探究導(dǎo)函數(shù)“隱零點”問題的處理策略

◇ 廣東 何仲信

導(dǎo)數(shù)是求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、最值以及與數(shù)列或函數(shù)有關(guān)的不等式問題的重要方法.因為導(dǎo)函數(shù)中常常含有sinx,cosx,lnx,ex等,使得導(dǎo)函數(shù)的零點無法求解,但利用零點存在定理可判斷出其零點是存在的,這種零點我們常稱之為“隱零點”．導(dǎo)函數(shù)的“隱零點”是命題的重點,也是學(xué)生解題的難點,本文對常用的處理策略進行歸納總結(jié),以期幫助讀者順利解題．

1 策略歸納

對于導(dǎo)函數(shù)的“隱零點”問題,筆者歸納總結(jié)出了常用的處理方法,主要有如下6種．

1) 二次求導(dǎo)

對導(dǎo)函數(shù)f′(x)再次求導(dǎo),得到f″(x),再通過f″(x)的正負(fù)判斷,得出f′(x)的單調(diào)區(qū)間及最值,若f′min(x)≥0,則f(x)單調(diào)遞增;若f′max(x)≤0,則f(x)單調(diào)遞減．

2)設(shè)而不求

若導(dǎo)函數(shù)的零點無法求解,但利用零點的存在定理判斷零點是存在的,就可以設(shè)出零點,并確定零點的范圍,得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而表示出函數(shù)的最值．在問題的求解過程中,并沒有求出零點的具體值,而是用所設(shè)的變量來表示,這種方法稱為設(shè)而不求法．

3)零點分段討論

求導(dǎo)后若導(dǎo)函數(shù)的零點無法求出,但可求出構(gòu)成導(dǎo)函數(shù)的基本初等函數(shù)的零點,以這些零點為分段點,討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)．

4)放縮函數(shù)

證明不等式f(x)>a,常規(guī)方法是直接求函數(shù)f(x)的最值,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點不易求解時,若能找到一個中間函數(shù)g(x),有f(x)≥g(x),且能證明g(x)>a,則可得f(x)>a．函數(shù)g(x)的尋找可通過將函數(shù)f(x)進行恰當(dāng)放縮得到．

5)局部分析

若f(x)可表示為g(x)與h(x)的和或差,則可分別對g(x),h(x)進行求導(dǎo),研究函數(shù)的最值,即局部求導(dǎo),進而研究f(x)的最值．由于這種方法會擴大或縮小函數(shù)值域,具有一定的局限性,只適用于某些不等式的證明問題．

6)轉(zhuǎn)化函數(shù)

2 典例說明

對某一問題有時用上述多種策略中的某種即均可處理,有時需要綜合應(yīng)用多種策略．下面舉例說明．

(1)求a;

(2)證明:f(x)>-1．

(2)由(1)得f(x)=(2x-1)lnx+x-1=2xlnx-lnx+x-1,x∈(0,+∞)．

方法1(局部分析)令g(x)=2xlnx,h(x)=-lnx+x-1．

綜上，f(x)>-1．

方法2(轉(zhuǎn)化函數(shù))f(x)>-1,即(2x-1)·lnx+x-1>-1,即

(2x-1)lnx+x>0．

①

綜上，f(x)>-1．

方法3(放縮函數(shù)) 易證x-1≥lnx(x>0),所以-lnx+x-1≥0,故有

f(x)=(2x-1)lnx+x-1≥2xlnx．

綜上，f(x)>-1．

總之,針對不同的問題導(dǎo)函數(shù)“隱零點”的處理方法可能不同,同學(xué)們要把握題目條件,結(jié)合函數(shù)特征,多種方法擇優(yōu)而用．