基于貝塞爾曲線的卵石骨料混凝土細觀模型

潘子超，李天華，阮 欣

（1. 同濟大學土木工程學院，上海200092；2. 新疆城建試驗檢測有限公司，新疆烏魯木齊830000）

在細觀尺度上，混凝土是一種由水泥砂漿、骨料和界面層構成的復合材料。其中，骨料包含碎石和卵石兩種類型。碎石骨料的特點是：多棱角、表面粗糙度大、與水泥砂漿之間的粘結力強。卵石骨料的特點是：形狀較為規則、表面圓滑、與水泥砂漿之間的粘結力弱。由于上述兩種骨料的特點，在配合比相同的條件下，碎石混凝土強度一般高于卵石骨料。然而，卵石混凝土也具有更好的流動性和抗斷裂性能［1］等優點，且卵石骨料不需要復雜的生產線。我國的卵石資源豐富，尤其在河道、山谷和戈壁等局部地區。因此，盡管在強度等方面不及碎石混凝土，卵石骨料仍具有一定的應用價值。

為了考慮不同類型的骨料對混凝土強度、耐久等各種性能的影響，需要在細觀尺度上開展相應的研究。這些研究的前提是構建混凝土的細觀模型。目前，針對碎石骨料混凝土細觀模型已有很多研究成果。其中，Wang等［2］在極坐標系中建立了隨機多邊形骨料的生成算法及基于波前法的網格劃分方法。高政國和劉光廷［3］提出了基于生長法的凸多邊形隨機骨料的生成算法，并給出了凸多邊形生成條件和方式。同樣基于生長法，孫立國等［4］為解決大體積全級配或三級配混凝土細觀模型的構建問題，提出了一種新的高效骨料投放算法。Pan等［5］建立了基于切割法的凸多邊形隨機骨料模型。李建波等［6］突破了傳統凸形骨料的限制，建立了一種隨機凹凸型骨料模型，使細觀模型更接近于混凝土試件斷面的實際情況。為了增加骨料形狀的真實性，一些學者采用圖像處理的方式來獲取真實骨料的形狀。付兵等［7］采用圖像處理方法從真實混凝土試件的斷面中提取骨料形狀建立骨料庫，并從數據庫中隨機選出骨料建立細觀模型。Garboczi［8］將球面調和函數應用于骨料形狀的模擬，通過對電子計算機斷層掃描（computed tomography，CT）圖像的矢量化建立骨料模型。這種方法具有很高的真實性，但效率很低。上述研究的一個共性是采用隨機多邊形或多面體模擬骨料形狀。這些方法不適用于卵石骨料。考慮到卵石具有圓滑表面的特性，文獻中多采用圓形、橢圓形來模擬其形狀［9-10］，但這種假定過于簡單。

因此，本文首先建立一種基于貝塞爾曲線的卵石骨料混凝土細觀模型，引入骨料長寬比和半徑變異度兩個參數控制卵石骨料的形狀。其次，通過圖像處理方法對1 000多個真實卵石骨料的分析提取骨料長寬比和半徑變異度的隨機分布特性。在此基礎上，針對物質傳輸問題，選擇迂曲度表征骨料對物質傳輸速率的影響，建立基于Floyd-Warshall動態規劃算法的迂曲度計算過程。最后，通過參數分析，研究卵石和碎石骨料混凝土細觀模型在迂曲度上的不同。

1 卵石骨料模型

卵石骨料由于沒有明顯的棱角，可通過對多邊形頂點進行光滑處理來獲得骨料的形狀。這個步驟模擬了碎石在自然環境中不斷磨蝕而形成卵石的過程。借助于貝塞爾曲線，可將這種磨蝕過程量化，從而得到不同光滑程度的帶有一定曲率的多邊形（以下簡稱曲率多邊形）。

1.1 初始多邊形

根據骨料的級配在極坐標中生成一個初始多邊形。為此，首先隨機確定多邊形的頂點數N0。N0的取值范圍為Nmin～Nmax。其中，Nmin和Nmax為人為設定的最小和最大多邊形頂點數。其次，將整個坐標系沿著角度方向劃分為N0個相同的區域，在每一個區域，隨機生成多邊形頂點的極坐標Pi(αi，ri)。其中，αi和ri分別為多邊形第i個頂點（i=1，2，…，N0）在極坐標系統中的極角和極徑。αi和ri的取值范圍分別為2π(i-1)/N0～2πi/N0和r0(1-β)～r0(1+β)。其中，r0為與多邊形等面積的基準圓的半徑，β反映了在極坐標下初始多邊形各頂點半徑的變異性程度（以下簡稱半徑變異度）。圖1給出了一個具有4個頂點（P1～P4）的初始多邊形的生成實例。

圖1 初始多邊形的生成過程Fig.1 Generation procedure of initial polygon

研究表明，骨料的長寬比對混凝土傳質過程有一定的影響［9-10］。因此，當得到初始多邊形后，需要對其進行拉伸，從而得到滿足給定長寬比的多邊形。為此，首先定義任意多邊形的長寬比。對于圖2 所示的多邊形，選擇任意一條邊，確定多邊形的外接矩形，其長度和寬度分別為li和hi（li＞hi）。例如，圖2中的多邊形的邊P4P5對應的外接矩形的長度和寬度分別為l45和h45。則多邊形的長寬比為

圖2 多邊形外接矩陣示意圖Fig.2 Schematic diagram of polygonal circumscribed matrix

1.2 貝塞爾曲線

貝塞爾曲線（Bézier curve）是一種應用于二維圖形應用程序的數學曲線，在矢量圖形軟件中可以精確地控制所繪曲線的形狀。貝塞爾曲線的最大特點是，通過調整若干控制點的位置來確定曲線的弧度，從而將繪制曲線的問題轉變為改變控制點的坐標，而后者在計算機中非常容易實現，且具有很高的精度。

貝塞爾曲線的復雜程度和靈活性隨著控制點的個數增加而增加。一般使用較多的是具有3個和4個控制點的貝塞爾曲線，分別被稱為二次和三次貝塞爾曲線。本文采用的是前者。

采用貝塞爾曲線建立卵石骨料模型的流程如下。得到如圖1 所示的初始多邊形后，針對多邊形的每一個頂點，選擇如圖3所示的三個控制點P1、Q1和Q2。其中，P1為多邊形的頂點，Q1和Q2分別位于P1所在的兩個鄰邊上，δ 為一個在0～1.0 范圍內的參數。同時，定義P1Q1的距離為

式中：γ為一個取值范圍為0～1.0的參數。

圖3 采用貝塞爾曲線對多邊形頂點進行光滑處理Fig.3 Smoothing polygon vertex by Bézier curve

根據選擇的三個控制點，貝塞爾曲線由圖3 中B點的運動軌跡生成：

式中：P1、Q1和Q2分別為P1、Q1和Q2的坐標向量；δ為一個在0～1.0 范圍內的參數；B(δ)為B 對應于δ的坐標向量。

當貝塞爾曲線生成后，根據多邊形的凹凸情況，對初始多邊形的形狀進行調整。對于凸出的頂點，將位于貝塞爾曲線以外的部分從初始多邊形中去除；對于凹入的頂點，增加貝塞爾曲線與初始多邊形頂點圍成的區域，分別如圖3中P1點和P3點所示。

經貝塞爾曲線處理后的曲率多邊形的光滑程度由式（2）中的參數γ控制。如圖4所示，γ越大，光滑程度越高。但當γ＞1.0 時，相鄰的貝塞爾曲線相交，這是不允許的。因此，γ 的變化范圍為0～1.0。γ=0 相當于初始多邊形沒有經過光滑處理。由于卵石骨料沒有明顯的棱邊和棱角，因此通常情況下，可取γ=1。

1.3 侵入判定

圖4 參數γ的取值對骨料形狀光滑程度的影響Fig.4 Influence of parameter γ on smooth degree of aggregate shape

建立卵石骨料模型后，為了生成最終的混凝土細觀模型，需要將卵石骨料逐個放入到水泥砂漿中。作為固體顆粒，骨料之間不能重合，因此在將骨料放入到水泥砂漿中，需要對每個骨料進行侵入判定。為此，首先將曲率多邊形的貝塞爾曲線部分離散為由一系列密集點組成的線段。其次，針對每一個點，判斷其是否在另一個曲率多邊形內。這里采用了如下方法：①從一個點生成任意一條射線；②對曲率多邊形的每一條邊進行遍歷；③對每一條邊，判斷其與射線是否存在交點，注意到此時的邊是線段，而不是直線；④如果多邊形與射線的交點總數為奇數，則該點在多邊形內部。

1.2 節提出的方法同時適用于凹形和凸形多邊形。如果有任意一個點位于另一個曲率多邊形內，則存在侵入現象，需要重新生成曲率多邊形的位置。按照上述骨料投放算法，圖5a給出了一個采用貝塞爾曲線模擬得到的卵石骨料混凝土細觀模型的示例。作為對比，圖5b給出了一個具有相同面積分數和長寬比的碎石骨料混凝土細觀模型。可以看出，本文提出的采用貝塞爾曲線的方法可以較為真實地模擬出具有光滑邊緣的卵石骨料。

圖5 卵石和碎石骨料混凝土細觀模型示例Fig.5 Examples of concrete mesoscopic model by pebble and crushed-stone aggregates

2 骨料參數

2.1 參數獲取方法

在1.2 和1.3 節提出的采用貝塞爾曲線生成卵石骨料的方法中，骨料的長寬比（ζ）和半徑變異度（β）是影響骨料形狀的兩個最重要的參數。為了保證所生成的骨料形狀與實際情況相符，根據真實骨料的形狀，采用圖像分析方法獲得這兩個參數的統計規律。為此，收集了新疆烏魯木齊市常見的卵石骨料1 000余個。骨料的級配曲線如圖6所示。

圖6 卵石骨料級配曲線Fig.6 Gradation curve of pebble aggregate

首先，采用二值化、連通區域標記［11］、Canny 邊緣檢測［12］和凸包等算法獲取每個骨料的邊緣，如圖7所示，并找到所有可能的骨料外接多邊形。基于這些外接多邊形和式（1）的定義，可以得到骨料的長寬比（ζ）。其次，根據邊緣像素點的位置，求出骨料的中心點坐標和各像素點到中心點的距離，得到最大值rm和最小值ri，并計算出與骨料面積相等的基準圓的半徑r0。在此基礎上，可得到半徑變異度：

圖7 真實骨料二維投影圖像的二值化和分離Fig.7 Binarization and segmentation of two-dimensional projection image of real aggregates

2.2 隨機概率分布

根據1.1 和2.1 小節的方法得到每個卵石骨料的長寬比（ζ）和半徑變異度（β），并將這些結果以直方圖的形式給出，分別如圖8 和圖9 所示。可以看出，ζ和β的取值分別集中在1.0～2.0和0.2～0.5之間。為了便于在生成混凝土細觀模型過程中確定每個骨料的ζ 和β，將這兩個參數視為隨機變量，分別選擇正態分布、對數正態分布和一般極值分布（GEV）對其進行擬合。根據擬合結果計算如下均方根誤差（root mean square error，RMSE）：

式中：yi，0和yi分別為原值和擬合值；N 為數據點個數。計算結果如表1所示。可見，ζ和β的分布類型均最接近一般極值分布。

圖8 骨料長寬比（ζ）的直方圖Fig.8 Histogram of aspect ratio of aggregate (ζ)

圖9 骨料半徑變異度（β）的直方圖Fig.9 Histogram of radius variability of aggregate(β)

表1 根據均方根誤差得到的隨機分布類型識別結果Tab.1 Identification results of random distribution type based on RMSE

得到ζ和β的隨機分布類型及參數后，在生成混凝土細觀模型時，將根據對應的隨機分布進行抽樣，得到每一個骨料的ζ和β的取值。

3 細觀模型的迂曲度

3.1 迂曲度的定義和計算方法

水泥的水化過程在生成水化產物的同時，也在水泥漿中形成了復雜的孔隙結構。各類物質在孔隙中的傳輸路徑受到孔徑大小、走向和連通性等因素的限制而出現扭曲，如圖10所示。

圖10 微觀尺度上混凝土孔隙結構的迂曲度［13］Fig.10 Tortuosity of pore structure of concrete at micro-scale[13]

因此，物質的傳輸速率與孔隙結構的迂曲程度密切相關，但目前尚沒有針對兩者定量關系的模型。Ishida等［13］在研究氯離子擴散的問題中，認為氯離子的擴散通量與迂曲度成反比。而Al-Raoush 等人［14］認為物質擴散系數與迂曲度的平方成反比。然而，不論是哪一種模型，可以肯定的是，物質的傳輸速率隨著迂曲度的增加而降低。因此，迂曲度在一定程度上可以定性地反映物質在混凝土中傳輸的難易程度。

盡管迂曲度最初是在微觀尺度上定義的，但根據其基本思想，通過將微觀尺度上的水泥水化產物和孔隙結構均質化為水泥漿，可以定義細觀尺度上的迂曲度［15］：

式中：lme和lma分別為細觀和宏觀尺度上的最短物質傳輸路徑。

根據迂曲度的定義，可采用Floyd-Warshall動態規劃算法計算不同侵蝕深度處的迂曲度［16］。為了使用Floyd-Warshall算法，需要將細觀模型離散成像素密度為n2的圖形。因此，像素密度的選擇對迂曲度的計算結果存在影響。針對這一問題，進行了一個典型算例的分析。模型的大小為0.1×0.1m2，骨料面積分數為0.4，級配曲線如圖11所示，骨料光滑度為0.5，骨料長寬比和半徑變異度分別根據圖8 和圖9 進行抽樣。根據這些參數，首先生成混凝土細觀模型。然后，選擇像素密度n=10～80，計算出各像素密度條件下細觀模型的迂曲度，如圖11 所示。從圖中可以看出，隨著像素密度的增加，迂曲度逐漸降低，當像素密度達到n=50時，迂曲度隨像素密度的變化已經很小了。由于Floyd-Warshall 算法的時間復雜度為O(n3)，計算時長將隨著n 顯著增加，因此在后續分析中將選擇n=50，不再采用更高的像素密度，以提高計算效率。

圖11 迂曲度與像素密度的關系Fig.11 Relationship between tortuosity and pixel density

3.2 分析結果

3.2.1 計算參數

根據3.1小節中迂曲度的定義和計算方法，對比了卵石和碎石骨料混凝土細觀模型的迂曲度之間的差異。分析工況中的參數取值如表2所示。其中，根據《建設用卵石、碎石》（GB/T 14685—2011）［17］中的規定，選擇了三種具有不同最大骨料粒徑的級配，如圖12所示。為了降低細觀模型的隨機性對計算結果的影響，每個工況包含了100次模擬，并計算出迂曲度的平均值。其中，碎石骨料的模擬方法可參考文獻［5］。

3.2.2 骨料含量

骨料含量對混凝土細觀模型迂曲度的影響如圖13所示。可以看出，隨著骨料含量的增加，卵石和碎石骨料細觀模型的迂曲度均隨之增大，當骨料面積分數從0.3增加至0.5時，兩種骨料細觀模型的迂曲度分別從1.119和1.121增大至1.174和1.200，增大幅度分別為4.92%和7.05%。這個結果可以通過隨機行走的理論來解釋。隨著骨料含量的增加，細觀模型中的骨料數目增加，骨料之間的平均距離減小。從暴露面侵入的物質粒子在向模型內部運動的過程中有更高的概率碰到骨料，從而改變其運動方向。因此，在統計意義上，當這些物質的粒子運動至特定的深度時，實際路徑的長度要大于骨料含量較小的情況。

表2 細觀模型迂曲度參數分析工況Tab.2 Parametric analysis conditions of mesoscopic model tortuosity model tortuosity

圖12 混凝土粗骨料級配曲線Fig.12 Gradation curveof coarse aggregate of concrete

圖13 不同骨料含量下卵石和碎石骨料混凝土細觀模型的迂曲度比較Fig.13 Comparison of mesoscopic model tortuosity between concrete made by pebble and crushed-stone aggregates with different aggregate contents

此外，當骨料含量一定時，卵石骨料細觀模型的迂曲度小于碎石骨料，并且兩者的差別隨著骨料含量的增加而增大，當骨料面積分數從0.3增加至0.5時，兩種骨料細觀模型迂曲度的差別分別從0.055增大至0.079，變化幅度為43.64%。這一結果表明，卵石骨料阻礙物質傳輸的能力小于碎石骨料。其主要原因是碎石骨料具有明顯的棱邊。當粒子（水分子及各類離子等）運動到骨料表面時，由于骨料的不可滲透性，粒子被迫沿著骨料表面繞流，傳輸路徑出現較大程度的扭曲。而卵石骨料表面光滑，會在細觀模型內部形成流線型的傳輸路徑，對粒子運動方向的改變程度顯著低于碎石骨料。因此，卵石骨料細觀模型的迂曲度小于碎石骨料。

3.2.3 骨料級配

骨料級配對混凝土細觀模型迂曲度的影響如圖14所示。可以看出，骨料級配對迂曲度沒有明顯的影響。隨著級配中最大骨料粒徑的增大，卵石和碎石骨料細觀模型的迂曲度均隨之減小，但幅度很小。例如，當骨料面積分數為0.4時，對于級配1和3，卵石和碎石骨料細觀模型的迂曲度從1.143和1.150減小至1.136和1.141，減小幅度僅為0.61%和0.78%。而當骨料面積分數為0.5時，這一幅度為1.10%和1.08%。此外，根據圖14中的結果還可以發現，兩種骨料細觀模型迂曲度的差別并不隨級配的改變而出現明顯的變化，但會隨著骨料面積分數的增加而增大。例如，當骨料面積分數為0.4增大至0.5時，對應于級配1和3的兩種骨料細觀模型迂曲度的差別分別從0.007和0.005增大至0.022和0.022。但總體上看，骨料級配對細觀模型迂曲度的影響不及骨料面積分數明顯。

圖14 不同級配下卵石和碎石骨料混凝土細觀模型的迂曲度比較Fig.14 Comparison of mesoscopic model tortuosity between concrete made by pebble and crushed-stone aggregates with different gradations

4 結論

本文建立了一種基于貝塞爾曲線的卵石骨料模型，并通過圖像處理方法獲取了真實卵石骨料的長寬比和半徑變異度兩個重要參數的取值。在此基礎上，進一步開展了細觀模型迂曲度的研究，建立了基于Floyd-Warshall動態規劃算法的迂曲度計算過程。最后，分析了不同骨料含量和級配條件下，卵石和碎石骨料混凝土細觀模型迂曲度之間的差別。根據分析結果，可得如下結論：

（1）貝塞爾曲線可以有效地模擬具有光滑邊緣的卵石骨料，進而建立基于卵石骨料的混凝土細觀模型；

（2）對真實卵石骨料形狀的圖像處理結果表明，骨料長寬比和半徑變異度均服從一般極值分布，前者取值大多在1.0～2.0 之間，后者取值大多在0.2～0.5之間；

（3）當骨料含量和級配一定時，卵石骨料細觀模型的迂曲度小于碎石骨料；卵石和碎石骨料細觀模型的迂曲度均隨著骨料含量的增加而增大，且兩者的差別隨著骨料含量的增加而增大；

（4）隨著骨料級配中最大骨料粒徑的增大，卵石和碎石骨料細觀模型的迂曲度均隨之減小，但幅度很小，且卵石和碎石骨料細觀模型迂曲度的差別不隨骨料級配的改變而出現明顯的變化。