。

教師示范：現在，把線段圖的第一段，3km以內7元，畫到新的圖上。（如圖5）

圖5

教師提問：第二段、第三段應該怎樣畫呢？學生嘗試畫出這兩個線段，并推理畫出第四、五段。師生合作共同把線段圖轉換為分段函數的圖象。（如圖2）

通過畫圖，學生理解x＝3、4、5、6是函數的跳躍點。更進一步，學生直觀地理解這是由5個常量函數組合而成的分段函數，所以，列式計算是：7＋1.5× 4＝13（元）。

教師提問：你能完成出租車的價格表嗎？學生獨立填寫出下表。

4 5 6 7 8 9 1 0行駛的里程/k m出租車費/元1 7 2 7 3 7 8．5 1 0 1 1．5 1 3 1 4．5 1 6 1 7．5

教師還可以繼續引導學生用查表法，進一步理解“定量”和“變量”的關系，如7km要付13元。

（三）辯證思考，理解新的“變量”，畫出新的圖象

教師提問：如果去掉括號里的要求，題目變成“王叔叔乘坐出租車行駛6.3km。出租車的收費標準：3km以內7元；超過3km，每千米1.5元。他要付多少錢？”其解法會一樣嗎？

引導學生理解第一段“3km以內7元”是一樣的。但接著發生的事就不一樣了。

①如果王叔叔乘坐3.1km，要付多少錢？（7＋1.5×0.1＝7.15元。）②王叔叔乘坐6.3km，要付多少錢？（7＋1.5× 3.3＝11.95元。）

圖象要相應地進行修改，教師畫出新的圖象（如圖2），描出點（6.3，11.95）的位置。然后，告訴學生這條線被分成兩段，x＝3是它的分段點。

（四）鞏固練習，用類比法判斷出不同函數所相應的圖象

教師可以先出示習題。某市自來水公司為鼓勵節約用水，采取按月分段計費的方法收取水費。12噸以內的每噸2.5元；超過12噸的部分，每噸3.8元。

（1）小云家上個月的用水量為11噸，應繳水費多少元？

（2）小可家上個月的用水量為17噸，應繳水費多少元？

要求學生讀題，畫出相應的圖象，得出結論：第（1）題用水量在12噸以內，只畫一條線段；第（2）題分段計費不同于圖2，也不同于圖3，是新的圖形（與圖1類似）。