二進小波變換的圖像邊緣檢測

瑪利亞木古麗·麥麥提，吐爾洪江·阿布都克力木，阿則古麗·圖如普

(新疆師范大學 數學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引 言

圖像的邊緣是圖像最重要的特征之一,它可以更好地反映出圖像的不連續性。圖像一個區域的開始與結束都是以圖像邊緣為標志的[1]。因此提取圖像邊緣信息在研究圖像的各種特征提取和目標識別方面具有重要的意義[2]。邊緣檢測的主要功能是能夠確定灰度值的突變點，而且突變點就在圖像的邊界上[3]。圖像邊緣檢測在數字圖像處理,圖像分析及應用和機器視覺等領域有廣泛的應用。

傳統的邊緣檢測方法雖然容易提取邊緣，具有良好的實時性，但這些方法都存在著缺點。利用二進小波變換的圖像邊緣檢測方法,提取出來的邊緣的準確性和清晰度更高[4-13]。文獻[2-3]中給出的濾波器適合對整幅圖像進行邊緣檢測,文獻[14]中給出了適合對屋頂狀和階躍狀邊緣檢測的濾波器。文中將上述三種二進小波濾波器中邊緣檢測結果最好的一種與傳統邊緣檢測方法進行比較,實驗結果表明使用T.Abdukirim構造的濾波器進行邊緣檢測的效果更好。

1 二進小波變換

二進小波變換是連續小波變換與離散小波變換之間的一種小波變換，它只是對尺度參數進行了離散化,而在時域上的平移量仍然保持連續變化,所以二進小波變換仍具有連續小波變換的平移不變性。因此，可以有效避免非線性變換引起的視覺形變。

(1)

定義2：設ψ(t)∈L2(R)是二進小波,若υ(t)的積分變換

WT2jυ(b)=υ(b)*ψj(b)=

(2)

則式(2)稱為υ(t)以j(或2-j)為尺度的二進小波變換,其中ψj(t)是ψ(t)的以尺度為j(或2-j)的擴張函數即ψj(t)=2-j/2ψ(2-jt)。

二進小波變換對應的二尺度關系如下[1]：

(3)

對上式兩邊進行Fourier變換得：

(4)

其中

(5)

(6)

Mallat在二進完全重構條件下構造了一類可實現一維二進小波變換的Trous算法[3]，它具有與正交Mallat算法相同的算法結構。將一種改進形式的一維Trous算法[1]推廣得到如下二維à Trous算法，用于圖像的分解與重構。

分解算法：

(7)

重構算法：

cj,n1,n2=

(8)

圖1 快速二進小波變換—— Trous算法示意圖

2 二進小波濾波器

為了應用二維à Trous 算法對圖像進行分解與重構,需要構造滿足二進小波重構條件的二進小波濾波器來達到較好的圖像處理效果,選取的二進小波濾波器往往要考慮以下幾個特征：對稱性、緊支撐、正則性、高階消失矩等。首先介紹B-樣條函數。文中利用的m次B-樣條函數θm(t)是特征函數χ[-1/2,1/2](t)與其自身的m+1次卷積的平移:

θm(t)=(χ*χ*…*χ)(t)

(9)

(10)

1次的B樣條函數表示為：

(11)

3次的B樣條函數表示為：

(12)

圖2 1次的B樣條函數θ1(t)的圖像(上)和3次的B樣條函數θ3(t)的圖像(下)

由圖2可以看出，1次的B樣條函數θ1(t)是y軸對稱的分段線性函數，3次的B樣條函數θ3(t)是y軸對稱的光滑性函數。奇數次的B樣條函數θm(t)的Fourier變換為：

(13)

(14)

(1)S.Mallat構造的B-樣條二進小波濾波器[3]中二進小波高通濾波器為:

(15)

所得小波的Fourier變換是：

(16)

(2)T.Abdukirim構造的B-樣條二進小波濾波器[1-2]中二進小波高通濾波器為:

(17)

可見，如此所選擇的含參數的高通濾波器通過調整參數的值,可以得到不同的濾波器。當r=1時，它們實際上就是Mallat構造的B-樣條二進小波濾波器。使用Mallat引入的二進小波多分辨率分析，T.Abdukirim就能夠完善由Mallat起頭的二進小波構造工作。對于每個整數r，T.Abdukirim構造L2(R)的形如2-j/2ψr(2-j(t-k)),j,k∈Z的二進小波基[2]。

(3)許傳祥構造的B-樣條二進小波濾波器[15]中二進小波高通濾波器為:

3 實驗過程與分析

文中實驗是在Matlab R2010環境下,用標準的512×512的png格式的Lena圖像進行邊緣檢測。對一幅圖像用同一種算法但用不同的濾波器進行實驗。實驗中分別應用Mallat構造的B-樣條二進小波濾波器、T.Abdukirim構造的B-樣條二進小波濾波器以及許傳祥等構造的濾波器對Lena圖像進行邊緣檢測,并將效果最好的結果圖像與利用Canny算子進行邊緣檢測得到的結果圖像進行比較。實驗流程如圖3所示。

圖3 實驗流程

實驗結果分析：

(1)從圖4(b)中可以看出，檢測出來的邊緣信息中雖然比較清晰,但含的噪音有點多；(2)從圖4(c)中可以看出，檢測出來的邊緣是很干凈的,沒有多余的噪音,不過有些邊緣還是沒有檢測出來,如畫白色圓圈的部分;(3)從圖4(d)中可以看出，檢測出來的邊緣信息與圖4(b)和圖4(c)相比，不難發現圖4(d)中檢測出來的邊緣信息更清楚、更完整,如畫白色圓圈的部分;(4)從圖4(e)中可以看出,雖然檢測出來的邊緣信息很多,但噪音比較多,不清晰,與圖4(d)相比效果不是很好。

(a)原圖

(b)利用Canny算子進行邊緣檢測的結果圖

(c)利用Mallat構造的B-樣條二進小波濾波器得到的效果圖

(d)利用T.Abdukirim構造的B-樣條二進小波濾波器得到的效果圖

(e)利用許傳祥構造的B-樣條二進小波濾波器得到的效果圖

4 結束語

基于二進小波的邊緣提取問題是這幾年來數字圖像處理中的一個熱門話題,一直受到很多研究者的高度重視。文中研究表明利用T.Abdukirim構造的B-樣條二進小波濾波器進行邊緣檢測,提取出來的邊緣信息比較豐富,可以得到完整的輪廓,含的噪聲比較少,比傳統的邊緣檢測方法提取出來的邊緣更有優勢。該二進小波濾波器組提供了比Mallat構造的B-樣條二進小波濾波器組所得到的更有效的分析(分解)和綜合(重構)。