細長圓柱體非均勻磁化研究

張新邦，陳德祥，王東盛，韓楊楊，屈盼玲，張金巍

（北京控制工程研究所，北京 100190）

0 引言

有文獻認為均勻鐵磁介質構成的細長圓柱體，在均勻外磁場中是均勻磁化。文獻[1]在沿軸向均勻磁化的條件下，對圓柱形均勻介質進行退磁場和退磁因子研究。文獻[2]的研究中忽略圓柱體內的體磁荷，這等于認為其軸向均勻磁化。也有文獻提出只有在二次曲面形狀（橢球形）的情況下物體才能均勻磁化，圓柱體內退磁因子只是近似值，并不是嚴格意義下的解析解。所以文獻[3]和[4]提出了圓柱體退磁因子近似值；而文獻[5]內圓柱體退磁因子表是采用旋轉橢球體計算出來的，計算時圓柱體長度和直徑相當于橢球體縱向和橫向主軸的長度。

如果圓柱體沿軸向均勻磁化，則磁荷集中于圓柱體兩端，體內無體磁荷，符合偶極子標準，外面場強可按偶極子規律進行計算。如果不是均勻磁化，其磁化強度按某曲線形狀分布，則不是一個標準的偶極子，尤其近距離情況下外部場強不能按偶極子規律進行計算。文獻[6]對艦船單磁偶極子模型適用性進行研究，得出了當距離大于2.5倍艦船物理尺寸處，單磁偶極子有較高的模型擬合度。文獻沒有深入探討近距離時模型擬合度低的原因和解決方法。

艦船和細長圓柱體等物體近距離時單偶極子模型擬合度低，原因是軸向的非均勻磁化特性。解決的途徑之一是：研究其磁化強度曲線，再根據磁化強度曲線應用由磁矩求場強方法，可以較準確地得到近距離的場強。

應用面磁荷和體磁荷觀點以及退磁場理論推導退磁場和磁化強度的公式，根據磁化率的定義得到退磁場和磁化強度的另一個公式，以此建立方程組解方程得到磁化強度曲線，根據曲線計算得到結果和試驗結果吻合。

細長體是一類較普遍存在的物體，非均勻磁化特性對其近距離試驗十分重要，這方面的研究具有現實意義。

1 技術準備

1.1 磁荷

鐵磁體內有許多微小的磁疇，磁疇是磁性材料內部的一個個小區域，每個區域內部包含大量原子。同一磁疇區域內原子的磁矩都整齊排列（稱為自發磁化），但磁疇之間磁矩排列的方向混亂，宏觀上相互抵消，即物體的磁化強度為0。

以細長圓柱體為研究對象，當圓柱體軸向有了外磁場，體內各磁疇的磁矩在磁場力矩作用下轉向磁場方向整齊排列（圖1（a）），物體內部磁疇的N、S極（即＋、－極）首尾銜接，相互抵消。若物體是均勻磁化，宏觀上物體內部無磁荷，在兩端出現＋、－磁荷（圖1（b）），稱為面磁荷。

圖1 磁疇排列和磁荷的出現Fig. 1 Magnetic domain arrangement and the appearance of megnetic charges

設圖1（b）內圓柱端面出現磁荷P，當圓柱直徑相對有關的距離是小量，則認為P為點磁荷。如不是小量，且假設磁荷均勻分布，則引入端面的磁荷面密度Q，有：Q=P/S。其中，S是端面的面積。

當圓柱體沿軸向非均勻磁化，則體內產生磁荷。在體內某點取體積元ΔV，體積元內磁荷ΔP，引入磁荷體密度σ，有：σ=ΔP/ΔV。

1.2 磁荷與磁化強度

為了描述磁介質的磁化狀態（磁化方向和磁化程度的大小），引入磁化強度M，它定義為單位體積內磁疇磁矩的矢量和。如在磁介質內取體積元ΔV，其中包含了大量的磁疇，用∑md代表這體積元內所有磁疇磁矩的矢量和，用M代表磁化強度，則上述定義可表達成下面公式

文獻[7]給出了磁化強度M與磁荷P之間關系有如下公式

其中S是一個任意的閉合面，等式右邊為包含在S內磁荷代數和的負值。

下面進一步分析圓柱體內磁荷密度與磁化強度之間關系。

圖2 圓柱體內的試驗段Fig.2 Test section in the cylinder

假設垂直于軸的截面上介質是均勻磁化，取圓柱體的某小段為試驗段（見圖2），段左側截面S1，磁化強度M1；右側截面S2，磁化強度M2；試驗段體積ΔV；段內的磁荷量ΔP。設截面積為S，以整段的表面積為閉合面運行公式（1），有

即

式中，QV是等效面密度，是將試驗段兩端壓縮成平面后得到的面密度，有等效面密度等于試驗段兩端磁化強度之差。

若試驗段包含了磁棒左端面且段的長度極小，則得到左端磁荷面密度

同樣對于磁棒右端面得到

此結果也可用下面簡單方法證明，偶極子的磁矩為m=LP，其中：L為極間距離；P為磁極強度即磁荷總量。將等式兩邊除以體積V，即有

式中，S為端面的面積，于是有Q=M。

設沿軸x方向有磁化強度曲線M（x），有：曲線在圓柱內連續且可導，圓柱兩端是曲線的斷點，曲線斷點處磁荷面密度（絕對值）=磁化強度（絕對值），曲線連續處磁荷體密度=曲線斜率。

1.3 磁荷產生磁場強度

1.3.1 點磁荷

當磁荷P（或稱為磁極）為點磁荷，設點磁荷在r處對磁場的貢獻為h（r），有

這是點磁荷生成磁場的公式，當r很小時此公式失效，需要提出面磁荷生成磁場公式。

1.3.2 面磁荷和面密度貢獻系數

設磁荷P均勻分布在一個半徑為R的圓上，圓平面上的磁荷面密度Q，有

過圓的圓心O點作垂直于圓平面的軸x（見圖3），在x軸C點（坐標為x）產生的磁場強度為h，h的方向和x軸相同。

圓上有A點，其極坐標為（r,θ），有

改寫為

F（x）也稱為面密度貢獻系數，于是有：場強=面密度×面貢獻系數。

圖3 磁荷面密度產生磁場強度示意圖Fig. 3 Schematic diagram of magnetic field intensity generated by magnetic charge surface density

1.3.3 體磁荷和體密度貢獻系數

以圖2內的試驗段為例，試驗段長度ΔL，試驗段內有體磁荷，將試驗段均分成N份，每份成為薄片可近似為一個面。應用公式（2）可以得到試驗段的等效面密度QV，則各薄片的磁荷面密度為QV/N。設第i份薄片到測點的有向距離為xi，對測點貢獻的場強為hi，應用公式（5）得到

整個試驗段對測點貢獻的場強為

其中

也稱為體密度貢獻系數，于是有：場強=等效面密度×體貢獻系數。

2 建立關于磁化強度方程組

研究圓柱體的不均勻磁化，需要得到磁化強度M沿軸向的變化曲線，方法是建立關于M的方程組，解方程組即可得到磁化強度曲線。

將磁棒均分成N段（圖4），各段分別表示為D0～DN-1。均分后得到N+1個界面，表示為A0～AN。

設界面An處磁荷面密度Qn，磁化強度Mn，退磁場h(n)(n=0～N)。第n段（Dn）內體磁荷的等效面密度QVn(n=0～N-1)。

注意磁化強度曲線就是由Mn(n=0～N)數據組成。

圖4 圓柱體分段示意圖Fig. 4 Section diagram of the cylinder

圖4中：HO是外磁場，h是退磁場。由于外磁場、退磁場和磁化強度等的方向都平行于棒軸，計算中可以只應用其x分量。

應用式（5）-（6）分析面磁荷和體磁荷對退磁場的貢獻，設j界面的面密度對i界面退磁場貢獻系數為Fij。由于只有A0和AN這2個界面是面磁荷，有：A0面磁荷對Ai退磁場h（i）的貢獻為Q0Fi0；AN面磁荷對Ai退磁場h（i）的貢獻為NiN QF。設段Dj體磁荷對Ai退磁場(i)h的貢獻為hij，貢獻系數為f ij，有

于是有

根據公式（2）-（3）有

于是

改寫為

應用新的系數Aij，將上式改寫為

其中

由磁學理論可知磁化率（χ）、磁場強度（H）、磁化強度（M）有如下關系

而H=h+HO，其中h是退磁場，HO是外磁場，于是有

對第i界面處的退磁場(i)h和磁化強度Mi，有

將式（7）與（9）聯合并以詳細形式表達

即有

改寫為

于是有

3 細長圓柱體磁化強度曲線

以坡莫合金為介質的圓柱體長L=0.8m，半徑R=0.01m ，磁化率χ=10000，外磁場強度HO=300A/m，計算時將圓柱體分80等分，每等分再分成50份薄片，列出方程組并求解得到磁化強度曲線（圖5），計算得到圓柱體總磁矩為24 A·m2。

圖5 細長圓柱體磁化強度曲線Fig. 5 Magnetization curve of slender cylinder

由磁化強度曲線求外部某點磁場強度，需要應用由磁矩計算磁場強度公式[8]，將圓柱體均分N份，根據曲線得到每份的磁矩，計算每份磁矩產生的場強，再求和得到需要的值。

以圓柱體中心為原點建立坐標系，圓柱軸為x軸并指向磁體正極，為驗證近距離的計算結果，取近距離點p坐標為（0.5L，0.25L，0）。由磁化強度曲線計算得到p點磁感應強度x分量為10 000 nT以上，實際測量得到磁感應強度x分量約10 000 nT，兩者基本吻合。而用偶極子模型計算得到磁感應強度x分量約-4 000 nT。

4 結束語

1）細長圓柱形均勻介質在均勻外磁場中不是均勻磁化，研究其非均勻磁化特征是有現實意義的。

2）應用磁化強度、面磁荷與體磁荷、退磁場之間關系建立圓柱體磁化強度方程組，解方程得到其磁化強度曲線，由曲線計算得到的近距離場強結果和試驗數據吻合。

3）在計算退磁場時既考慮面磁荷也考慮體磁荷，并建立和求解磁化強度方程組最后得到磁化強度曲線，此結果和方法在以前文獻中未見報道。