基于多響應頻響函數的加筋壁板結構模型修正

展銘，郭勤濤，岳林，張保強

(1.南京航空航天大學機電學院，江蘇南京，210016；2.廈門大學航空航天學院，福建廈門，361005)

在土木、機械、航空航天、武器裝備等領域的工程結構中，有限元建模和分析技術得到越來越多的應用，并逐漸成為理論分析和試驗測試后的另一大支柱[1-2]。雖然有限元技術在工程實踐中十分普及，但是隨著工程結構的復雜化，在有限元建模過程中，局部細節簡化和邊界條件處理等不可避免地會使分析結果與結構真實測試結果之間存在差異。將有限元分析結果用于結構設計或工程決策的前提是有限元模型具有足夠的精度，即所建立的模型能夠準確反映結構的輸入和輸出之間的關系。因此，在諸如上述的工程領域中，根據結構測試的試驗數據對有限元模型進行修正，可以提高有限元模型反映結構特性的能力，并可以將修正后的有限元模型用于結構優化設計、結構損傷識別、狀態監測和結構響應預示等[3]。大量學者對有限元模型修正的關鍵問題進行了研究，并取得了豐碩的研究成果。在模型修正前，首先需要對模型中的參數進行篩選，ZANG等[4]采用等效單元模態應變能和等效單元模態動能選擇模型修正中誤差的敏感參數。萬華平等[5]基于全局靈敏度分析方法，提出了有限元模型修正待修正參數選擇的新方法。經過實踐驗證，待修正響應信息對有限元模型修正過程、修正后模型的精度以及修正后模型的用途具有重要的影響。REN等[6]基于結構靜態試驗測試結果修正了結構中的未知參數。THONON等[7]采用模態頻率和模態置信度作為修正目標，實現了梁結構的模型修正。XIAO等[8]采用模態頻率和影響線作為目標修正了斜拉橋的多尺度有限元模型。張保強等[9]使用模態頻率和有效模態質量作為結構動力學模型修正的目標，實現了復雜邊界梁模型的修正。ESFANDIARI[10]利用共振區附近的應變傳遞函數修正了二維桁架結構。JAISHI等[11]采用模態頻率及模態應變能殘差，基于多目標優化算法修正了簡支梁及箱型梁結構的有限元模型。GUO等[12]通過定義應變頻響函數的相關性，修正了結構的材料屬性。姜東等[13]基于模態試驗參數修正了蜂窩夾層復合材料有限元模型中的不確定性參數。郭鐵能等[14]研究了應用頻響函數辨識結合部參數的方法，并基于三自由度彈簧質量系統驗證了方法的有效性。LINK等[15]將模態參數和時域響應作為目標響應，基于模型修正方法對復合板結構中的損傷進行了識別。針對復雜結構模型修正過程計算成本過高的問題，曹文斌等[16]以某型航天結構為例，基于代理模型以及二級優化策略實現了有限元模型修正過程。JUNG等[17]通過分層模型校準方法，提高了電機有限元模型的預測能力。XIONG等[18]對有限元模型修正方法進行了總結，通過最大似然估計確定模型中隨機參數的分布特征。MODAK等[19]對模型修正方法進行了比較，認為不同類型的模型修正方法各具優勢，在工程應用時需要酌情選取。從上述的文獻可知，目前常用的有限元模型修正方法中，采用的響應主要包括靜力學響應、模態參數、加速度時頻域響應等。靜力學響應、結構整體模態參數等對于結構中局部連接參數的靈敏度較低。此外，采用模態參數作為修正目標，要求試驗能夠精確測量多階模態，并且對阻尼參數的修正效果通常不理想。本文作者采用復雜加筋壁板結構為研究對象，聯合加速度和應變頻響函數對模型中的材料參數、連接參數以及模態阻尼比進行修正，并對修正后的模型進行檢驗。

1 基于頻響函數的模型修正

1.1 模型修正方法

有限元模型修正的基本思想是通過調整模型中的參數達到縮小有限元分析與結構試驗測試之間的差距的目的，本質上是一個力學反問題，并可以表示為如下數學形式：

式中：X為待修正參數；Xlb和Xub分別為其下限和上限；R(X)為響應殘差；RA(X)和RE分別為有限元分析響應以及試驗測試響應；WR為殘差的加權系數。

1.2 多響應頻響函數分析方法

在有限元分析時，通常將結構離散為多自由度系統，其動力學方程為

式中：M，C和K分別為質量、阻尼和剛度矩陣；X(t)，˙(t)和¨(t)分別為位移、速度及加速度向量；F(t)為激勵力向量。

對上述動力學方程進行變換，引入模態坐標對方程組進行解耦，根據模態疊加原理可得在任意坐標下結構的位移響應為

式中：φr為第r階模態振型向量；N為模態截斷的總階次；Mr，Cr和Kr分別為模態質量、模態阻尼及模態剛度；為第r階模態頻率；ζr=為第r階模態阻尼比；Hd(ω)為位移的頻率響應函數。

根據有限元理論中的應變和位移之間的關系以及上述位移響應表達式，通過坐標變換等過程可得結構中任一節點處的應變響應為

式中：ψr稱為第r階應變模態振型；Hε(ω)為應變頻響函數。

1.3 頻響函數的相關性

假設有限元分析獲得的結構關鍵點處的頻響函數矩陣為HA，試驗的頻響函數矩陣為HE。借鑒評價模態振型相關性的概念，定義頻響函數的相關系數描述仿真分析與試驗測試結果之間相關性[20]：

式中：HiA(X)和HiE分別為仿真分析和試驗測試頻響函數矩陣在頻率點i處的列向量；RSAC和RMAC分別為形狀相關系數和幅值相關系數。

由兩類相關系數的定義式可以看出，RSAC和RMAC分別是對頻響函數矩陣中各頻率點處的頻響函數向量的形狀相似程度和幅值一致程度的評價指標。基于頻響函數相關系數的有限元模型修正目標函數可表示為

2 加筋壁板結構建模及試驗

2.1 加筋壁板結構建模

加筋壁板結構在航空航天等領域廣泛使用，其動力學特性決定著結構在各個方面的研究進展。加筋壁板主要由基礎板、夾持邊以及筋條等零部件組成，各零部件之間通過螺栓或鉚釘相連接。在有限元建模時，考慮到各零部件厚度相對于其余方向尺寸較小，采用板單元建立加筋壁板各零部件的模型。對于零部件之間的連接，采用彈簧阻尼單元描述。由于各零部件之間的連接方向不一，因此在建模時對彈簧阻尼單元按照連接方向進行分組，并分別賦予不同的屬性值。將螺栓視為彈性桿件，根據材料力學對其軸向剛度進行近似計算，并將計算結果圓整后作為模型中參數的初值。此外，由于結構中的連接數量較多，為了減小其質量對結構響應計算的影響，在建模時采用集中質量單元描述螺栓的質量。加筋壁板結構的有限元模型如圖1所示。

2.2 加筋壁板試驗測試

圖1 加筋壁板結構有限元模型Fig.1 Finite elementmodelof stiffened structure

在對加筋壁板進行試驗前，首先對各零部件進行組裝，并通過扭矩扳手控制螺栓的擰緊力矩，保證同一方向的螺栓具有相同的擰緊力。試驗時采用彈性繩將加筋壁板懸掛于剛性支架上，通過激振器產生0～200 Hz的連續掃頻信號對結構基礎板施加垂向激勵。采用動態信號采集儀，同時記錄激勵力信號以及基礎板上測點處的加速度和應變信號。隨后基于信號處理方法獲得各測點處加速度及應變頻響函數信息。加筋壁板試驗測試激勵點及響應測點分布如圖2所示，其中，C1為激勵點，激勵方向垂直于基礎板；A1～A5為加速度測點，方向垂直于基礎板；S1～S6為應變測點，其中S1～S2以及S5～S6測試方向沿Y向，S3～S4測試方向沿X向。

圖2 加筋壁板結構試驗測點Fig.2 Testpointof stiffened structure

表1 加筋壁板模型修正參數Table1 Updating parametersof stiffened structure

3 加筋壁板結構模型修正

正如建模部分所述，加筋壁板模型中存在多組未知參數，本文采用多響應頻響函數對模型中參數進行修正，一方面，可以避免模態參數識別引起的誤差，另一方面，頻響函數上可用于修正的信息更多。在對加筋壁板結構模型修正前，首先采用靈敏度分析方法對模型中參數進行篩選，確定結構基礎板與夾持邊連接的Z向平動剛度Kn1以及X和Y向轉動剛度Krx1和Kry1、基礎板與筋條連接的Z向平動剛度Kn2以及Y向轉動剛度Kry2、結構前6階模態的阻尼比ξ1～ξ6為待修正參數。在模型修正時，選取頻響函數各共振峰的半功率帶寬點以及相鄰共振峰的峰值間距的中點作為目標頻率點，分別計算加速度和應變頻響函數的兩類相關系數，基于式(7)構造用于修正的目標函數。采用遺傳算法對所構造的目標函數進行優化，從而獲得待修正參數合理空間內的最優組合。加筋壁板模型修正各待修正的初值、修正值如表1所示。分別基于修正前后的模型參數計算加筋壁板結構的模態頻率，并與試驗測試結果比較，其各階頻率的誤差如表2所示。

表2 修正前后的模態頻率對比Table2 Modal frequency before and afterupdating

從表2可知：在模型修正前各階頻率誤差最大值為-16.49%，絕對平均誤差為8.42%；經過模型修正后，各階頻率誤差最大值為-3.45%，絕對平均誤差為1.45%。故經過模型修正，結構模態頻率誤差得到有效減小。

分別基于修正前和修正后的待修正參數值計算加筋壁板結構試驗測試對應位置的多響應頻響函數，并與試驗測試結果比較。修正前后加速度測點5處的頻響函數以及應變測點4處的頻響函數與對應試驗頻響函數的對比如圖3所示。

圖3 修正前后多響應頻響函數對比Fig.3 Comparison ofmulti response FRF

與修正前相比，修正后加速度頻響函數的形狀相關系數均值從0.61提高至0.88，幅值相關系數均值從0.59提高至0.88；應變頻響函數的形狀相關系數均值從0.62提高至0.84，幅值相關系數均值從0.59提高至0.79。修正前后加速度和應變頻響函數的2類相關系數變化如圖4所示。

由頻響函數相關系數以及對應的曲線對比可知，修正后兩類響應的頻響函數的相關系數均得到有效改善。上述現象表明：修正后2類響應的頻響函數更趨向于一致，即修正后模型更能表征結構真實的特性。

圖4 修正前后多響應頻響函數相關系數對比Fig.4 Correlation ofmultiresponse FRFs

4 結論

1)采用頻響函數作為目標響應可以為模型修正過程提供更豐富的響應信息，修正后模型能夠準確表征結構的模態信息。

2)聯合多響應頻響函數的模型修正得到的模型能夠同時復現用于修正的目標響應，修正后的模型是一個能同時反映結構加速度和應變特性的模型。

3)本文實現的聯合多響應頻響函數的加筋壁板結構模型修正具有較強的工程應用價值，為復雜工程結構的模型修正提供了可行的思路。