廣義余弦函數及一類二階抽象柯西問題研究

倉定幫，李慶慶，隋麗麗

(華北科技學院理學院，河北 三河 065201)

抽象空間中的算子微分方程初值問題是現代分析數學的一個重要的研究分支.其理論已經被廣泛的應用于分布參數系統的研究.自Hille在1952年引入抽象柯西問題的概念后，眾多的學者投身于該領域的研究.伴隨著抽象柯西問題的研究不斷深入，算子半群理論逐步成熟，強連續算子半群、積分半群等概念相繼被提出，并在解決一階抽象柯西問題中發揮著重要作用[1-7].在二階抽象柯西問題方面，余弦函數理論起著類似作用[8-18].正如人們熟知，如下二階抽象柯西問題：

(1)

(2)

及

(3)

系統(3)也被稱為二階廣義參數分布系統，它比一般的參數分布系統應用范圍更廣，在復合熱導體的溫度分布、超導電路中的電壓分布以及電纜系統中的信號傳播等問題的研究中經常被設計.例如，考慮彈性奇異梁的振動問題，它的兩個終端是固定的.這個問題的數學模型可以用下面的方程來描述：

(4)

其中，μ(t，x)∈Rn是位移向量，M(x)∈Rn×n是質量分布矩陣，通常為常數，是奇異的.f(x，t)是一個標量函數.方程(4)的邊值邊界條件為：

方程(4)可以用下面的Banach空間中的發展方程刻畫，令

μ(t)∈H，Bμ(t)(x)=My(t，x)，

(5)

可以將(4)轉化為(3)的形式.

本文借助算子半群相關理論，對抽象柯西問題(3)進行深入分析.實際上通過Laplace變換可得：

(6)

可以發現，要想通過Laplace變換解決問題(3)，可引入一類新的算子T(t)滿足如下形式：

(7)

下文將該算子稱為廣義余弦函數，其生成元記為(A，B).本文第二部分給出了廣義余弦函數的若干性質；第三部分討論廣義余弦函數擾動問題；第四部分和第五部分研究了廣義余弦算子的遍歷定理及問題(3)的適定性.

1 定義與性質

定義1B是Banach空間X中的有界線性算子，A是閉算子，ρ(B，A)={λ:λ∈C，(λ2B-A)-1}是X中的有界線性算子.令R(λ2B，A)=(λ2B-A)-1，將R(λ2B，A)稱為廣義正則集.

定義2B是Banach空間X中的有界線性算子，若有界線性算子{T(t):t≥0}滿足T(-t)=T(t)且：

T(t+s)+T(t-s)=2T(t)BT(s)，t≥0，s≥0.

(8)

稱T(t)為廣義余弦函數.

例令

性質1設B是Banach空間X中的有界線性算子，A是閉算子，T(t)是廣義算子半群，則

(9)

證明令Pλ=λ(λ2B-A)-1，則有

又有

同理

根據Laplace變換的唯一性，得證.

性質2假設T(t)是以(A，B)為生成元的廣義余弦函數，若T(t)指數有界，則

證明因為

λ2R(λ2B，A)B=

R(λ2B，A)(λ2B-A+A)=I+R(λ2B，A)A，

性質3假設T(t)是以(A，B)為生成元的廣義余弦函數，若T(t)指數有界，則

(10)

則

性質4假設T(t)是(A，B)以為生成元的廣義余弦函數，則

(11)

證明

又因為

再由Laplace變換的唯一性可以證得.

定理1設B是Banach空間X中的有界線性算子，A是閉算子，若存在常數M>0，使得

(12)

則存在一個廣義余弦函數T(t)以(A，B)為生成元.

證明令ω′>ω，Γ=ω′+i∞，?t≥0，定義

(13)

可以看出上面的積分在有限區間中是收斂的，再根據留數定理，可以得到：

得證.

2 逼近與擾動

定理2假設Tn(t)是以(An，Bn)為生成元的廣義余弦函數，并且滿足‖T(t)‖≤Meωt，若

證明因為

則據控制收斂定理可得

因為

令x=(λ2B0-A0)-1y，則有

‖Tn(t)Bn(λ2Bn-An)-1y-

T0(t)B0(λ2B0-A0)-1y‖≤

結合1)，2)以及

An(λ2Bn-An)-1=λ2(λ2Bn-An)-1Bn-I，

上式在n→∞時收斂于0，得證.

下面討論廣義余弦函數的擾動問題.假設T(t)是以(A1，B)為生成元的廣義余弦函數，A2為線性算子并且滿足

(14)

R(λ2B，A1+A2)=

(15)

證明因為T(t)是以(A1，B)為生成元的廣義余弦函數，則

令Reμ>λ0，λ=λ0+ilmμ，則

R(μ2B，A1)=

R(λ2B，A1)[I+(μ2-λ2)BR(μ2B，A1)]，

且

再由定理(3)可得：

從而(A1+A2，B)也是某一余弦函數的生成元.

3 遍歷定理

定義4假設T(t)是以(A，B)為生成元的廣義余弦函數，定義

(16)

實際上可以證明P1=P2=P3.一方面，由

‖λ2R(λ2B，A)-P2‖=

定理5T(t)是以(A，B)為生成元的廣義余弦函數，P是其阿貝爾遍歷極限，則

1)PBx=BPx，P2Bx=Px;

2)N(A)?R(PB)，R(A)?N(PB)，

R(P)?N(A)，N(P)?P(A);

3)T(t)BPx=Px.

證明1)據AB=BA，有PB=BP，又?x∈X，

2)另一方面，令x1∈N(A)，x2∈R(A)記x=x1+x2，存在y∈D(A)使得Ay=x2，進而

λ2(λ2B-A)-1Bx=

λ2(λ2B-A)-1B(x1+x2)=

λ2(λ2B-A)-1Bx1+λ2(λ2B-A)-1BAy=

(λ2B-A+A)(λ2B-A)-1x1+

λ2(λ2B-A)-1BAy=

x1+(λ2B-A)-1Ax1+

λ4(λ2B-A)-1B2y-λ2By→x1(λ→0)，

因為λ2A(λ2B-A)-1y=λ4(λ2B-A)-1By-λ2y,所以x∈D(A)且Ax=0，R(P)?N(A).進一步，?x∈N(P)，有

-A(λ2B-1)-1x=

x-λ2B(λ2B-A)-1x→x，(λ→0)，

所以N(P)?R(A).

3) 根據定義3可得

4 抽象柯西問題

本節研究如下抽象柯西問題的適應性問題：

(17)

引理1[17]令Q，N，H為有界算子，對于如下抽象柯西問題：

定義R(λ2)∶=(λ2Q-λN-H)-1，若

則上述抽象柯西問題是適定的.

g(0)=0，y(0)=0,

則

若Reλ>ω，

由Laplace變換的唯一性可得

y(t)=(λ2B-A)-1g(t)，y(t)∈D(A).

因而

再由Laplace變換的唯一性可得

即問題(17)有解：

下面證明解的唯一性.假設μ1(t)，μ2(t)都是原問題的解，令υ(t)=μ1(t)-μ2(t)，則υ(t)滿足：

再由引理1得到原問題有唯一零解，即μ1(t)=μ2(t).