對一道光學試題解析的探討

◇ 廣東 曹衛(wèi)東

第29屆全國中學生物理競賽決賽中的光學試題的參考答案,多年來一直受到質疑,絕大多數物理競賽參與者做出了不同于參考答案的解答．而筆者認為原參考答案是對的．本文通過分析試題中的光學原理,對試題參考答案進行論證,以糾正質疑者的錯解．

原題如圖1所示的光學系統(tǒng)由平行光管、載物臺和望遠鏡組成.已知望遠鏡物鏡L0的焦距為16.00 cm.在L0的焦平面P處,放置帶十字叉絲線的分劃板和亮十字物,如圖2所示.在載物臺上放置雙面平行的平面鏡M,通過望遠鏡的目鏡Le觀察時,能同時清楚地看到分劃板上的十字叉絲線和十字物經過L0折射、M反射、再經L0折射后在分劃板上所成的十字像,十字像位于A點,與上十字叉絲線的距離為5.2 mm.繞載物臺轉軸(沿豎直方向)轉動載物臺,使平面鏡轉180°,此時十字像位于B點,與上十字叉絲線的距離為18.8 mm.根據以上情況和數據可計算出,此時望遠鏡光軸與水平面的夾角為______rad;據此結果,調節(jié)望遠鏡,使其光軸與載物臺的轉軸垂直.

圖1

圖2

平行光管由十字縫S和凸透鏡L組成.去掉光學系統(tǒng)中的平面鏡M,并用鈉光燈照亮S.沿水平方向移動S,當S到平行光管中的透鏡L距離為8.25 cm時,通過望遠鏡目鏡能清楚地看到十字縫的像恰好成在分劃板中心十字叉絲線上,由此可以推知,L的焦距等于______cm.

將載物臺平面調至與載物臺的轉軸垂直,在載物臺上放置長、寬、高均為3.00 cm、折射率為1.52的分束棱鏡abcd(分束棱鏡由兩塊直角三棱鏡密接而成,接觸面既能透光又能反光)和待測凹球面鏡O,O到L的距離為15.00 cm,并保證分束棱鏡的ab面與圖3中的XX′軸垂直、凹球面鏡的光軸與圖3中的XX′軸重合;再將望遠鏡繞載物臺的中心軸轉90°,如圖3所示．向右移動S,當S移動的距離為3.75 cm時,通過望遠鏡目鏡剛好能看清楚十字縫S的像成在分劃板中心十字叉絲線上.試求凹球面鏡的曲率半徑.

答案0.037 5; 8.25; 47.74 cm(過程略).

常見錯誤解法很多競賽參與者,對第一空做出了錯解,其認為置物臺上的雙面平面鏡隨臺面轉動180°,成像位置發(fā)生變化,是因為雙面平面鏡鏡面與豎直軸存在夾角σ,如圖4,這一夾角即等于望遠鏡主光軸與水平面夾角．

圖4

這是對整個成像原理理解不清所致的錯解．

錯誤1:認為雙面平面鏡與豎直軸存在夾角σ,當置物臺轉動180°時,相應反射光線轉過2σ．事實上,置物臺轉動180°,相當于反射面轉過2σ,鏡面法線轉過2σ,反射光線將轉過4σ．兩次成像位置不同,正是因為這一夾角的存在導致的．

錯誤2:認為雙面平面鏡與豎直軸間存在的夾角,與望遠鏡主光軸與水平面的夾角相等．事實上,二者并無關聯．望遠鏡主光軸與水平面的夾角,導致的結果是成像不在上十字叉絲處,而不是兩次成像位置的不同．基于以上錯解過程,筆者決定從成像原理的角度對該題進行詳細分析,以糾正錯解．

成像光路分析:圖5為系統(tǒng)調試完成后,望遠鏡光軸水平,雙面平面鏡M豎直時的成像光路圖．

圖5

成像過程為:分劃板處于望遠鏡物鏡L0的右焦平面上．分劃板下的十字物發(fā)出的光經望遠鏡物鏡L0折射后,變?yōu)槠叫泄?平行光經平面鏡M反射后,再次經L0折射,成像在分劃板的上十字叉絲處(圖中兩支特殊光線與主光軸成θ1和θ2,而且兩角相等)．將平面鏡M繞豎直軸轉過180°,由于雙面鏡面豎直,故仍然成像在上十字叉絲處．

該題裝置調試有兩個異常:1)雙面平面鏡M不在豎直面上;2)望遠鏡L0的主光軸不在水平面內．

1)若望遠鏡物鏡L0主光軸水平,但平面鏡M與豎直軸存在小夾角δ.

如圖6左圖,反射光相對圖5將向上轉過2δ,成像點在上十字叉絲上方2δf0處(如圖7右圖A1點);當鏡面轉過180°,如圖6右圖時,反射光將向下轉過2δ,成像點在上十字叉絲下方2δf0處(如圖7右圖B1點)．其中f0為望遠鏡物鏡焦距．

圖6 圖7

由此得兩次成像點A1和B1的距離Δh=4δf0.

修正方案:調整平面鏡姿態(tài),使其繞豎直軸轉動180°前后,成像點位置重疊．

2)若平面鏡M豎直,但物鏡L0主光軸與水平方向成小角度σ.

如圖8,平面鏡M豎直放置,物鏡L0主光軸順時針偏過小角度σ,將導致分劃板上的成像點上移．若就此,將平面鏡M順時針轉過小角度σ,則L0主光軸和平面鏡M垂直,相應成像點將移至上十字叉絲處．結合異常1)的分析,可知物鏡L0主光軸偏離水平方向小角度σ時,分劃板上成像點將偏離十字叉絲Δh′=4σf0;同理,若L0主光軸逆時針偏過小角度σ,將導致分劃板上的成像點下移．

圖8

修正方案:根據觀察到的成像點相對上十字叉絲的位置關系,調整望遠鏡的方位,使得平面鏡轉動180°前后,成像點位置重疊在上十字叉絲處．

小結1)若雙面平面鏡M不在豎直平面內,將導致置物臺轉動180°前后,十字物在分劃板上的成像不能重疊．2)望遠鏡物鏡L0主光軸不在水平面內,將導致十字物在分劃板上的成像偏離上十字叉絲．

由以上分析,試題正確解答如下:

置物臺轉動180°前后,像點分別落在A和B,參考異常1)的分析，AB間距Δh=(18.8-5.2) mm=4δf0, 由f0=16.0 cm,得平面鏡M與豎直軸成δ=0.021 25 rad.

這一偏離,由望遠鏡物鏡L0主光軸與水平面間夾角σ所致．h=4σf0,得σ=0.037 5 rad.

P在L0的焦平面上,S經L成像后,又經L0成像在分劃板,表明S發(fā)出的光經L折射后,成為平行光束,故S位于L的焦點處．L的焦距f=8.25 cm.

S發(fā)出的光,經L、分束棱鏡(折射)、凹面鏡、分束棱鏡(反射),成為平行光束,再經L0會聚在L0焦平面P．可知:分束棱鏡折射成像在凹面鏡焦點處．設凹面鏡半徑為R,依多次成像原理進行計算:u1=8.25 cm-3.75 cm=4.5 cm,得v1=-9.9 cm.