低通濾波下約束對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵的圖像漸暈校正

周思羽，包國琦，劉 凱*

（1.四川大學(xué)電氣工程學(xué)院，成都 610065；2.廣東省公安廳，廣州 510050）

（?通信作者電子郵箱kailiu@scu.edu.cn）

0 引言

隨著離軸距離的增加，光線經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)的有效孔徑減小，導(dǎo)致了從中心到邊緣非線性的緩慢的光衰減，圖像呈現(xiàn)出中心亮四周較暗的特征，稱為漸暈效應(yīng)，它會(huì)影響圖像質(zhì)量，增大目標(biāo)檢測的難度。因此，在計(jì)算機(jī)視覺應(yīng)用和圖像處理領(lǐng)域需要進(jìn)行漸暈校正，尤其在航拍圖分析［1-3］、圖像分割［4-7］、顯微圖分析［8-10］、圖像的拼接［11-13］等領(lǐng)域。

目前漸暈校正方法分為兩大類：參考目標(biāo)法和基于圖像的方法。

參考目標(biāo)法需要一個(gè)白色的平面作為參考圖像以及光照均勻的拍攝環(huán)境，再利用參數(shù)模型擬合漸暈，如多項(xiàng)式模型［14］、雙曲余弦模型［15］、指數(shù)多項(xiàng)式模型［16］、拋物線模型［17］。該方法精度高，但需要校準(zhǔn)［18］，只適用某一固定的鏡頭參數(shù)設(shè)置和孔徑大小，當(dāng)使用不同的鏡頭參數(shù)設(shè)置或者光圈大小，需要重新估計(jì)漸暈。

基于圖像法則可以分為多幅圖像和單個(gè)圖像兩類。基于多幅圖像的漸暈校正［1，19-21］利用相同場景點(diǎn)在不同圖像中的像素差異計(jì)算暈影，但是多幅圖像并不易得，實(shí)用性較差。單個(gè)圖像的漸暈校正［14，22-24］更具靈活性，其中：Zheng等［6］提出基于圖像分割的校正方法，但校正效果受到分割精確度的影響；Cho 等［23］提出了基于徑向亮度通道校正漸暈，它在一維中工作，提高了計(jì)算速度和減少了存儲(chǔ)成本；He 等［25］把最速下降法運(yùn)用到Gauss 二次曲面參數(shù)估計(jì)中，不需要相關(guān)的光學(xué)和幾何參數(shù)，該校正方法可廣泛應(yīng)用于工程中；Lopez-Fuentes等［26］通過最小化圖像的對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵來校正漸暈，盡管該方法已被證明比Zheng 等［22］提出的算法更快更精確，但該方法存在易過度校正的缺點(diǎn)。

受文獻(xiàn)［26］的啟發(fā)，本文在多項(xiàng)式模型的基礎(chǔ)上提出了低通濾波［27］下約束對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵的圖像漸暈校正。對(duì)漸暈圖像進(jìn)行低通濾波能獲取目標(biāo)對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵，該熵作為漸暈圖像校正過程中對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵最小化的底線，從而控制校正的力度。使用偶數(shù)項(xiàng)的六階多項(xiàng)式函數(shù)建立漸暈?zāi)Ｐ停诩葷M足漸暈的變化規(guī)律又使圖像的對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵最小化的情況下求得漸暈?zāi)Ｐ偷淖顑?yōu)參數(shù)解。在該最優(yōu)解下能有效消除漸暈現(xiàn)象，完成圖像漸暈校正。

1 漸暈的產(chǎn)生

相機(jī)在遠(yuǎn)距離成像時(shí)，隨著視場角的增大，通過照相物鏡的斜光束的截面面積將逐漸減小，從而導(dǎo)致獲取影像中間亮、邊緣暗，這就是光學(xué)系統(tǒng)中的漸暈現(xiàn)象。根據(jù)光學(xué)理論的相關(guān)知識(shí)，軸外像點(diǎn)的照度Eω近似表示［28］為：

式中：E0為軸上像點(diǎn)的照度；ω為半視場角；l為像點(diǎn)處的漸暈系數(shù)。

漸暈的變化規(guī)律如圖1 所示，對(duì)比漸暈校正前后圖像中某行像素的變化，觀察圖1（c）和圖1（d）：校正圖像的亮度均勻分布，同行像素值在同水平線上上下波動(dòng)；而漸暈圖像的同行像素值由漸暈中心向兩端衰減。

圖1 漸暈校正前后對(duì)比Fig.1 Contrast before and after vignetting correction

根據(jù)漸暈的變化規(guī)律，總結(jié)漸暈校正的過程為：擬合漸暈，通過求出每個(gè)像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)的漸暈系數(shù)校正漸暈。漸暈的擬合可以是局部方式：逐行擬合每個(gè)像素的漸暈系數(shù)；也可以是全局方式：直接擬合整個(gè)圖像平面的像素的漸暈系數(shù)。文獻(xiàn)［14］采用的是局部方式，本文是全局方式。

2 本文方法

2.1 對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵

圖像的對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵通常用來衡量圖像所包含信息量的多少。文獻(xiàn)［29］中證明了圖像對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵可以作為漸暈校正的判據(jù)，該方法的基本假設(shè)是，在不存在漸暈時(shí)，均勻物體應(yīng)以均勻的強(qiáng)度成像，并且對(duì)應(yīng)于具有單一峰值和低熵的尖銳直方圖。空間上變化的亮度會(huì)改變直方圖的單峰區(qū)域，比如漸暈的加入，會(huì)擴(kuò)寬這一高峰，說明漸暈引入了額外的信息量，導(dǎo)致對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵增大。因此，可以通過減少對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵達(dá)到減少漸暈的目的。對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵H由下面的公式計(jì)算得到：

其中：k代表灰度值(0 ≤k≤255)，pk表示灰度k在圖像中出現(xiàn)的概率。

文獻(xiàn)［26］方法存在過度校正的現(xiàn)象，如圖2 所示：與圖2（b）相比較，圖2（c）的對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵大大減小，漸暈被校正；但圖2（c）遠(yuǎn)小于圖2（a）的對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵，因此校正過度。理想的校正圖像應(yīng)與原圖像的色調(diào)保持一致，則需要校正圖像與原圖像的對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵十分接近。

圖2 文獻(xiàn)［26］方法的過度校正結(jié)果Fig.2 Overcorrection results of method in literature［26］

2.2 漸暈?zāi)Ｐ偷慕?/h3>

Goldman 等［30］提出所有顏色通道的漸暈相應(yīng)都相同，并且圍繞圖像漸暈中心徑向?qū)ΨQ，故漸暈函數(shù)fv可以由徑向距離參數(shù)化，這里使用偶數(shù)項(xiàng)的六階多項(xiàng)式函數(shù)來描述漸暈：

其中：αn(n=1，2，3)是擬合漸暈的參數(shù)。對(duì)于圖像中的某一點(diǎn)(i，j)，其徑向距離r(i，j)為：

其中：(ic，jc)和(t1，t2)分別是圖像的漸暈中心、離漸暈中心最遠(yuǎn)的圖像頂點(diǎn)。漸暈中心與圖像中心不一定重合［31］，圖3 展示了漸暈中心不在圖像中心的情況。

通常，漸暈fv與漸暈圖像Iv之間的關(guān)系可以表示為：

其中：Io是無漸暈的原圖像。那么，對(duì)漸暈圖像采用fv的逆向補(bǔ)償便可得到校正圖像Ic：

結(jié)合式（3）和式（6）可知漸暈校正結(jié)果的好壞取決于擬合漸暈是否準(zhǔn)確，因此，漸暈?zāi)Ｐ蛥?shù)αn(n=1，2，3)的選取至關(guān)重要。

圖3 圖像中心（+）與漸暈中心（*）Fig.3 Image center（+）and vignetting center（*）

2.3 參數(shù)最優(yōu)化

根據(jù)式（3）可知，fv是依賴于三個(gè)實(shí)際參數(shù)α1、α2和α3的函數(shù)，不是所有的參數(shù)都能滿足漸暈的變化規(guī)律。由此可知：參數(shù)α1、α2和α3必須滿足在0 ＜r＜1 區(qū)間使得fv為嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，即滿足以下條件(a)～(i)之一：

α1、α2和α3最優(yōu)值的判定準(zhǔn)則：滿足條件（a）～（i）之一并使圖像的對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵最小化，其中，通過對(duì)漸暈圖像進(jìn)行低通濾波來約束對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵最小化的范圍。

將漸暈圖像Iv與高斯核G卷積來提取漸暈v，這個(gè)過程被稱為低通濾波：

對(duì)圖像任意點(diǎn)(i，j)有：

其中：(ic，jc)是圖像漸暈中心；σ是標(biāo)準(zhǔn)偏差。

取不同σ值時(shí)，漸暈圖像通過低通濾波提取的漸暈如圖4所示。由圖4 可以看出，當(dāng)σ值足夠大時(shí)，圖像中的物體和結(jié)構(gòu)可以被平滑地去除并獲得v。

根據(jù)低通濾波提取到的v，經(jīng)過以下計(jì)算得到圖像Ie：

Ie與原圖像Io的對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵非常接近，因此，在校正過程中，將Ie的對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵作為Iv的對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵最小化過程中的約束，解決了文獻(xiàn)［26］方法因無限制地最小化Iv的對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵導(dǎo)致的過度校正的問題。

圖4 提取的漸暈Fig.4 Extracted vignetting

本文方法的具體步驟如下：

在本文方法的具體步驟中，步驟6）～21）是漸暈校正的過程，始終以低通濾波后步驟5）計(jì)算的圖像熵Ho作為最小化圖像熵的底線，以一個(gè)常數(shù)量δ控制參數(shù)α1、α2和α3值，最終求得滿足漸暈變化規(guī)律和使得圖像熵減少的最優(yōu)參數(shù)，從而得到最優(yōu)漸暈?zāi)Ｐ筒⑿Ｕ凉u暈。

圖5 展示了本文方法的校正過程。校正過程中，對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵逐漸減少的同時(shí)伴隨著漸暈也在減少，最終校正結(jié)果圖5（f）不僅均勻地消除了漸暈，還保持了原圖像的色調(diào)。

圖5 本文方法的校正過程以及對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵Fig.5 Correction process of proposed method and corresponding log-intensity entropy

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本章通過對(duì)自然漸暈圖像、人造漸暈圖像校正的實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證本文算法的有效性，仿真實(shí)驗(yàn)基于Matlab R2014a 版。圖6 顯示了本文方法校正自然漸暈圖像的結(jié)果，自然漸暈圖像均由攝像機(jī)拍取。對(duì)比漸暈校正前后，校正圖像灰度均勻分布，消除了漸暈對(duì)圖像質(zhì)量的影響。

圖6 自然漸暈圖像校正Fig.6 Natural vignetting image correction

為了探討本文方法對(duì)不同漸暈程度的圖像的校正效果，對(duì)無漸暈的圖像數(shù)據(jù)集添加多種程度的漸暈生成人造漸暈圖像數(shù)據(jù)集，獲取共計(jì)250 張漸暈圖。分別采用定性和定量的方式將本文方法與另外兩種具有代表性的圖像校正方法進(jìn)行校正結(jié)果比較，其中：文獻(xiàn)［14］方法通過局部方式逐行擬合漸暈系數(shù)，因此精度較高，缺點(diǎn)是速度一般；文獻(xiàn)［26］方法通過全局方式直接擬合整個(gè)圖像平面的漸暈系數(shù)，速度較快，但易發(fā)生過度校正的情況。

從南佛羅里達(dá)大學(xué)的圖像數(shù)據(jù)集選取50 張無漸暈的原圖像，然后用Kang?Weiss 簡化模型［22，32］中的離軸光衰因子A(r)對(duì)原圖像添加漸暈：

式中：f和r分別是相機(jī)的等效焦距、像素到光學(xué)中心的徑向距離。

首先要保證澳斯麥特爐系統(tǒng)微負(fù)壓，控制在-20 Pa左右，這樣才能及時(shí)把爐中物料及粉煤燃燒產(chǎn)生的煙氣及時(shí)排出，縮短煙氣在爐中的停留時(shí)間，降低反應(yīng)幾率。但是負(fù)壓也不能太大，如果過大會(huì)帶走大量熱量，增加燃料消耗，出現(xiàn)其他問題。澳斯麥特爐合理的負(fù)壓可以控制在-30 Pa左右。

輸入原圖像Io，通過Iv=Io A(r)得到漸暈圖像Iv，漸暈中心隨機(jī)生成，可以選取圖像中的任意點(diǎn)，該點(diǎn)作為應(yīng)用該因子A(r)的原點(diǎn)。選取5 種不同的焦距：f為200 mm、300 mm、500 mm、800 mm、1 000 mm，分別對(duì)原圖像添加了5 種不同程度的漸暈。圖7展示了原圖像和其5種不同漸暈程度的圖像，圖7（b）～（f）是利用不同焦距產(chǎn)生的不同漸暈程度的圖像，值得注意的是焦距越小，漸暈程度越大。

3.1 定性比較

圖8 為文獻(xiàn)［14］方法、文獻(xiàn)［26］方法以及本文方法的校正結(jié)果。文獻(xiàn)［14］方法通過逐行擬合漸暈，得到較好的校正效果，但存在校正力度不均勻的情況，例如第四行第三列圖像底部的漸暈校正效果比頂部好；文獻(xiàn)［26］方法在搜索對(duì)數(shù)強(qiáng)度熵的最小值時(shí)魯棒性較差，易導(dǎo)致過度校正，結(jié)果呈現(xiàn)明顯的亮度偏高和輕度模糊的情況。與文獻(xiàn)［14］的局部擬合方法相比，本文采用全局?jǐn)M合方法，保證了圖像整體校正力度的一致性，校正圖像的亮度更為均勻；與文獻(xiàn)［26］方法相比，本文方法魯棒性更好，體現(xiàn)在校正結(jié)果更接近原圖像。

3.2 定量比較

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性，本文采用結(jié)構(gòu)相似性指標(biāo)（Structural SIMilarity index，SSIM）和均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，與文獻(xiàn)［14］方法、文獻(xiàn)［26］方法進(jìn)行量化評(píng)估。原圖像作為校正圖像的比較基準(zhǔn)，計(jì)算的數(shù)值結(jié)果如表1所示。

測試圖像根據(jù)不同的f分為5 組，每組由漸暈程度一致的不同圖像組成，分別計(jì)算每組測試圖像的RMSE 與SSIM 值的平均值。RMSE值越低、SSIM值越大說明校正結(jié)果越好。

由表1 可知，文獻(xiàn)［14］方法、文獻(xiàn)［26］方法以及本文方法對(duì)高焦距、低漸暈的圖像均有較好的校正能力，漸暈程度越低，校正結(jié)果越接近原圖像。本文方法與文獻(xiàn)［14］方法相比，在RMSE、SSIM 指標(biāo)上略有優(yōu)勢；而在與文獻(xiàn)［26］方法的對(duì)比中，本文方法的校正結(jié)果優(yōu)勢更為明顯，每組結(jié)果在RMSE 上有明顯的縮小，在SSIM上有明顯的提高。

表1 中“時(shí)間”指標(biāo)表示漸暈圖像通過校正方法得到校正圖像結(jié)果這一過程在Matlab 中的運(yùn)行時(shí)間。由表1 的時(shí)間數(shù)據(jù)可知，本文方法校正效率最高，校正速度與文獻(xiàn)［14］方法相比有明顯優(yōu)勢，也比文獻(xiàn)［26］方法更快。

總體來說，本文方法在RSME、SSIM 和時(shí)間三個(gè)指標(biāo)上均優(yōu)于文獻(xiàn)［14］方法和文獻(xiàn)［26］方法，具有較好的魯棒性和簡便性。

表1 各個(gè)方法在不同漸暈程度中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Tab.1 Comparison of experimental results of different methods in different degrees of vignetting

圖8 不同方法的漸暈校正結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of vignetting correction results of different methods

4 結(jié)語

為了得到更加真實(shí)、自然的無漸暈的圖像，本文提出通過低通濾波獲取最小目標(biāo)圖像對(duì)數(shù)熵，從而控制了校正力度，找到最優(yōu)漸暈?zāi)Ｐ蛥?shù)解，有效地校正了漸暈。實(shí)驗(yàn)在客觀數(shù)據(jù)集上進(jìn)行的測試結(jié)果表明，本文方法不僅有效地恢復(fù)了圖像的灰度信息，而且與多種經(jīng)典算法結(jié)果對(duì)比，校正各種程度漸暈的圖像的能力在像素的均方根誤差以及結(jié)構(gòu)相似性上均能夠得到較好的成績，校正效率也更高。