極限四則運(yùn)算法則在抽象函數(shù)斂散性判定方面的應(yīng)用

邵偉如 北京交通運(yùn)輸職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部

1 引言

在使用四則運(yùn)算法則計(jì)算極限時(shí)需要注意其使用前提,即參與運(yùn)算的各部分函數(shù)極限必須存在，否則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的錯(cuò)誤.但是這一前提限制了函數(shù)極限計(jì)算的適用范圍，尤其在討論抽象函數(shù)的斂散性時(shí)，往往不能像具體函數(shù)那樣明確知道函數(shù)本身的極限是否存在，判定難度很大。

2 理論基礎(chǔ)準(zhǔn)備

當(dāng)定理1 中進(jìn)行極限計(jì)算的兩個(gè)函數(shù)極限不存在時(shí)（包括極限均為無窮大的情況），四則運(yùn)算法則是不適用的。

3 極限四則運(yùn)算法則在抽象函數(shù)斂散性判定方面的應(yīng)用

在這一小節(jié)對(duì)四則運(yùn)算法則的適用范圍做了推廣,將四則運(yùn)算法則中要求的參與運(yùn)算的各部分函數(shù)極限必須都存在這一條件，推廣至只需在確定部分函數(shù)極限存在的情況下就可以對(duì)最終函數(shù)的斂散性做出判斷。

定理2 也表明，當(dāng)計(jì)算兩個(gè)或有限個(gè)函數(shù)和差的極限時(shí)，當(dāng)一部分極限存在，那么也可以使用四則運(yùn)算法則，此時(shí)極限的情況取決于的情況。

解：

定理3 也表明，當(dāng)計(jì)算兩個(gè)或有限個(gè)函數(shù)乘積的極限時(shí)，當(dāng)一部分極限存在且不為零時(shí)，那么也可以使用四則運(yùn)算法則，此時(shí)極限的情況取決于的情況；若存在極限的部分極限為零時(shí)，則最終函數(shù)極限是不能判定是否存在的，需要根據(jù)具體的情況去處理。

解

4 結(jié)論

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，會(huì)涉及到很多公式及定理，在應(yīng)用這些公式、定理之前，一定要注意檢查是否滿足使用條件。比如，極限運(yùn)算的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則、洛必達(dá)法則等等，都是有使用前提的，不能盲目地去套用公式、定理。而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)很重要的方面就是鍛煉這種邏輯的嚴(yán)密性。