巧轉三點共線，妙求最值問題
——一道向量問題的多解剖析

◇ 山東 葛洪雷

美國著名數學家哈爾莫斯曾說過問題是數學的心臟.如何提升學生的解題能力,是每位老師都要思考的重要問題.經過理論和教學實踐證明,一題多解是提高解題能力的有效途徑.在呈現不同解法的同時,展現思維過程,使學生能力得以拓展與提升.

分析平面向量的線性運算問題一直是高考中的常見題型,而涉及平面向量的線性運算與函數、不等式以及最值等交會與綜合的問題,則具有一定的創新性,難度較大.

解法1(阿波羅尼斯圓法)由BC=6,AC=2AB,可知點A的軌跡是一個圓,以BC所在的直線為x軸,建立如圖1所示的平面直角坐標系,可知B(2,0),C(8,0),則點A的軌跡方程為x2+y2=16,取線段AC的中點E,延長AB至點F,使得AB=BF,則有

圖1

解法2(三角函數法)如圖2,取線段AC的中點N,延長AB至點M,使得AB=BM.

設AN=t,則AC=2t,AB=BM=t,則有

圖2

在△ABC中,由余弦定理可得

根據同角三角函數基本關系式可得

所以