GeoGebra環(huán)境下對(duì)一類二元方程的探究與拓展

◇ 福建 林 雄

本文借助GeoGebra軟件對(duì)學(xué)生提供的方程進(jìn)行探究,確認(rèn)方程對(duì)應(yīng)的曲線類型,并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展,得到更一般化的結(jié)論．

1 問題的提出及解決

GeoGebra動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件(以下簡(jiǎn)稱GGB)具有數(shù)與形同步呈現(xiàn)的強(qiáng)大功能,只要在指令欄輸入代數(shù)表達(dá)式,即可得到相應(yīng)的幾何圖形,因此筆者常用GGB輔助教學(xué),使學(xué)生也形成了這樣的習(xí)慣．一天學(xué)生提了一個(gè)問題:方程x2+y2=xy+1表示的是什么樣的曲線?他自己在軟件上畫了一下,感覺是橢圓(如圖1),但是又無(wú)法證明．

圖1

以下是筆者和學(xué)生共同探究的過(guò)程(T表示筆者,S表示學(xué)生)．

T:給你一個(gè)圖形,如何判斷它是橢圓?

S:用定義吧,到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng),且和大于兩定點(diǎn)間距離．

T:如何找到這兩個(gè)定點(diǎn)(也就是焦點(diǎn)).

(學(xué)生進(jìn)行討論．)

T:我們知道橢圓的焦點(diǎn)一定落在橢圓的長(zhǎng)軸上,能不能先找它的長(zhǎng)軸呢?類比標(biāo)準(zhǔn)橢圓,長(zhǎng)短軸所在直線一定是橢圓的對(duì)稱軸．因此我們可以考慮先找到這個(gè)橢圓的對(duì)稱軸．

S:從方程的結(jié)構(gòu)特征來(lái)看,把x與y互換得到的方程與原方程一致．說(shuō)明圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱．同理也可以看出它是關(guān)于直線y=-x以及原點(diǎn)對(duì)稱的．由此可知,這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸所在的直線就是直線y=x與y=-x,橢圓的中心為原點(diǎn)．

T:另外我們知道橢圓上到橢圓中心距離最長(zhǎng)的點(diǎn)就是長(zhǎng)軸的端點(diǎn),距離最短的點(diǎn)就是短軸的端點(diǎn)．也可以從這個(gè)角度去確定橢圓頂點(diǎn),進(jìn)而確定長(zhǎng)軸和短軸所在的直線．為使方法更具一般性,我們采取后一種方法．

下面用極坐標(biāo)的方法求出曲線上到中心(原點(diǎn))距離最長(zhǎng)的點(diǎn)．

圖2

圖3

根據(jù)橢圓的定義可知該曲線就是橢圓．雖然它不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓，可以看出,它是由一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型的橢圓繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°而得．可用GGB軟件驗(yàn)證:點(diǎn)擊菜單中的旋轉(zhuǎn)按鈕,依次點(diǎn)選點(diǎn)P與點(diǎn)O后,輸入旋轉(zhuǎn)角度45°(也可旋轉(zhuǎn)-45°),就可以得到點(diǎn)P繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°所得的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′．右鍵點(diǎn)擊該點(diǎn),選擇“跟蹤”命令,拖動(dòng)點(diǎn)P,即可得點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖3,顯然它是一個(gè)以x,y軸為對(duì)稱軸的標(biāo)準(zhǔn)橢圓．

2 問題的初步拓展

圖4

學(xué)生之間常常會(huì)分享交流他們的想法,并碰撞出思維的火花．幾天后,另一位學(xué)生帶著半神秘半炫耀的神情告訴筆者他的一個(gè)發(fā)現(xiàn):只保留上述圖形在y軸右側(cè)部分(含y軸上的點(diǎn)),稱其為曲線C．作C關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形,居然得到一個(gè)心形!如圖4,他想用GGB軟件畫出它的圖形,但是想不出它的表達(dá)式．筆者當(dāng)時(shí)的第一反應(yīng)是這孩子直觀想象能力真強(qiáng)!并且體現(xiàn)了課標(biāo)要求的“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”．接著意識(shí)到這是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的一個(gè)良好契機(jī),就在班上公布了該學(xué)生的想法,并征集解決方案及問題的拓展方案．果然“群眾”的智慧是無(wú)窮的,沒多久,學(xué)生的各種方案就“蜂擁而出”．

(篇幅所限,省略其探究過(guò)程,直接呈現(xiàn)結(jié)論．)

第1批成果:相應(yīng)圖形如圖5～7.

圖5 圖6 圖7

x2+y2=|x|y+1．

第2批成果:相應(yīng)圖形如圖8～10.

x2+y2=|x|(-y)+1 x2+y2=x|y|+1 x2+y2=(-x)|y|+1圖8 圖9 圖10

不少學(xué)生表示在探究過(guò)程中,對(duì)坐標(biāo)變換、方程結(jié)構(gòu)與圖形對(duì)稱性關(guān)系的理解更加深刻，也初步體驗(yàn)到了如何“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”．

3 問題的再拓展

部分學(xué)生發(fā)現(xiàn),上述所有的圖形變化都是含xy的項(xiàng)變化導(dǎo)致的，進(jìn)而想探究含xy的項(xiàng)系數(shù)變化對(duì)圖形的影響．因此就在指令欄輸入方程x2+y2=pxy+1,創(chuàng)建關(guān)于p的滑動(dòng)條．拖動(dòng)滑動(dòng)條改變p的值觀察圖形的變化．發(fā)現(xiàn)圖形可能是橢圓,也可能是直線或雙曲線(相應(yīng)圖形如圖11,12,13).

|p|<2 |p|=2 |p|>2圖11 圖12 圖13

但以上結(jié)論只適用于x2與y2項(xiàng)系數(shù)為1的情況.很自然地，學(xué)生進(jìn)而考慮：p值及其他項(xiàng)的系數(shù)改變,會(huì)引起圖形怎樣的變化呢?因此構(gòu)建了更具一般化的方程mx2+ny2+pxy=q(m,n不同時(shí)為0),創(chuàng)建關(guān)于m,n,p,q的滑動(dòng)條．拖動(dòng)滑動(dòng)條改變m,n,p,q的值并觀察圖形的變化．經(jīng)過(guò)師生共同努力,得到以下探究結(jié)果．

考慮到參數(shù)變量較多,先對(duì)m進(jìn)行分類討論．

當(dāng)q=0,圖形為兩兩相交的直線(如圖14)；當(dāng)q≠0,方程變換后可化為反比例函數(shù)形式,查閱資料可知它是特殊的雙曲線(如圖15)．

q=0 q≠0圖14 圖15

2)若m≠0,則方程可化為x2+ny2+pxy=q(其中x2的非零系數(shù)總可以化為1,這使問題得到進(jìn)一步的簡(jiǎn)化)．

q>0 q=0 q<0圖16 圖17 圖18

q>0 q=0 q<0圖19 圖20 圖21

q≠0 q=0圖22 圖23

當(dāng)然這樣的探究結(jié)果是不完整的,大學(xué)解析幾何教材早已對(duì)二次曲線方程進(jìn)行了全面完備的化簡(jiǎn)與分類．學(xué)生的探究雖顯稚嫩,但可貴在其是自發(fā)、原創(chuàng)的,是與學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和能力水平相匹配的．正如弗萊登塔爾所言:學(xué)生通過(guò)自己努力得到的結(jié)論和創(chuàng)造是教育內(nèi)容的一部分,是一種“再創(chuàng)造”,也是值得鼓勵(lì)的．在此過(guò)程中,需要學(xué)生綜合應(yīng)用代數(shù)變形、分類討論、合情推理、數(shù)學(xué)模型識(shí)別等各方面能力，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．

另外,基于GGB軟件能同步呈現(xiàn)數(shù)與形變化的強(qiáng)大功能,對(duì)“形之美”的感受會(huì)激發(fā)學(xué)生去探究其表象背后的“數(shù)之理”．例如本文中學(xué)生發(fā)現(xiàn)心形曲線的構(gòu)造方式就是產(chǎn)生拓展探究的契機(jī)．在探究過(guò)程中,GGB軟件對(duì)探究方向的確定、代數(shù)變形方法的產(chǎn)生起到了啟發(fā)與促進(jìn)作用.比如從“形”的層面通過(guò)對(duì)圖形變化臨界點(diǎn)值的發(fā)現(xiàn),產(chǎn)生了“數(shù)”的層面配方法的思路．說(shuō)明GGB軟件在教學(xué)中的作用,不僅體現(xiàn)在演示,更體現(xiàn)在探究與驗(yàn)證．這是無(wú)技術(shù)環(huán)境支持的教學(xué)無(wú)可比擬的優(yōu)勢(shì)，也為我們指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)提供了新的工具與思路．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提到“注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,提高教學(xué)的實(shí)效性”“引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界,會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”．本文算是在這方面所做的一次小小的嘗試,不足之處,歡迎批評(píng)指正．

(本文系福州市教育科學(xué)研究“十三五”規(guī)劃2019年度課題“基于GeoGebra的3D等技術(shù)培養(yǎng)學(xué)生直觀想象與數(shù)學(xué)建模能力的研究與實(shí)踐”(課題立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)FZ2019GH001)的研究成果．)