一種計算底水油藏水錐形態(tài)與見水時間的新方法

杜殿發(fā) 張彬 夏曦 黃時禎 吳震

1. 中國石油大學(xué)(華東)非常規(guī)油氣開發(fā)教育部重點實驗室；2. 中國石油大學(xué)(華東)石油工程學(xué)院；3. 中國石油天然氣股份有限公司塔里木油田分公司

底水油藏開發(fā)不可避免遇到底水錐進(jìn)問題，油井見水后產(chǎn)量下降，影響油藏開發(fā)效率[1-3]。研究底水錐進(jìn)問題的關(guān)鍵在于確定油井生產(chǎn)時地層垂向壓差與水錐重力勢能的平衡關(guān)系，所以就需要準(zhǔn)確地描述底水錐進(jìn)過程中儲層壓力的變化。李傳亮[4-5]提出的Dupuit公式假設(shè)底水油藏的流態(tài)為平面徑向流，并認(rèn)為徑向壓差近似等于垂向壓差，該方法對于部分射開井忽略了球形流動狀態(tài)。因此一些學(xué)者采用不同的流態(tài)描述底水油藏的錐進(jìn)問題，如球面向心流[6]、平面徑向流[7]、半球面向心流相結(jié)合[8-9]等,但此類模型對于厚油藏與部分射開井均未考慮球面向心流與平面徑向流的過渡過程。涂彬[10]、谷建偉[11]、蔣平[12]雖然考慮了油藏實際流態(tài)的過渡特征，但未考慮實際地層壓力分布特征。上述模型均假設(shè)油水界面至井底的壓力分布為線性變化，忽略了實際油井生產(chǎn)時地層壓降集中于井底附近的實際情況，因此假設(shè)壓力分布為線性變化計算底水錐進(jìn)問題存在不足。綜上所述，對于目前各方法存在的不合理性，針對部分射開油井考慮實際地層變壓力梯度分布建立數(shù)學(xué)模型，并采用數(shù)值反演準(zhǔn)確計算地層壓力分布規(guī)律，研究水錐形態(tài)及影響因素，為底水油藏開發(fā)提供理論依據(jù)。

1 部分射開井理論模型建立

實際生產(chǎn)中許多油井射孔生產(chǎn)層位于油藏中部，油井生產(chǎn)狀態(tài)不再是簡單的射孔段平面徑向流、射孔段下部半球狀向心流。因此基于基本滲流微分方程建立底水油藏中部的部分射開井?dāng)?shù)學(xué)模型，并采用Stehfest數(shù)值反演及分離變量法對所建模型的拉普拉斯變換式進(jìn)行求解，得到真實的地層壓力分布；進(jìn)而研究油井在任意產(chǎn)量下生產(chǎn)時水錐的變化形態(tài)和油井見水時間等問題。

1.1 物理模型

部分射開井開發(fā)底水油藏模型如圖1所示，基本假設(shè)為：忽略重力、毛管力；開井生產(chǎn)前地層壓力均勻分布為pi；流體流動滿足達(dá)西定律；油藏等厚無限大，頂邊界為封閉邊界，底邊界為底水定壓邊界；油井只射開Zb?Za厚度，以定產(chǎn)量q生產(chǎn)；地層垂向和水平滲透率分別為Kv、Kh。其中，Za為油層上部未射開段厚度，m；Zb為射開段至油層頂?shù)木嚯x，m；h為儲層有效厚度，m；q為油井產(chǎn)量，m3/s；Kv為地層垂向滲透率，10?3μm2；Kh為地層水平滲透率，10?3μm2。

圖1 假設(shè)部分射開井地層示意圖Fig. 1 Schematic formation in assumed perforated wells

1.2 數(shù)學(xué)模型

定義如下無因次變量為

式中，pD為無因次壓力；pi為地層原始壓力，MPa；p為儲層某一點的壓力，MPa；μ為原油黏度，mPa · s；B為原油體積系數(shù)；tD為無因次生產(chǎn)時間；t為生產(chǎn)時間，s；?為孔隙度，小數(shù)；Ct為綜合壓縮系數(shù)，MPa?1；rw為井筒半徑，m；CD為無因次井筒儲集系數(shù)；C為井筒儲集系數(shù)；rD為無因次半徑；r為儲層某點距井筒水平距離，m；ZD為無因次射孔高度；Z為射孔高度，m；hD為無因次儲層厚度；LD為無因次射孔厚度。

由無因次變量定義以及基本假設(shè)，可以得到底水油藏部分射開井無因次數(shù)學(xué)滲流模型［13］，綜合滲流微分方程為

初始條件為

頂部封閉邊界為

底部定壓邊界(底水定壓邊界)為

外邊界條件為

內(nèi)邊界條件為

式中，ZaD為射孔頂處無因次高度；ZbD為射孔底處無因次高度。

2 模型求解

對以上數(shù)學(xué)模型進(jìn)行Laplace變換，并采用分離變量法進(jìn)行求解，可以得到Laplace空間中底水油藏部分射開井的壓力分布情況為

最后采用Stehfest數(shù)值反演得到真實空間下底水油藏部分射開井的壓力動態(tài)。

1.2.3 與物理方法復(fù)合使用 研究發(fā)現(xiàn)，拮抗菌復(fù)合熱處理、紫外處理在柑橘青霉病和桃果實軟腐病等多種果蔬病害生物防治中效果顯著[1]。例如，Xu等[23]發(fā)現(xiàn)，Candida guilliermondii和UV-C復(fù)合使用能夠有效控制梨果實采后青霉和灰霉的發(fā)生，而拮抗菌的生長并不受UV-C的影響。此外，復(fù)合處理誘導(dǎo)提高了梨果實幾丁質(zhì)酶、β-1,3-葡聚糖酶、過氧化氫酶和過氧化物酶的活性。Alvindia等[24]將Trichoderma harzianum DGA01和熱水處理復(fù)合來防治香蕉冠腐病，顯著降低了香蕉冠腐病發(fā)病率，并且香蕉的果實品質(zhì)也明顯高于殺菌劑浸泡處理組。

3 水錐參數(shù)計算

3.1 生產(chǎn)動態(tài)壓力分析

上述模型得到部分射開井的井底壓差變化分為3個階段，在第3階段壓差趨于穩(wěn)定。由于井底壓差達(dá)到穩(wěn)定前的生產(chǎn)時間占整個生產(chǎn)過程的比重非常小，為方便計算和分析，將采用井底壓差達(dá)到穩(wěn)定后的結(jié)果進(jìn)行相關(guān)參數(shù)計算。為了更直觀地分析地層流體的滲流場，繪制底水油藏的等壓線(圖2)。

圖2 部分射開井地層等壓線圖Fig. 2 Isobaric contour map of the formations in some perforated wells

由水動力學(xué)可知，地層任一點的瞬時速度矢量都與等壓線正交，則由圖2可判斷部分射開井生產(chǎn)時地層流體的運動軌跡。并由圖2可知以井底為平面可將地層的流動劃分為上下兩部分：上半部分以徑向流動為主，而下半部分以垂向流動為主。通過等壓線的密集程度可看出，主要壓力降分布于井筒周圍，離井筒距離越近，壓降速度越快，流體運動速度越快。同時上半部分等壓線隨著半徑的增大逐漸變得稀疏，說明隨著半徑的增大，地層流體的運動速度減慢，即遠(yuǎn)井地帶的儲量難以動用，使得底水油藏的采收率遠(yuǎn)低于常規(guī)邊水或人工水驅(qū)油藏；而下半部分等壓線隨著半徑的增大也逐漸變得稀疏，垂向壓力梯度呈遞減趨勢，所以相同時間內(nèi)流體垂向的運行距離隨半徑的增大而減小，形成水錐。

計算井底至油水界面各點垂向壓力梯度變化規(guī)律如圖3所示。

圖3 井底至油水界面各點垂向壓力導(dǎo)數(shù)Fig. 3 Derivative of each vertical pressure from the bottom hole to the oil-water contact

常規(guī)解析公式的見水時間計算方法是通過線性的壓力梯度來計算水質(zhì)點的驅(qū)動壓差，但由圖3可知，實際開發(fā)中垂向壓力梯度并不是線性而是類似“L”形分布，這表明主要壓力降在距離井底附近區(qū)域，油水界面處垂向壓力梯度低，底水向上錐進(jìn)動力弱，因此底水錐進(jìn)速度慢、見水時間大、無水采油期長。如果使用簡單的線性分布計算，油水界面處垂向壓力梯度相對較高，底水上升較快，使得無水采油期較短。另外，根據(jù)該垂向壓力梯度分布可知在理論上不存在臨界產(chǎn)量，因為使水錐穩(wěn)定在某處的前提條件是該點垂向壓力梯度的值為(ρw?ρo)g（ρw為地層水密度，kg/m3；ρo儲層原油密度，kg/m3）［14］。如果按照常規(guī)分析方法將判斷點選在井底并以此計算臨界產(chǎn)量的話，那么在油水界面處的壓力梯度將遠(yuǎn)小于井底的壓力梯度，即油水界面的壓力梯度遠(yuǎn)小于(ρw?ρo)g，這樣底水將不會繼續(xù)向上錐進(jìn)，同樣如果選擇油水界面附近為參考點，那么井底處的壓力梯度會遠(yuǎn)大于(ρw?ρo)g，則水錐仍不能穩(wěn)定。

3.2 見水時間的計算

由達(dá)西滲流定律可知地層任一點向上的滲流速度為

式中，p為地層任一點處的壓差，MPa。

改寫為

由定壓邊界向井底積分可以得到水質(zhì)點在定產(chǎn)量下到達(dá)井底的時間為

式中，Δp'為任意高度處距井底壓差，MPa；Δρ為油水密度差，kg/m3。

通過上述公式可求得井底至油水界面各點垂向壓力梯度如圖2所示。將該壓力梯度帶入公式(19)可求得目標(biāo)井見水時間。

3.3 水錐形態(tài)

水質(zhì)點由油水界面垂向運動到Z1處所需的時間為

將已求得任意半徑r處垂向壓力梯度代入上式

即可求得t1時刻任意半徑r處的水錐高度Zn。通過計算目標(biāo)井下部底水錐進(jìn)至井筒垂向的不同位置的時間，可計算出在不同時間下不同半徑處各點水錐高度。

3.4 見水時間和水錐形態(tài)的影響因素

(1)產(chǎn)量。經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)隨著產(chǎn)量的減小，油井見水時間延長，井底水錐的錐體兩側(cè)更“窄”，整個錐體更“尖”，這種趨勢在油井產(chǎn)量較小時的變化最為明顯，隨著產(chǎn)量進(jìn)一步提高整個錐體變化并不明顯。無水采油量隨油井產(chǎn)量的提高而減小，但顯著遞減同樣發(fā)生在產(chǎn)量較小時。這是因為當(dāng)油井產(chǎn)量較小時，地層垂向梯度受(ρw?ρo)g影響明顯，垂向供油量變化占比總供油量變化較大，但當(dāng)產(chǎn)量較大時(ρw?ρo)g影響較小，隨著徑向供油量提升，垂向供油量的變化對總供油量變化影響減弱。不同產(chǎn)量下油井見水時的水錐形態(tài)如圖4所示。

(2)垂向滲透率。如圖5所示，隨著地層各向異性比Kh/Kv增大，地層非均質(zhì)性越強，垂向滲透率越小，相同產(chǎn)量下底水錐進(jìn)速度越慢，水錐錐體越小，無水采油期越長，無水采油量也就越大。

3.5 實例驗證

目標(biāo)區(qū)塊原始地層壓力50.63 MPa，經(jīng)過近20年的開發(fā)，目前實測地層壓力47.65 MPa，壓力保持程度94.1%，為天然能量充足油藏，符合模型假設(shè)條件。物性資料：日產(chǎn)量為76 m3/d，原油體積系數(shù)為1.12，徑向滲透率為0.415 μm2，垂向滲透率為41.5×10?3μm2，孔隙度為20%，無水采油期為125 d，油層厚度為19.5 m，射開厚度為10 m，靜壓為50.34 MPa，流壓為49.24 MPa，避水高度為9.5 m，原油黏度為4.18 mPa · s；原油密度為830 kg/m3。

圖4 不同產(chǎn)量下油井見水時的水錐形態(tài)Fig. 4 Breakthrough water cone shape at different yields

圖5 不同地層各向異性比下油井見水時的水錐形態(tài)Fig. 5 Breakthrough water cone shape at different formation anisotropy ratios

經(jīng)過模型計算目標(biāo)井見水時間為110 d，與實際無水采油期125 d較為接近，但如果以常規(guī)底水油藏解析公式計算見水時間為30 d左右，因為常規(guī)解析公式的見水時間計算方法是通過線性的壓力梯度來計算水質(zhì)點的驅(qū)動壓差，這就使見水時間計算結(jié)果要低于實際值。目標(biāo)井底水錐形態(tài)變化如圖6所示。

圖6 目標(biāo)井水錐形態(tài)變化Fig. 6 Change of water cone shape of the target well

4 結(jié)論

(1)基于部分射開井的壓力動態(tài)給出了一種計算油井見水時間和水錐形態(tài)的新方法，該方法可以更加準(zhǔn)確地描述底水油藏開發(fā)的壓力動態(tài)和底水錐進(jìn)情況。

(2)通過分析底水油藏油井生產(chǎn)時的垂向壓力梯度分布發(fā)現(xiàn)：底水油藏開發(fā)過程中垂向壓力梯度并不是線性分布而是類似“L”形分布，即主要壓力降在離井底較近的地方，如果基于常規(guī)方法中假設(shè)壓力梯度為定值的方法計算見水時間，其結(jié)果偏小。

(3)基于理論模型分析了產(chǎn)量和垂向滲透率對底水錐進(jìn)的影響，結(jié)果表明：隨著產(chǎn)量的減小，油井見水時間延長，井底水錐的錐體兩側(cè)更“窄”，整個錐體更“尖”，該趨勢在油井產(chǎn)量較小時的變化最為明顯；而隨著垂向滲透率的增大，水錐錐體也不斷增大，無水采油期越短。