正交各向異性功能梯度微板的自由振動行為

(中國石油大學(華東)儲運與建筑工程學院，山東青島，266580)

功能梯度材料是材料組分或幾何尺寸沿結構特定方向成連續梯度變化的一種新型功能材料，它具有消除應力集中、減小殘余應力、增強連接強度、減小裂紋驅動力等許多普通均質材料不具備的優異性能[1-3]。隨著微電子科技的發展，功能梯度微結構的應用更加廣泛，眾多的微觀實驗發現并證實，當金屬或復合材料構件的特征尺寸減小到一定范圍時，其力學性能隨著特征尺寸的改變而變化，表現出較強的尺度效應[4-5]。為對該現象作出合理解釋且方便建模，許多學者在彈性體的本構關系中引入與微觀結構相關的特征尺度參數，提出偶應力理論用以描述材料力學行為的尺度依賴性。YANG等[6]在偶應力理論基礎上，提出了修正偶應力理論，該理論只引入1個長度尺度參數，簡化了建模過程，更便于實際應用。ASGHARI等[7]基于修正偶應力理論在線彈性范圍建立了能夠描述功能梯度Timoshenko微梁彎曲及自由振動尺度效應的力學模型。KE等[8]基于修正偶應力理論分析了功能梯度Timoshenko微梁的動態穩定性問題。在修正偶應力理論的基礎上，REDDY[9]利用Euler-Bernoulli和Timoshenko梁理論，研究了功能梯度微梁的彎曲，自由振動和屈曲行為。DEHROUYEH-SEMNANI等[10]基于修正偶應力理論，通過參數分析研究了微尺度梁剪切變形的尺度效應，并對微尺度梁的靜彎曲、屈曲和自由振動等力學問題進行了研究。DAI等[11]基于修正偶應力理論，考慮大變形和尺度效應，提出一種非線性模型描述懸臂微梁的共振特性。除此之外，許多專家學者對微板的力學行為的尺度效應進行了理論研究。TSIATAS[12]基于修正偶應力理論和Kirchhoff板理論，建立了能夠描述不同邊界條件下任意邊界形狀微板靜彎曲行為尺度效應的力學模型。KE等[13-14]基于修正偶應力理論，研究了不同邊界條件下Kirchhoff和Mindlin微板自由振動行為。THAI等[15]基于3種不同板理論對功能梯度微板的彎曲，自由振動以及屈曲行為進行分析并探討了材料尺度參數對板彎曲撓度，自振頻率以及屈曲載荷的影響。LOU等[16]考慮幾何非線性，基于修正偶應力理論提出一種能夠描述功能梯度微板尺度效應的統一高階板理論，并利用哈密頓原理推導了微板的控制方程和邊界條件。隨著材料科學的發展和實際工程需要，各向異性的功能梯度微結構的應用愈發廣泛，針對其力學行為研究也得到青睞。CHEN等[17]將偶應力理論推廣到各向異性材料，提出了一種新修正偶應力理論，并基于該理論開展了一系列有關層合梁板結構彎曲、振動和穩定等問題的研究[18-19]。賀丹等[20-21]]基于新修正偶應力理論，對平面正交各向異性功能梯度微梁和斜交鋪設層合Kirchhoff微板的彎曲行為的尺度效應進行研究。YANG等[22]基于新修正偶應力理論和虛功原理研究了正交各向異性功能梯度Kirchhoff微板在彎曲變形過程中撓度和正應力的尺度效應。上述研究均假設材料參數以冪指數形式變化，定性分析了各向異性和指數變化對微結構撓度、應力和固有頻率尺度效應的影響。本文作者基于新修正偶應力理論和Kirchhoff板理論，定量研究材料參數沿板厚方向呈正弦梯度變化的正交各向異性簡支微板的彎曲和自由振動行為，重點考察各向異性和功能梯度參數對微板撓度、偶應力和固有頻率尺度效應的影響。本研究可為微電子機械系統(MEMS)中微結構的優化設計和力學分析提供理論基礎和技術參考。

1 新修正偶應力理論

CHEN等[17-19]提出新修正偶應力理論，并給出了彈性體應變分量εij和曲率分量χij的表達式為：

式中：ui為平動位移分量；

ωi為轉動位移分量；eijk為置換符號。

各向異性彈性體的本構關系可以描述為：

式中：Cijkl為彈性常數分量；σij為應力分量；mij為偶應力分量；Gi和Gj分別為2個正交方向的剪切模量；li和lj分別為2個正交方向的材料尺度參數。

2 微板動力學模型建立

2.1 基本變量描述

圖1所示為正交各向異性微板示意圖，其中：a，b和h分別為微板的長度、寬度和厚度；xy平面與微板的中面重合。根據Kirchhoff板假設，板的位移場為

式中：u，v和w分別為板內任意一點沿x，y和z方向上的位移分量；u0和v0分別為變形后板中面沿x和y方向上的位移；t為時間。將位移分量表達式(6)代入幾何方程式(1)，得到微板的非零應變分量為

將位移分量表達式(6)和轉動位移表達式(3)代入曲率分量表達式(2)，得到微板的非零曲率分量：

由式(4)可知本構關系可以表示為

圖1 正交各向異性微板示意圖Fig.1 Schematic diagram of orthotropicmicroplate

式中：

和

分別為應力列向量和應變列向量。剛度矩陣K中非零元素為

式中：μxy和μyx分別為材料不同方向的泊松比；Ex和Ey分別為材料沿x和y方向的彈性模量；Gxy，Gxz和Gyz為材料不同方向的剪切模量；lx和ly分別為材料沿x和y方向的特征尺度參數。

2.2 動力學微分方程

哈密頓原理亦稱最小作用原理，表述為：受完整約束的有勢系，在位形空間中，相同時間通過兩位形點間的一切可能運動曲線中，真實運動曲線使作用量取極小值，即作用量的一階變分為零，表示為

式中：在時間間隔[t1,t2]內微板虛動能為

式中：ρ為密度；u為板的平動位移；V為體積；Ω為中性面面積；?Ω為其邊界；系數h1，h2，h3和h4分別為

式中：nx和ny分別為中面邊界外法線與x和y軸的夾角余弦，

在時間間隔[t1,t2]內微板虛應變能為

式中：

面內合力與合力矩以及合偶應力表達式為

令

式中：n和s分別為板邊界的法向和切向。將式(18)代入式(16)得

式中：q7=nxp6+nyp7；q8=-nyp6+nxp7。對于矩形板，邊界為直線，所以，?w?n=?w?s，對式(19)進行分部積分可得

式中：[q8]i為q8在i個轉角處的跳躍值。

在時間間隔[t1,t2]內外力虛功為

式中：ωx和ωy為轉動位移分量；fT為體力；-fT為表面力。

將式(23)代入式(21)并進行分部積分，化簡得

將式(13)，(20)和(24)代入式(12)，得

式中：S1=h1-p1+fx；S2=h2-p2+fy；S3=h3-為轉角；wi為撓度在第i個轉角處的跳躍值。對任意的δu0，δv0和δw，式(25)均成立，可得運動控制方程：

和相應的邊界條件為

將式(6)～(9)代入式(26)，得到位移表示的微分控制方程：

式中：

對于微板在橫向分布載荷q(x,y)作用下的靜態彎曲行為，忽略式(28)中位移的時間導數項，可得微板靜力學平衡方程為

3 微板動力學模型求解

以四邊簡支微板為例，如圖2所示，對正交各向異性功能梯度微板彎曲撓度和自由振動頻率的尺度效應進行研究。其材料參數Ex，Ey，Gxy，Gxz，Gyz，ρ，lx和ly均沿板厚方向呈正弦梯度變化，梯度函數為

式中：上標s表示微板上下表面；上標c表示微板中面，

α為定義的量綱一的功能梯度參數，當α=1時，材料模型退化為正交各向異性均質模型。

簡支板的邊界條件為

圖2 正交各向異性功能梯度簡支微板示意圖Fig.2 Schematic diagram of orthotropic functionally graded simply supportedmicroplate

3.1 微板位移求解

工程中任何形式的載荷均可描述為三角級數的形式，為了描述微板結構所承受實際載荷的復雜情況，設作用于微板的載荷函數關系式為

設滿足式(33)的位移勢函數為

式中：

將位移表達式(35)代入幾何方程(7)和本構方程(9)，可得微板偶應力表達式為

為了便于分析，定義量綱一的坐標，量綱一撓度和量綱一偶應力的表達式為

3.2 微板固有頻率求解

基于Navier法，將滿足微板邊界條件式(33)的位移函數描述為雙三角級數解的形式：

式中：p為板的固有頻率；i為虛數單位，i2=-1。為待定系數。將式(39)代入位移表示的運動控制方程式(28)得

式中：D為剛度矩陣，矩陣中各元素表示為

M為板的質量矩陣，矩陣中各元素表示為

由于待定系數的取值具有任意性，故求固有頻率p可以轉化為求剛度矩陣對質量矩陣的廣義特征值。為了便于分析，將微板量綱一固有頻率的表達式定義為

4 數值結果與討論

據上述力學模型，對正交各向異性功能梯度簡支微板前三階固有頻率以及其在雙向正弦載荷作用下的撓度和偶應力進行數值計算。其材料參數如表1所示，載荷參數q0=1 000MPa，微板的結構尺寸為h=0.025mm，a/h=10，a=b。

表1 正交各向異性功能梯度微板材料參數[23]Table1 Materialparametersof orthotropic functionally gradientmicroplate[23]

4.1 撓度分析

圖3所示為h/lx取值不同時，微板在y=b/2處截面的量綱一的撓度沿x方向的分布曲線。從圖3可以看出：微板沿x方向的撓曲線均呈正弦分布，且最大撓度出現在微板中間位置。

圖3 不同h/lx下微板沿x方向的量綱一的撓度w′分布Fig.3 Dimensionlessdeflection ofmicroplatewith different h/lx

圖4(a)所示為不同功能梯度參數下，微板中心量綱一的撓度隨h/lx的變化曲線。從圖4(a)可以看出：當h/lx小于5時，微板量綱一的撓度較小，微板撓度具有明顯的尺度效應；隨著h/lx增大，微板量綱一的撓度逐漸增大，但增大程度逐漸減緩，表明h/lx對微板沿x方向撓曲線的影響逐漸減弱；當h/lx大于10時，微板最大量綱一的撓度基本保持恒定，微板撓度的尺度效應消失。

圖4 不同功能梯度參數下微板最大量綱一的撓度w′變化曲線Fig.4 Maximum dimensionless deflection ofmicroplate with different functionally graded parameters

圖4(b)所示為不同功能梯度參數下，微板中心最大量綱一的撓度隨h/ly的變化曲線。從圖4(b)可以看出：當功能梯度參數較小時，微板最大量綱一的撓度較小；隨著功能梯度參數增大，微板最大量綱一的撓度逐漸增大，但增大程度逐漸減緩，表明功能梯度參數對微板撓度的影響逐漸減弱。除此之外，通過對圖4(a)和4(b)進行對比可以發現，h/ly也是影響微板撓度尺度效應的重要因素，但沿2個正交方向的材料尺度參數對微板撓度的尺度效應影響程度不同。

4.2 偶應力分析

圖5所示為h/lx取值不同時，微板量綱一的偶應力mx'在x=a/2處截面沿y方向的變化曲線。從圖5可以看出：微板量綱一的偶應力mx'均沿y方向呈余弦分布，且最大偶應力出現在微板邊界位置，中心處偶應力為零。

圖5 不同h/lx下微板量綱一的偶應力mx'分布曲線Fig.5 Dimensionless couple stressofmicroplatewith different h/lx

圖6所示為h/ly取值不同時，微板最大量綱一的偶應力mx'隨h/lx變化曲線。從圖6可以看出：當h/lx小于5時，微板量綱一的偶應力較大，微板最大量綱一的偶應力mx'隨板厚與材料尺度參數比變化明顯，具有明顯的尺度效應。隨著h/lx增大，量綱一的偶應力逐漸減小，但減小程度逐漸減緩，表明h/lx對微板偶應力的影響逐漸減弱；當h/lx大于12時，微板偶應力趨于0，尺度效應消失。

圖7所示為不同功能梯度參數情況下，微板最大量綱一的偶應力mx'隨h/lx的變化曲線。從圖7可以看出：當功能梯度參數較小時，微板最大量綱一的偶應力mx'較大，隨著功能梯度參數增大，微板偶應力逐漸減小，但減小程度逐漸減緩，表明功能梯度參數對微板偶應力的影響逐漸減弱。

4.3 固有頻率分析

圖8(a)所示為h/ly取值不同時，微板一階量綱一的固有頻率隨h/lx變化曲線。從圖8(a)可以看出：微板一階量綱一的固有頻率隨h/lx的增大而減小；當h/lx小于5時，微板一階量綱一的固有頻率隨h/lx變化明顯；當h/lx大于10時，微板一階量綱一的固有頻率趨于穩定值，其尺度效應消失。

圖6 不同h/ly下微板最大量綱一的偶應力mx'隨h/lx的變化曲線Fig.6 Maximum dimensionless couple stressof microplate vs.h/lx for differentdimensionless thickness h/ly

圖7 不同功能梯度參數下微板最大量綱一的偶應力mx'隨h/lx的變化曲線Fig.7 Maximum dimensionless couple stressof microplate vs.h/lx with different functionally graded parameters

圖8(b)所示為h/lx取值不同時，微板一階量綱一的固有頻率隨h/ly變化曲線。從圖8(b)可以看出：微板一階量綱一的固有頻率隨h/ly的增大而減小；當h/ly小于3時，微板一階量綱一的固有頻率隨h/ly變化明顯；當h/ly大于6時，微板一階固有頻率趨于穩定值，其尺度效應消失。除此之外，通過對圖8(a)和8(b)進行對比可以印證，沿2個正交方向的材料尺度參數對微板一階固有頻率的影響不同。

圖8 微板一階量綱一的固有頻率p′11的變化曲線Fig.8 Curvesof dimensionless firstordernatural frequency of microplate

圖9所示為h/ly取值不同時，微板二階量綱一的固有頻率隨h/lx變化曲線。從圖9可以看出：微板二階量綱一的固有頻率隨h/lx的增大而減小；當h/lx小于5時，微板二階量綱一的固有頻率隨板厚與材料尺度參數比變化明顯；當h/lx大于10時，微板二階固有頻率趨于穩定值，其尺度效應消失。

圖10所示為h/ly不同時，微板三階量綱一的固有頻率隨h/lx變化曲線。從圖10可以看出：微板三階量綱一的固有頻率隨h/lx的增大而減小，當h/lx小于5時，微板三階量綱一的固有頻率隨板厚與材料尺度參數比變化明顯；當h/lx大于10時，微板三階固有頻率趨于穩定值，其尺度效應消失。

圖9 微板二階量綱一的固有頻率p′21隨h/lx的變化曲線Fig.9 Dimensionless second ordernatural frequency of microplate vs.h/lx

圖10 微板三階量綱一的固有頻率p′31隨h/lx的變化曲線Fig.10 Dimensionless third ordernatural frequency of microplate vs h/lx

圖11所示為不同功能梯度參數下，微板一階量綱一的固有頻率隨h/lx的變化曲線。從圖11可以看出：當功能梯度參數較小時，微板一階量綱一的固有頻率較大；隨著功能梯度參數增大，微板一階量綱一的固有頻率逐漸減小并逐漸趨于穩定值，表明功能梯度參數對微板固有頻率的影響逐漸減弱。

圖11 不同功能梯度參數下微板一階量綱一的固有頻率p′11隨h/lx變化曲線Fig.11 Dimensionless firstordernatural frequency of microplate vs.dimensionless thickness h/lx with different functionally graded parameters

5 結論

1)板厚與材料尺度參數比越小，微板撓度、偶應力和前三階固有頻率的尺度效應越明顯；當板厚與材料尺度參數比大于10，微板撓度、偶應力和前三階固有頻率的尺度效應可以忽略不計。

2)沿2個正交方向的材料尺度參數對微板撓度、偶應力和固有頻率的尺度效應影響程度不同。

3)功能梯度參數對微板撓度、偶應力和前三階固有頻率的尺度效應有一定影響，且隨著功能梯度參數增大，功能梯度參數對微板撓度、偶應力和固有頻率的影響逐漸減弱。