超深層碳酸鹽巖儲層孔隙彈性動力學起裂規(guī)律

韋世明 夏陽 陳勉 盧運虎

1. 油氣資源與探測國家重點實驗室；2. 中國石油大學(北京)石油工程學院

0 引言

超深層碳酸鹽巖地層埋深超過6 000 m，儲層裂縫發(fā)育，鉆進過程易發(fā)生漏失。為保證不發(fā)生地層流體侵入和井噴，故要求鉆井液密度大于地層壓力當量密度，并在鉆井液中加入可酸溶暫堵劑，堵住漏失點。在堵漏劑承壓能力足夠的情況下，必須保證鉆井液不會壓裂地層。

以往對于井壁破裂壓力的計算沒有考慮到井眼周圍應(yīng)力場的時變特性，而且忽略了井筒與地層的流動耦合。井壁破裂模式主要可以分為H-W模式和H-F模式。Hubbert和Willis［1］在1957年通過三軸壓縮實驗總結(jié)出了H-W模式，Matthews和Kelly［2］在1967年提出的修正H-W模式，引入了骨架應(yīng)力系數(shù)代替經(jīng)驗性的上覆壓力系數(shù)，但骨架應(yīng)力系數(shù)的使用需要大量的實際壓裂資料，因此限制了此方法的應(yīng)用。1969年，Eton［3］認為上覆壓力梯度隨井深變化，并將地層看作是平面應(yīng)變問題求解，在H-W模式中引入了泊松比。Anderson［4］在1973年將Biot彈性多孔介質(zhì)理論引入到井壁問題分析，使用有效應(yīng)力系數(shù)修正孔隙壓力的影響，同時，Anderson首次提出由測井資料計算破裂壓力。Stephen［5］在1982年首次考慮構(gòu)造應(yīng)力對破裂壓力的影響。以上均是在H-W模式的基礎(chǔ)上進行修正，其最大的限制因素就是沒有考慮巖石抗拉強度的影響。黃榮樽［6］在1984年提出了黃氏模型，模型中引入了兩個水平方向的構(gòu)造應(yīng)力系數(shù)，并考慮了巖石抗拉強度的影響。黃氏模型與H-W模式形式上相同，因此可以歸為H-W模式的一種。HW模式始終沒有考慮滲流對破裂壓力的影響，Haimson與Fairhurst［7］在1967年提出的H-F模式結(jié)合了有效應(yīng)力與滲流的影響，認為井內(nèi)流體壓力的變化將引起井壁應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生變化，當井壁應(yīng)力超過巖石抗拉強度時發(fā)生破裂。

在鉆井過程中，新地層被瞬間揭開后，井壁上的應(yīng)力狀態(tài)瞬間發(fā)生變化，由此引起的井壁載荷變化將以彈性波的形式向地層內(nèi)部傳遞［8-10］；同時，井內(nèi)流體也將與地層發(fā)生滲流作用。本文使用Biot孔隙彈性動力學理論，采用H-F模式，將地層中的滲流看作是不穩(wěn)定滲流，研究了不同井底壓力引起的井周應(yīng)力場變化規(guī)律，以及井壁的破裂響應(yīng)規(guī)律。

1 物理模型

圖1是本文研究問題的物理模型，井眼形成后，在井壁上施加的載荷以彈性波的形式向地層內(nèi)部傳播，井壁上的載荷為井內(nèi)液柱壓力pw，在實際鉆井過程中隨時間發(fā)生變化。

圖1 處于兩向應(yīng)力狀態(tài)下的井眼—地層模型Fig. 1 Borehole-strata model in the state of two-dimension stress

考慮地層為平面應(yīng)力狀態(tài)，且兩個水平主應(yīng)力不相等，取水平主應(yīng)力方向為x-y軸，最大水平主應(yīng)力與最小水平主應(yīng)力分別為 σH, σh，原始地層壓力為p0。

2 數(shù)學模型

根據(jù)Biot孔隙彈性動力學理論［11］，假設(shè)井眼周圍的介質(zhì)為均質(zhì)且各向同性的固體-流體的兩相系統(tǒng)，則應(yīng)力張量 σij和平均孔隙壓力p為(本文采用拉為正、壓為負的記法)

其中

式中，?為梯度算子；G為巖石的剪切模量，MPa；?為孔隙度；K、Ks、Kf分別為干巖石、巖石骨架顆粒和孔隙流體的體積模量，MPa；Ku為飽和流體的巖石體積模量，MPa；分別為巖石內(nèi)部一點處的固體、流體的位移向量，m；δij為克羅內(nèi)克符號，當i=j時，δij=1，否則δij=0；eij為應(yīng)變分量；ui為固體位移分量，m；ui,j為位移導數(shù)，即ui,j=ui/xj，uj,i=uj/xi，xi與xj為坐標系；α為有效應(yīng)力系數(shù)。

根據(jù)孔隙彈性動力學理論，孔隙流體流動的連續(xù)性可由耦合平衡方程表示?？紤]孔隙流體的流動，Biot理論控制方程的位移形式為［12］

式中，ρs、ρf分別為巖石骨架的密度和孔隙流體的密度，kg/m3；v為巖石泊松比，k為巖石滲透率，μm2；μ為流體黏度，mPa· s 。

3 模型求解

圖1所示問題直接求解較為困難，故將其分解為一種軸對稱和一種非軸對稱問題［13-15］，分別進行求解后再疊加，這在很多問題中都可以起到降低求解難度的目的。

3.1 問題分解

遠場應(yīng)力可分為兩部分：兩向相等應(yīng)力作用的軸對稱模式和不等應(yīng)力作用的非軸對稱模式。(0)模式為軸對稱模式，(2)模式為非軸對稱模式。對式(3)和式(4)進行拉普拉斯變換，消去時間項，之后根據(jù)Xia等的推導結(jié)果［16］，兩種應(yīng)力模式疊加問題的拉氏空間解為

求解式(3)、(4)可以得到兩種模式中的解為

其中

式中，s為拉氏空間內(nèi)的時間具有時間量綱，時間已被換成了無因次時間，當無因次時間為1時，對應(yīng)的真實時間為2.87×10?5s。

將式(9)～(14)代入到式(6)～(8)即可得到圖1所示問題的解。

3.2 初始和邊界條件

在井眼被瞬間鉆開的極短時間內(nèi)，鉆井液內(nèi)的暫堵劑將對井壁進行封堵，在地層被壓裂之前，鉆井液在井眼與儲層間保持緩慢滲濾，故可將內(nèi)邊界看作是定壓邊界。

在所建極坐標下，邊界條件以增量形式，在拉氏空間表示為

初始條件為

式中，σrr、σθθ分別為徑向、切向的正應(yīng)力，MPa。

由以上邊界條件和初始條件，使用Stehfest算法［17-18］進行反演即可得到真實時間域的應(yīng)力場和孔隙壓力場。

3.3 破壞準則

文中采取“拉為正、壓為負”的記法，故隨著井底壓力和時間進行，地層中各點的第三主應(yīng)力將最先變?yōu)檎?。第三主?yīng)力可以寫作［19］

取破壞函數(shù)為σFailure，當σFailure>0時地層起裂

式中，σ3為地層最小主應(yīng)力，MPa；St為巖石抗拉強度，MPa。

4 結(jié)果及討論

選取塔河油田的一口深井的地層參數(shù)，具體參數(shù)見表1。

表1 所選地層的參數(shù)［20］Table 1 Parameters of the selected strata

4.1 井周應(yīng)力場分布

選擇井底壓力90 MPa，研究近井周圍地應(yīng)力隨時間變化規(guī)律。圖2給出了不同時間下井周應(yīng)力分布，井周應(yīng)力均采用原始平均地應(yīng)力進行了無因次處理。由圖2可知，徑向正應(yīng)力最大值始終在0°方向最大，周向正應(yīng)力在90°方向最小，切向應(yīng)力在45°方向最大，這與彈塑性力學求解結(jié)果相同［21］。但是，隨著時間的進行，井壁上的載荷變化向地層中傳遞，近井處的應(yīng)力場變化明顯。

4.2 不同井底壓力對起裂的影響

選擇不同的井底壓力，研究它們引起的最大水平應(yīng)力值在不同時刻的變化，選擇最容易發(fā)生破裂的點，即最大主應(yīng)力方向井壁處，得到圖3。由圖3可知，隨著時間的進行，井壁處的破壞函數(shù)逐漸增大，當井底壓力達到135 MPa時，井壁在tˉ=105時起裂；當井底壓力增大到150 MPa時，井壁的拉應(yīng)力迅速增大，在tˉ=64時即發(fā)生起裂。故增大井底壓力，不僅可以使井壁起裂，當井底壓力達到破裂壓力后，繼續(xù)增大井底壓力將加速井壁起裂。

圖2 不同時刻井周應(yīng)力分布Fig. 2 Stress distribution around the well at different time

圖3 危險點的破裂函數(shù)Fig. 3 The rupture function in the peril point

4.3 巖石彈性參數(shù)對起裂的影響

為了方便觀察井壁破壞程度，將破壞函數(shù)進行二值化處理得到式（22），即破壞函數(shù) σFailure大于0時令其為1，小于0時令其為0。

選取彈性模量和泊松比來表征各向同性均質(zhì)地層的力學性質(zhì)，圖4、圖5給出了井底壓力150 MPa，無因次時間100（即2.87×10?3s時）不同彈性模量（22、33、44 GPa）和泊松比（0.21、0.26、0.31）情況下的井壁起裂情況。由圖4可知，在選定時間點，井壁在原始最大水平主應(yīng)力方向均發(fā)生破裂，且起裂規(guī)模很接近，故彈性模量的變化對井壁起裂產(chǎn)生影響很小。由圖5可知，在選定的時間內(nèi)，當泊松比為0.21時，井壁沒有發(fā)生起裂；泊松比為0.31時，井壁發(fā)生起裂的范圍明顯大于泊松比為0.26的情況；由此可知，隨著泊松比的增大，井壁起裂對井底壓力的響應(yīng)更加迅速，起裂的范圍增大。

圖4 彈性模量對井壁起裂的影響Fig. 4 The influence of elasticity modulus on fracture intiation

圖5 泊松比對井壁起裂的影響Fig. 5 The influence of Poisson's ratio on fracture initiation

5 結(jié)論

(1)運用孔隙彈性動力學理論，研究了碳酸鹽巖儲層在鉆進過程中的瞬態(tài)拉伸破壞響應(yīng)。在儲層被鉆開的瞬間，井壁上受到的載荷變化以壓力波的形式向地層內(nèi)傳播，引起井眼周圍的地應(yīng)力和孔隙壓力發(fā)生明顯變化。

(2)選擇塔河一口井為算例，在鉆開井眼的瞬間，井壁上所受到的最大拉應(yīng)力尚不至于引起井壁拉伸破壞，但是在很短時間內(nèi)，隨著時間進行，井壁上的最大拉應(yīng)力迅速增大，當井內(nèi)壓力達到135 MPa時，井壁在tˉ=150，即經(jīng)過4.3×10?3s起裂。

(3)井底壓力越高、地層泊松比越大，井壁的起裂響應(yīng)越迅速?？紤]到所選井的垂深為6 980 m，以及鉆井液在循環(huán)過程中的摩阻，由此給出塔河深部碳酸鹽巖油藏在儲層鉆進時，最大安全鉆井液的密度不能超過1.93 g/cm3。如果繼續(xù)增大井底壓力，則地層迅速起裂。