射影定理五應用

◇ 山東 楚凌霞

直角三角形的射影定理給出了直角三角形中邊之間的關系,利用其求解的關鍵是把握好其中的比例關系,根據已知的兩條邊來求解另外一邊的長度.由此可以用來處理一些相關的問題,本文結合實例加以剖析.

1 求解邊長

圖1

分析結合題目條件可知CD，DE分別是Rt△ABC和Rt△ACD斜邊上的高,故通過直角三角形的射影定理建立相應的關系式來求解對應的邊長.

2 求解比值

分析先設出AD的長度,利用直角三角形的射影定理建立相應的方程,求出對應的邊長,再利用直角三角形的射影定理得到相應的邊長關系式,進而求得相應的比值.

3 證明等式

圖2

分析根據直角三角形的射影定理,并結合邊長的關系與直角三角形相似等知識加以轉化,從而證得相應的等式成立.

證明由于CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,根據直角三角形的射影定理,可得AC2=AD·AB,而AB=AF+FB,所以AC2=AD·AF+AD·FB.

4 證明比例關系

圖3

分析根據直角三角形的射影定理、相似三角形等建立相應的比例關系式,再結合所要證明的結論加以合理轉化.

5 證明相似

圖4

分析根據直角三角形的射影定理建立相應直角三角形中邊與邊之間的數量關系,并合理變形來建立相似三角形問題的比例關系式，從而達到證明的目的.