探究“轉化法”構造函數求證不等式的策略

◇ 甘肅 王會軍

利用“轉化法”構造函數求證不等式是指通過構造函數,將不等式問題轉化為函數的單調性問題進行處理,從而降低難度,使問題得以求證．

1 求證一元不等式問題

g′(x)=ex(f(x)+f′(x)-1),

結合f(x)+f′(x)>1,可知g′(x)>0,因此函數g(x)=ex(f(x)-1)在定義域R上單調遞增．而exf(x)>ex+1可變形為ex(f(x)-1)>1,由于f(0)=2,可知

e0(f(0)-1)=1×(2-1)=1,

由此可用e0(f(0)-1)代替1,所求不等式就變成

ex(f(x)-1)>e0(f(0)-1).

由于g(x)=ex(f(x)-1)在定義域R上單調遞增,所以易知當x>0時，ex(f(x)-1)>e0(f(0)-1)必成立.

綜上,exf(x)>ex+1的解集為(0,+∞)．

2 求證雙變元不等式問題