小學“負數”的本體性知識解讀與啟示

金云成

摘 要：概念本體性知識的解讀，不僅可以幫助我們理解該知識在學科邏輯體系中的地位和作用，把握其與前后知識之間的聯系，還能幫助了解該知識發生、發展的歷史過程，有助于我們更好地理解所教知識是如何以及為何會成為如今的面貌，從而為設計與實施自然流暢、清新易懂的教學過程奠定扎實基礎。本文通過對“負數”這一概念的本體性知識解讀，談談這些知識給我們的教學帶來的啟示和思考。

關鍵詞：負數;本體性知識;啟示

自1986年課程改革以來，我國小學數學一直在非負數的范圍內展開四則運算的教與學，2001年實施的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》將負數的部分內容放到第二學段。作為小學數學教師，如果在上“負數”這節課之前，對與之有關的本體性知識有所了解甚至熟悉，那么一定有利于對概念的本質屬性的把握，在設計這節課時可以做到“居高臨下”、心中有數，從而避免在教學時出現科學性、知識性的錯誤。

一、 “負數”的本體性知識解讀

（一）什么是負數

1. 表示與正數相反意義的量

這一定義是我國魏晉時期的大數學家劉徽（225年～295年）于公元263年在《九章算術注》中提出的。劉徽在注釋“正負術”時，一開始就給正數和負數下了定義，他明確指出：“今兩算得失相反，要令正負以名之。正算赤，負算黑。否則以邪正為異。”當兩數在運算中引起增加和減少兩種相反結果時，要用“正數”和“負數”對這兩種數分別命名，以示區別。

2. 負數是比零小的數

這個定義是德國數學家米哈依爾·史提非（約1486年～1567年），在他于1544年發表的數學論文《整數算術》中提出的。負數在被減數小于減數時出現，它所表示的是減數把被減數減完之后又繼續往下減的結果。

（二）負數的產生

1. 人類生產發展和社會進步的需要

在日常生活中，有些情況僅靠自然數來表示量是不夠的。因為有些量可能會有兩種相反的趨勢、兩個相反的方向。例如，僅僅說溫度是23℃是不準確的，還必須說明是在冰點以上還是在冰點以下。為了表征這些相反的趨勢、相反意義的量，要將有關的量加上符號，這樣也就有了正數和負數兩種表示意義相反的量的數，例如，+23℃和-23℃。

2. 數學自身發展的需要

數系的擴張要遵循因襲原理，即在原有數系基礎上，通過引進新的符號（數），擴充成一個新的、內容更豐富的結構（數系），使得“老”數系是“新”數系的真子集，即“老”的數是所有新數系的一部分，而且在原來數系中成立的運算規則，和更大范圍內的數系中的運算規則保持一致，結果相同。自然數到整數的擴展亦是如此。我們知道，在自然數內總能進行加法和乘法的運算，但是，加法的逆運算減法并不總是可進行的。對于自然數a和b，只有當a≥b時，才能使a-b成立或方程b+x=a有解。于是，通過引進符號-1，-2，-3，…，并對于a≤b情況，定義a-b=-（b-a），從而消除了這個限制。這個擴充的過程，即包括自然數，又包括新引進的符號-1，-2，-3，…，二者共同構成稱之為整數的新集合，必須規定它們的運算，使得自然數作為整數運算時，能和原來的自然數運算規則保持一致，結果相同。簡單地說，從自然數半群出發為了使加法的逆運算減法總能夠進行，添加負元素是必需的，于是就構成了整數環，這是數學內部的動因。

二、 “負數”的本體性知識對教學的啟示

作為一線教師，我們弄清有關“負數”的本體性知識，主要是為了明確“負數”概念的含義，明確概念的本質屬性，以便教學時能更確切地陳述數學語言。同時，對于學生在課堂上出現的各種表達，能夠比較好地組織與引入，更好地引導學生學習和理解。那么，上述這些本體性知識的解讀究竟給我們帶來了哪些啟示呢？

（一）如何正確把握負數概念的本質？

從負數的本體性知識看，由于負數產生的雙重原因使負數的含義至少包括兩個方面：一是表示與正數相反意義的量，如收入1萬元記為“+1萬元”那么支出1萬元就記為“-1萬元”等;另一方面，一種新的數，也就是實現了數系的一次擴張，可以滿足數學上的需要，保證了減法運算的封閉性。在前面的論述中，我們知道負數的概念屬于傳承性知識，這就決定了小學負數概念不是定義型層面的概念，而是擴展型概念。而概念又是一種約定，約定的內涵學生是不容易發現的，因此在教學時教師要重視展現負數概念的形成過程，深化負數意義的理解。

（二）如何將負數概念引入的課堂？

從負數的發展歷史看，負數的產生有雙重原因：既有人類生產發展和社會進步的需要，又有數學自身發展的需要。鑒于此，那我們的教學該從怎樣的角度將負數引入課堂？傳統的教學都是先呈現負數的生活原型，讓學生在觀察中產生認知沖突，從而引出負數的概念。在前面的論述中我們知道，生活需要只是產生負數的原因之一，這樣的教學顯然使學生對負數這一概念的理解具有片面性，可能在后續的學習中會使學生引起邏輯困難。因此，在教學中我們為學生創設負數的生活原型的同時也應加入負數的數學原型，讓學生對負數這一概念的理解更加豐滿，使其能更好地建立數感和正確認識數系的擴張，完善數學的認知結構。

（三）如何設計教學活動開展教學？

負數的概念本身是一種約定，在教學時我們可以從學生已有的生活和知識經驗中發掘“負數”的原型，為新知學習提供支點，這樣將有助于知識的同化與順應，并要重視將新的概念放在知識的整體背景中加以思考，這樣才能更好地建立數學知識間的內在聯系，更好地引導學生建立“負數”的概念。值得注意的是，在介紹負數概念名稱時要以教師啟發式講解點撥為主，通過教師點撥去誘導學生形成負數概念。此時如果以合作探究學習形式為主讓學生探究負數這個名稱，學生在連個歷史遵循都沒有的情況下，去探究這個千年形成的負數概念的名稱，是時間上的浪費。當負數概念形成后，我們可以適當安排合作交流方式，因為此時學生已有負數概念這個準則為依托。

參考文獻：

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