芳賀折紙初等數(shù)學(xué)教材探究

上海市風(fēng)華中學(xué) 蘇 燕

一、芳賀和夫的折紙初等數(shù)學(xué)教材開(kāi)發(fā)歷程

芳賀和夫是一名大學(xué)教授，他在教學(xué)之余對(duì)折紙有非常濃厚的興趣，發(fā)現(xiàn)了很多與折紙數(shù)學(xué)有關(guān)的定理，在諸多數(shù)學(xué)相關(guān)的報(bào)刊中發(fā)表了相關(guān)的文章和研究成果。后來(lái)，人們逐漸對(duì)其研究進(jìn)行了關(guān)注，提出全新的折紙數(shù)學(xué)概念。之后，芳賀和夫又寫(xiě)了很多連載文章，提出了自己的發(fā)現(xiàn)，在日本折紙教學(xué)中有很高的地位，他的研究成果被納入日本初等數(shù)學(xué)以及高等數(shù)學(xué)的教材中。歷屆的折紙科學(xué)大會(huì)以及相關(guān)的教育大會(huì)上，芳賀和夫都一直在傳播折紙的教學(xué)理論和技術(shù)，很多人都因他的影響而開(kāi)始對(duì)折紙數(shù)學(xué)進(jìn)行研究。芳賀和夫開(kāi)發(fā)的關(guān)于折紙初等數(shù)學(xué)的教材很多，其中最為著名的就是“三個(gè)定理”。

（一）第一定理

芳賀和夫第一定理指的是如圖1 所示的正方形折紙，如果將紙的右下角向上進(jìn)行翻折，那么點(diǎn)C 就會(huì)和E 重合，并且紙會(huì)折平。底邊CD 翻上來(lái)到E 的位置，折紙的左邊相交在H 點(diǎn)，那么H 點(diǎn)就是一個(gè)三等分點(diǎn)。

圖1

圖2

圖3

（二）第二定理

芳賀和夫第二定理如圖2 的正方形折紙，D 的中點(diǎn)沿著B(niǎo)E 兩點(diǎn)的直線將折紙進(jìn)行翻折，翻折點(diǎn)會(huì)到達(dá)F 點(diǎn)，如果EF 的延長(zhǎng)線相較于CD，邊在G 點(diǎn)，DG 和GC 的比為2:1，那么G 點(diǎn)就是CD 的一個(gè)三等分點(diǎn)。圖2 所示的F 點(diǎn)的位置是比較特殊的，其在水平方向上可以將正方形折紙的左右兩部分分成四分之一，在垂直方向上可以將上下兩個(gè)部分分成2:3。

（三）第三定理

芳賀和夫第三定理如圖3 所示的正方形中，E 是正方形AD 邊的中點(diǎn)，如果將右邊的CD 邊進(jìn)行翻折，那么點(diǎn)C就會(huì)在AB 這一邊上，同時(shí)保證CD 可以過(guò)點(diǎn)E，將紙折平之后可以得到折痕線FG，那么點(diǎn)C 在進(jìn)行翻折之后形成新的位置，H 就是正方形左邊的一個(gè)三等分點(diǎn)。

二、芳賀和夫的折紙初等數(shù)學(xué)教材的推廣

對(duì)于上述芳賀折紙的內(nèi)容可以作為初等數(shù)學(xué)的教材內(nèi)容，讓學(xué)生發(fā)表不同的看法，表達(dá)不同的觀點(diǎn)，設(shè)計(jì)成開(kāi)放性的教材。在推廣的過(guò)程中，提出一般問(wèn)題進(jìn)行策略分析。如果已經(jīng)選定了一個(gè)問(wèn)題，就可以從芳賀和夫第一定理開(kāi)始，進(jìn)行猜想和證明。

三、芳賀和夫的折紙初等數(shù)學(xué)教材教育價(jià)值

芳賀和夫折紙初等數(shù)學(xué)教材具有一定的教育價(jià)值和意義，芳賀和夫堅(jiān)持進(jìn)行初等數(shù)學(xué)教材的開(kāi)發(fā)，取得了很多的成果，很多都已經(jīng)被選入了日本的初等數(shù)學(xué)教材中，成為提倡學(xué)習(xí)的課題，并且作為教材進(jìn)行研究。芳賀和夫還發(fā)表了自己的專著，開(kāi)發(fā)了教材的內(nèi)容，得到了很多的肯定。針對(duì)芳賀折紙教材，人們普遍認(rèn)為該教材內(nèi)容可以很好地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和創(chuàng)意，讓學(xué)生能夠感受到課題解決的必要性，可以很好地積累數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，讓學(xué)生的知識(shí)和技能得到鍛煉。學(xué)生的知識(shí)和技能得到綜合利用和發(fā)揮，可以不斷產(chǎn)生問(wèn)題，并且追求問(wèn)題的答案，并對(duì)其進(jìn)行概括和發(fā)現(xiàn)。正是因?yàn)榉假R和夫折紙有這些特點(diǎn)，才被人們認(rèn)為是初等數(shù)學(xué)最好的教材內(nèi)容，成為學(xué)者關(guān)注的內(nèi)容，并且普遍出現(xiàn)在初等教學(xué)相關(guān)的教學(xué)問(wèn)題中。

四、結(jié)語(yǔ)

由此可以看出，芳賀和夫折紙初等教材的內(nèi)容是非常適合中學(xué)生的。折紙雖然看起來(lái)比較普通，但是應(yīng)用到初等數(shù)學(xué)中，學(xué)生往往能夠發(fā)現(xiàn)其獨(dú)特的魅力和創(chuàng)意，采用不同領(lǐng)域的知識(shí)串聯(lián)的形式，學(xué)生會(huì)感到更加新穎。教師在提出折紙問(wèn)題之后，學(xué)生可以用假設(shè)的方式來(lái)解答，在這一過(guò)程中又會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。但是，目前我國(guó)這樣的初等數(shù)學(xué)教材還比較少，筆者因?yàn)樽x研期間受導(dǎo)師的點(diǎn)播有幸能進(jìn)行以上折紙教學(xué)的探究和分享，也希望有越來(lái)越多的教育科研人員和一線教師參與到折紙教材的編寫(xiě)中。